2018年普通高等学校招生全国统一考试高考数学信息卷(十)文

2018年普通高等学校招生全国统一考试最新高考信息卷
文 科 数 学（十）
注意事项：
、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}
1M x x =<，{}
20N x x x =-<，则（ ） A ．M N ⊆
B ．N M ⊆
C ．{}1M
N x x =<
D ．{}0M
N x x =>
【答案】B
【解析】由题意得{}{}
2001N x x x x x M ⊆=-<=<<．选B ． 2．设()()()2i 3i 35i x y +-=++（i 为虚数单位）
，其中x ，y 是实数，则i x y +等于（ ）
A ．5
B
C ．
D ．2
【答案】A
【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++，
∴63325x x y +=-=+⎧⎨
⎩，解得3
4
x y =-=⎧⎨⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．选A ．
3．某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方
图，其中自习时间的范围是[]17530．，，样本数据分组为[]17520．，，(]20225，．，(]22525．，，
(]25275，
．，(]27530．，．根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足225．小时的人数
是（ ）
A ．68
B ．72
C ．76
D ．80
【答案】B
【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足225．小时的人数是
()3200020072572⨯+⨯=．．．人．选B ．
4．某家具厂的原材料费支出x 与销售量y (单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的
全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为ˆ8ˆy
x b =+，则ˆb 为（ ）
A ．5
B ．15
C ．12
D ．20
【答案】C
【解析】由题意可得：2456855x ++++=
=，2535605575
525
y ++++==，
回归方程过样本中心点，则：ˆ5285b
=⨯+，1ˆ2b ∴=．选C ．
5．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>，左焦点为F ，过点F 与x 轴垂直
的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点M ，N ，若OMN △的面积为20，其中O 是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（ ）
A ．22
128x y -=
B ．22
148x y -=
C ．22
182x y -=
D ．22
184
x y -=
【答案】A
【解析】由c a
=225c a =，∴222
5a b a +=，故224b a =．
∴双曲线的渐近线方程为2y x =±，由题意得(),2M c c -，(),2N c c --， ∴1
4202
OMN S c c =
⋅⋅=△，解得210c =，∴22a =，28b =， ∴双曲线的方程为22
128
x y -=．选A ．
6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．42π+
B ．26π+
C ．4π+
D ．24π+
【答案】D
【解析】由三视图可得，该几何体是一个三棱柱与一个圆柱的组合体(如图所示）， 其体积2π21224πV =⨯+⨯=+．
7．执行如下图的程序框图，若输入a 的值为2，则输出S 的值为（ ）
A ．3.2
B ．3.6
C ．3.9
D ．4.9
【答案】C
【解析】运行框图中的程序可得 ①1k =，2
122
S =+
=，不满足条件，继续运行； ②2k =，28
2=33
S =+
，不满足条件，继续运行； ③3k =，8219
+=346
S =
，不满足条件，继续运行； ④4k =，1921076530
S =
+=，不满足条件，继续运行； ⑤=5k ，1072117
=
+==3930630
S ．，满足条件，停止运行，输出=39S ．
．选C ． 8．等比数列{}n a 的前n 项和为
n S ，公比为q ，若639S S =，则562S =，1a =（ ） A B ．2
C D ．3
【答案】B
【解析】由题意得1q ≠±．由639S S =得
()()631111911a q a q q
q
--=⨯
--，
∴3
19q +=，∴2q =．又()515112316212
a S a -=
==-，∴12a =．选B ．
9．已知函数()()πcos 20,2f x x ωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪
⎝
⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移π6
个单位后得函数()cos2g x x =的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线2π
3
x =
对称 B ．关于直线π
6
x =
对称 C ．关于点2π03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，对称 D ．关于点5π012⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，对称 【答案】D
【解析】由题意得
2π
π2ω
=，故1ω=，∴()()cos 2f x x ϕ=+， ∴()ππcos 2cos 2cos 263g x x x x ϕϕ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=-
+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
， ∴π3ϕ=
，∴()πcos 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
∵
2π2ππ5π1cos 2cos 133332f ⎛⎫⎛
⎫=⨯+==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
πππ2π1cos 2cos 166332f ⎛⎫⎛
⎫=⨯+==-≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
∴选项A ，B 不正确． 又()2π2ππcos 2cos π10333f ⎛⎫⎛⎫-
=-⨯+=-=-≠ ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭， 5π5πππcos 2cos 0121232f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-⨯+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，∴选项C 不正确，选项D 正确．选D ．
10．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC △折成直二面角B AD C --，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ） A ．3π B ．4π
C ．5π
D ．6π
【答案】C
【解析】由题意，知过A ，B ，C ，D 四点的球的直径为以DA ，DB ，DC 为邻边的长方
体的对角线的长，而DA =1DB DC ==，则2
R =
=
，所以球的表
面积为2
4π5π2S ⎛== ⎝⎭
，故正确答案为C ．
11．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，1F ，2F 分别
是椭圆的左、右焦点，且1F AB △
的面积为22
-，点P 为椭圆上的任意一点，则
1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．
[]12，
B
．
C
．4⎤⎦
D ．
[]14，
【答案】D
【解析】由已知得22b =，故1b =；∵1F AB △
的面积为
22
-， ∴
(
)12a c b -=
，∴2a c -=()()222
1a c a c a c b -=-+==， ∴2a =
，c =()12212121111
1124
44PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++===
--+，
又122PF ≤≤，∴2
11144PF PF ≤-+≤，∴12
11
14PF PF ≤+≤． 即
12
11PF PF +的取值范围为[]14，．选D ． 12．已知对任意21e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，不等式2e x
a x >恒成立(其中e 271828=⋅⋅⋅．是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ） A ．e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭
， B ．()0e ， C ．()2e -∞-，
D ．24e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
，
【答案】A
【解析】由2
e x
a
x >得2ln x x a >在21e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，即12ln x a x >在21e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，上恒成立．
令()2ln x f x x =
，21e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，则()()2
21ln x f x x -'=， ∴当1
e e
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，时，()0f x '>，()f x 单调递增，
当2
e e x ⎡⎤∈⎣⎦，时，()0
f x '<，()f x 单调递减．
∴()()max 2e e f x f ==
，∴()12e e
f a >=， ∴e 02a <<
．故实数a 的取值范围是e 02⎛⎫
⎪⎝⎭
，．选A ． 第Ⅱ卷
卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知实数x ，y 满足条件40
22000x y x y x y +-≤-+≥⎪≥≥⎧⎪
⎨⎩
，，若z a x y =+的最小值为8-，则实数
a =__________．
【答案】2-
【解析】作出不等式组表示的可行域，为如图所示的四边形OABC ，且()00O ，，()01A ，，()22B ，，()40C ，．
由z ax y =+得y ax z =-+，
①当0a <时，平移直线y ax z =-+，结合图形得当直线经过点()40C ，
时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值，且min 4z a =，由48a =-，得2a =-，符合题意．
②当0a >时，平移直线y ax z =-+，结合图形得当直线经过点()00O ，时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值，且min 0z =，不合题意． 综上2a =-．
14．若函数()f x 是偶函数0x ≥时，()()lg 1f x x =+，则满足()211f x +<的实数x 取值范围是________．
【答案】()54-，
【解析】∵函数()f x 是偶函数，且0x ≥时，()()lg 1f x x =+， ∴0x ≥时，()f x 单调递增，∴0x <时，()f x 单调递减．
又()()9lg 911f =+=，∴不等式()211f x +<可化为()()219f x f +<， ∴219x +<，∴9219x -<+<，解得54x -<<，
∴实数x 取值范围是()54-，
． 15．已知平行四边形ABCD 中，2AD =，120BAD ∠=︒，点E 是CD 中点，1AE BD ⋅=，则BD BE ⋅=_________．
【答案】13
【解析】由1AE BD ⋅=，得22111
()()1222
AD AB AD AB AD AB AD AB +
⋅-=-⋅-=， 设AB m =，∴211
4122
m m +-=，解得3m =．
∴22131()()+222BD BE AD AB AD AB AD AD AB AB ⋅=--=-⋅319
42313222
=+⨯⨯⨯+=．
16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24a =，4=30S ，2n ≥时，()1121n n n a a a +-+=+，则{}n a 的通项公式n a =___________． 【答案】2n
【解析】由()1121n n n a a a +-+=+得()1122n n n n a a a a n +--=-+≥．
又()3122110a a a +=+=，4123441430S a a a a a =+++=+=， ∴416a =．又()42321a a a +=+，∴39a =，∴11a =，∴213a a -=， ∴数列{}1n n a a +-是首项为3，公差为2的等差数列， ∴()()1322212n n a a n n n --=+-=-≥， ∴
当
2n ≥时，
()()(
)1
1
2
2
n n n n n
a a a a a ---=-+-+
．．．()(
)
2
212n n =-+．．．， 又11a =满足上式，∴()
2*n a n n =∈N ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在ABC △中a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，已知sin 1
2sin sin 2cos B A C C
=
-． （1）求角B 的大小；
（2）若1a =，b =ABC △的面积．
【答案】（1）π3
B =
；（2．
【解析】（1）由sin 1
2sin sin 2cos B A C C
=
-及()sin sin A B C =+， 得()2sin cos 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-，
2cos sin sin B C C ∴=，又在ABC △中，sin 0C ≠， 1cos 2B ∴=
，0πB <<，π
3
B ∴=． （2）在AB
C △中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即271c c =+-， 260c c ∴--=，解得3c =，
∴ABC △的面积1sin 2S ac B ==
18．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，M 为SD 的中点，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，AB CD ∥，且222CD AB AD ===． （1）求证：AM ∥平面SBC ；
（2）若SB 与平面ABCD ，求四棱锥S ABCD -的体积．
【答案】(1)见解析；（2）1
2
．
【解析】证明：（1）设SC 中点分别是E ，连接BE ，ME ，则1
2
ME DC ∥＝， 1
2
AB ∥＝，∴四边形ABEM 为平行四边形，
AM EB ∴∥，EB ⊂平面SBC ，AM ⊄平面SBC ，∴AM ∥平面SBC ．
S
A B
C
D
M E
（2）SD ⊥平面ABCD ，
SD DB ∴⊥，SBD ∴∠是SB 与平面ABCD 所成角， ，22
3SB SD ∴=， 又在Rt ABD △
∴直角三角形SDB 中，2
2
2
SB SD DB =+，2
2
32SD SD ∴=+，1SD ∴=
．
19．（12分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生
的测试成绩，整理数据并按分数段[)4050，
，[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，进
行分组，已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，则得到体育成绩的折线图如下：
（1）若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良好”的人数；
（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[)6070，
和[)8090，的样本学生中随机抽取2人，求所抽取的2名学生中，至少有1人为“体育良好”的概率；
(3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a ，b ，c ，且[)6
070a ∈，，[)7080b ∈，，[)8090c ∈，，当三人的体育成绩方差2s 最小时，写出a ，b ，c 的值(不要求证明）． 注：()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，其中()121n x x x x n =+++． 【答案】（1）750人；（2）()910
P A =；(3）69a =，74b =，80c =或69a =，75b =，80c =． 【解析】（1）体育成绩大于或等于70分的学生有30人，301000=75040
⨯人； （2）设“至少有1人体育良好”为事件A ，总共有10种组合，则()910
P A =． （3）当数据a ，b ，c 的方差2s 最小时，69a =，74b =，80c =或69a =，75b =，80c =．
20．（12分）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F 在y 轴的正半轴上，点A 是抛物线上的一点，以A 为圆心，2为半径的圆与y 轴相切，切点为F ．
（1）求抛物线的标准方程：
（2）设直线m 在y 轴上的截距为6，且与抛物线交于P ，Q 两点，连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程．
【答案】（1）24x y =；（2）直线m 的方程为162y x =
+或162
y x =-+． 【解析】（1）设抛物线方程为22(0)x py p =>，
∵以A 为圆心，2为半径的圆与y 轴相切，切点为F ，
∴=2p ，∴该抛物线的标准方程为24x y =．
（2）由题知直线m 的斜率存在，设其方程为6y kx =+，
由264y kx x y
=+=⎧⎨⎩消去y 整理得24240x kx --=， 显然216960k ∆=+>．设()11P x y ，，()22Q x y ，，则1212
4•24x x k x x +==-⎧⎨⎩． 抛物线在点2114x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，处的切线方程为()211142x x y x x -=-， 令1y =-，得21142x x x -=，可得点211412x R x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，， 由Q ，F ，R 三点共线得QF FR k k =， ∴22212
1111442x x x x ---=-，即()()
22121244160x x x x --+=， 整理得()2212121212()4216160x x x x x x x x ⎡⎤-+-++=⎣⎦
， ∴()()()()2224442241616240k ⎡⎤---⨯-++⨯-=⎣⎦
， 解得214k =，即12
k =±， ∴所求直线m 的方程为162y x =
+或162y x =-+． 21．（12分）已知函数()e 21x f x x =--．
（1）求曲线在()()00f ，处的切线方程；
（2）设()()()1e x g x af x a =+-，若()g x 有两个零点，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）y x =-；（2
）2⎫+∞⎪⎪⎝⎭
．
【解析】（1）由题易知()e 2x f x '=-，()0121k f ==-=-'，
()00e 2010f =-⨯-=，()f x ∴在()()00f ，处的切线方程为y x =-．
（2）由题易知()e 2x g x ax a =--，()e 2x g x a ='-．
当0a ≤时，()0g x '>，()g x ∴在R 上单调递增，不符合题意．
当0a >时，令()0g x '=，得l n 2x a =，
在()l n 2a -∞，上，()0g x '<，在()l n 2a +∞，上，()0g x '>， ()g x ∴在()ln 2a -∞，上单调递减，在()ln 2a +∞，上单调递增，
()()ln 222ln 22ln 2g x g a a a a a a a a ∴==--=-极小值．
()g x 有两个零点，()0g x ∴<极小值，即2ln20a a a -<，
∵0a >，∴1ln 22
a >，解得a >，
∴实数a 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭
． 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，点P 的曲线C 上运动．
（1）若点Q 在射线OP 上，且4OP OQ ⋅=，求点Q 的轨迹的直角坐标方程；
（2）设3π44M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，求MOP △面积的最大值．
【答案】（1）4x y +=；（2）
【解析】（1）设(),Q ρθ，则()()110,,0P ρθρρ>>， 又4OP OQ ⋅=，14ρρ∴=，14ρρ∴=
，
4sin cos θθρ∴=+，cos sin 4ρθρθ∴+=．
将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式可得点Q 的直角坐标方程为4x y +=．
（2）设()(),0P ρθρ>，则cos sin ρθθ=+，3π44M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，
MOP ∴△的面积13π4sin 224S ρθρθθ⎛⎫=
⨯-= ⎪⎝⎭ ))2
cos sin 1sin 2θθθ+=+≤，
当且仅当sin21θ=，即π4
θ=时等号成立．
MOP ∴△面积的最大值为
(用直角坐标方程求解，参照给分）
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
设0a >，0b >，且222a b ab +=，求证：
（1）332a b +≥；
（2）()()
554a b a b ++≥．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）0a >，0b >，222a b ab +=，
()()()333322222a b a b a b ab a a b b b a ∴+-=+--=-+-()()()()2220a b a b a b a b =--=-+≥， 332a b ∴+≥．
（2）()()()25566553333552a b a b a b a b ab a b a b a b ab ++=+++=+-++ ()()()()22233422433222a b ab a a b b a b ab a b =++-+=++-， 0a >，0b >，332a b +≥，
()()55224a b a b ∴++≥=．。