2021-2022学年湖南省长沙市某校九年级(上)开学数学试卷 (2)祥细答案与解析

2021-2022学年湖南省长沙市某校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1. 给出下列四个数：−2，0，1.41，π，其中为无理数的是( ) A.−2 B.0 C.1.41 D.π
2. 在平面直角坐标系中，点P(−3, −5)关于原点对称的点的坐标是（ ） A.(3, −5) B.(−3, 5) C.(3, 5) D.(−3, −5)
3. 下列说法中正确的是（ ）
A.在统计学中，把组成总体的每一个考察对象叫做样本容量
B.为了解全国中学生的心理健康情侣，应该采用普查的方式
C.一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8
D.若甲组数据的方差为s 12=0.4，乙组数据的方差为s 12
=0.05，则甲组数据更稳定
4. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知二次函数y ＝x 2−3x +m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1, 0)，则关于x 的一元二次方程x 2−3x +m ＝0的两实数根是（ ） A.x 1＝1，x 2＝−1 B.x 1＝1，x 2＝−3 C.x 1＝1，x 2＝2 D.x 1＝1，x 2＝3
6. 若函数y ={x 2+2(x ≤2),
2x(x >2),则当函数值y =8时，自变量x 的值是( )
A.±√6
B.4
C.±√6或4
D.4或−√6
7. 下列说法正确的是（ ）
A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B.对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平行四边形是正方形
8. 某厂准备生产8000个口罩，在生产了1000个口罩后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，设该厂原来每天生产x 个口罩，则由题意可列出方程（ ）
A.1000
2x +8000
x
=10 B.1000
x
+8000
2x
=10
C.1000
2x +7000
x
=10 D.1000
x
+7000
2x
=10
9. 无论m为何值，点A(m, 5−2m)不可能在（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
10. “折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（）
A.3
B.5
C.4.2
D.4
11. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A.abc>0
B.b2−4ac<0
C.9a+3b+c>0
D.c+8a<0
12. 正方形ABCD、正方形CEFG如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，PA＝PF，且∠APF＝90∘，连结AF交CD于H，有下列结论：①BP＝CE；②AP＝
AH；③∠BAP＝∠GFP；④BC+CE=1
2
AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CEFG＝2S△APF．以
上结论正确的个数有（）
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
如图，数轴上点A 表示的实数是________．
已知{x =3,
y =−2 是方程组{ax +by =3,bx +ay =−7 的解，则代数式(a +b)(a −b)的值为________．
二次函数y =−x 2+2x −3图象的顶点坐标是________．
如图，正比例函数y 1=k 1x 和一次函数y 2=k 2x +b 的图象相交于点A(2, 1)，当x <2时，y 1 y 2．（填“>”或“<”）．
如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为________．
在平面直角坐标系中，若点P(a, b)的坐标满足a ＝b ≠0，则称点P 为“对等点”．已知二次函数y ＝x 2+mx −m 的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m 的值为________． 三、解答题（本题共8个小题，共66分）
计算：(1
2)−2√6
√3
√8+|1−√2|．
先化简，再求值(1−4
x+3)÷x 2−2x+12x+6
，其中x =√2+1．
王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A （非常好）、B （良好）、C （一般）、D （较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的
统计图，请你根据已有信息解答下列问题：
（1）这次随机抽取的样本容量是________，其中C类女生有________名，D类男生有________名，扇形统计图中D类所对应的圆心角为________度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．
准备一张矩形纸片，按如图操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若四边形BFDE是菱形，BE＝2，求菱形BFDE的面积．
“壮丽70载，奋进新时代”．值伟大祖国70华诞之际，某网店特别推出甲、乙两种纪念文化衫，已知甲种纪念文化衫的售价比乙种纪念文化衫多15元，广益中学陈老师从该网店购买了2件甲种纪念文化衫和3件乙种纪念文化衫，共花费255元．
（1）该网店甲、乙两种纪念文化衫每件的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种纪念文化衫共200
，已知甲种纪念文化衫每件件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的3
5
的进价为50元，乙种纪念文化衫每件的进价为40元．
①若设购进甲种纪念文化衫m件，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进纪念文化衫均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种纪念文化衫进货量m（件）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD
于点F．
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图2，过点D作DG // BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB=6，AD=8，求FG的长为________．
我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之
为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．
①y＝2x(________)；
②y＝(m≠0)(________)；
③y＝3x−1(________)．
（2）若点A(1, m)与点B(n, −4)是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c(a≠0)的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．
（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②(2c+b−a)(2c+b+3a)<0，求该“H函数”截x轴得到的线段长
度的取值范围．
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点(−1, 0)，且对一切实数x，都有x≤ax2+
bx+c≤1
4x2+1
2
x+1
4
成立．
（1）当x＝1时，求y的值；
（2）求此二次函数的表达式；
（3）当x＝t+m时，二次函数y＝ax2+bx+c的值为y1，当x＝2t时，二次函数y＝ax2+bx+c的值为y2，若对一切−1≤t≤1，都有y1<y2，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2021-2022学年湖南省长沙市某校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1.
【答案】
D
【考点】
无理数的识别
【解析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】
解:A，−2是整数，属于有理数；
B，0是整数，属于有理数；
C，1.41是有限小数，属于有理数；
D，π是无理数．
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
关于原点对称的点的坐标
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特点解答．
【解答】
点P(−3, −5)关于原点对称的点的坐标是(3, 5)，
3.
【答案】
C
【考点】
方差
众数
中位数
总体、个体、样本、样本容量
全面调查与抽样调查
【解析】
根据统计初步知识进行解答．对样本、样本容量、总体、个体、众数、中位数极差等概念要非常熟悉．
【解答】
解：A、在统计中，把组成总体的每一个考察对象叫做样本，而不是样本容量，故本选项错误；
B 、为了解全国中学生的心理健康情况，由于人数多，工作量大，应该采取抽查方式，故本选项错误；
C 、将6，8，7，8，8，9，10按从小到大依次排列，得到6，7，8，8，8，9，10，可见众数和中位数都是8，故本选项正确．
D 、若甲组数据的方差为s 12=0.4，乙组数据的方差为s 12
=0.05，则乙组数据更稳定，故本选项错误； 故选C ． 4. 【答案】 D
【考点】 轴对称图形 中心对称图形 【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】
A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确． 5. 【答案】 C
【考点】
抛物线与x 轴的交点 【解析】
将点(1, 0)代入y ＝x 2−3x +m ，求出m ，即可确定一元二次方程为x 2−3x +2＝0，即可求解； 【解答】
将点(1, 0)代入y ＝x 2−3x +m ， 解得m ＝2，
∴ y ＝x 2−3x +2，
∴ x 2−3x +2＝0的两个根为x ＝1，x ＝2； 6. 【答案】 D 【考点】 分段函数 【解析】
把y =8直接代入函数y ={x 2+2(x ≤2)
2x(x >2)即可求出自变量的值．
【解答】
解：把y =8代入函数y ={x 2+2(x ≤2),
2x(x >2),
先代入上边的方程得x =±√6，
∵x≤2，x=√6不合题意舍去，故x=−√6；
再代入下边的方程得x=4，
∵x>2，故x=4，
综上，x的值为4或−√6．
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
多边形
【解析】
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，即可解答．
【解答】
A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；
B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
C、对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故错误；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误；
8.
【答案】
D
【考点】
由实际问题抽象为分式方程
【解析】
根据引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】
由题意可得，
1000 x +7000
2x
=10，
9.
【答案】
C
【考点】
点的坐标
【解析】
根据四个象限的符号特点分别是：第一象限(+, +)；第二象限(−, +)；第三象限(−, −)；第四象限(+, −)．
【解答】
当m<0时，5−2m>0，点A(m, 5−2m)在第二象限，
当0<m<5
2
时，点A(m, 5−2m)在第一象限，
当m>5
2
时，点A(m, 5−2m)在第四象限．
10.
【答案】
C
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【解答】
设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：
x2+42＝(10−x)2，
解得：x＝4.2，
答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．
故选：C．
11.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
根据二次函数的图象求出a<0，c>0，根据抛物线的对称轴求出b＝−2a>0，即可得出abc<0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2−4ac>0；对称轴是直线x=1，与x轴一个交点是(−1, 0)，求出与x轴另一个交点的坐标是(3, 0)，把x=3代入二次函数得出y=9a+3b+c=0；把x=4代入得出y=16a−8a+c=8a+c，根据图象得出8a+c<0．
【解答】
解：A，∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，
∴a<0，c>0，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
=1，
∴−b
2a
∴b=−2a>0，
∴abc<0，故本选项错误；
B，∵图象与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，故本选项错误；
C，∵对称轴是直线x=1，与x轴一个交点是(−1, 0)，
∴与x轴另一个交点的坐标是(3, 0)，
把x=3代入二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)得：y=9a+3b+c=0，故本选项错误；
D，∵当x=3时，y=0，
∵b=−2a，
∴y=ax2−2ax+c，
把x=4代入得：y=16a−8a+c=8a+c<0，故本选项正确.
故选D.
12.
【答案】
C
【考点】
四边形综合题
【解析】
利用等角的余角相等得到∠BAP＝∠FPE，则可根据“AAS”判断△ABP≅△PEF，则BP ＝EF，再利用四边形CEFG都是正方形得到CE＝EF，则可对①进行判断；由于
∠BAP≠∠DAH，则不能判断△ABP≅△ADH，于是可对②进行判断；利用GF // CE得到∠EPF＝∠GFP，加上∠BAP＝∠EPF，所以∠BAP＝∠GFP，则可对③进行判断；通过
证明△APF为等腰直角三角形得到AF=√2AP，则AP2=1
2
AF2，由于利用勾股定理得
到AP2＝AB2+BP2，加上AB＝BC，BP＝CE，则可对④错误；然后利用正方形和等腰三角形的面积公式可对⑤进行判断．
【解答】
∵∠APF＝90∘，
∴∠APB+∠FPE＝90∘，
而∠APB+∠BAP＝90∘，
∴∠BAP＝∠FPE，
在△ABP和△PEF中
{∠BAP=EPF ∠B=∠E
AP=PF
，
∴△ABP≅△PEF，
∴BP＝EF，
∵四边形CEFG都是正方形，
∴CE＝EF，
∴BP＝CE，所以①正确；
∵∠BAP≠∠DAH，
∴不能判断△ABP≅△ADH，
∴不能确定AP＝AH，所以②错误；∵四边形CEFG都是正方形
∴GF // CE，
∴∠EPF＝∠GFP，
而∠BAP＝∠EPF，
∴∠BAP＝∠GFP，所以③正确；
∵∠APF＝90∘，AP＝PF，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴AF=√2AP，
∴AP2=1
2
AF2，
∵AP2＝AB2+BP2，
而AB＝BC，BP＝CE，
∴BC2+CE2=1
2
AF2，所以④错误；
∵S正方形ABCD+S正方形CEFG＝AB2+CE2＝AP2，
S△APF=1
2
AP2，
∴S正方形ABCD+S正方形CEFG＝2S△APF，所以⑤正确．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
【答案】
√5−1
【考点】
数轴
实数
在数轴上表示实数
【解析】
直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．
【解答】
由图形可得：−1到A的距离为√12+22=√5，
则数轴上点A表示的实数是：√5−1．
【答案】
−8
【考点】
二元一次方程组的解
列代数式求值
平方差公式
【解析】
把x与y的值代入方程组求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】
解：把{x=3,
y=−2代入方程组得：{
3a−2b=3①, 3b−2a=−7②,
①×3+②×2得：5a=−5，即a=−1，
把a=−1代入①得：b=−3，
则原式=a2−b2=1−9=−8.
故答案为：−8.
【答案】
(1, −2)
【考点】
二次函数的三种形式
【解析】
此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．
【解答】
解：∵y=−x2+2x−3
=−(x2−2x+1)−2
=−(x−1)2−2，
故顶点的坐标是(1, −2)．
故答案为：(1, −2)．
【答案】
<
【考点】
两直线平行问题
两直线相交非垂直问题
两直线垂直问题
相交线
【解析】
由图象可以知道，当x＝2时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论．
【解答】
解：由图象知，当x<2时，y2的图象在y1上方，
∴y1<y2．
故答案为：<．
【答案】
3√3
【考点】
线段垂直平分线的性质
矩形的性质
等边三角形的性质与判定
【解析】
由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB＝6，由勾股定理求出AD即可．
【解答】
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∴AD=√BD2−AB2=√62−32=3√3；
【答案】
1
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
设这两个“对等点”的坐标为(a．a)和(−a, −a)，代入抛物线的解析式，两式相减，计算即可求得．
【解答】
设这两个“对等点”的坐标为(a．a)和(−a, −a)，
代入y＝x2+mx−m得{a=a2+am−m
−a=a2−am−m
，
①-②得2a＝2am，
解得m＝1，
三、解答题（本题共8个小题，共66分）
【答案】
原式＝4+√6
3
−2√2+√2−1
＝4+√2−2√2+√2−1
＝3．
【考点】
负整数指数幂
二次根式的混合运算
分母有理化
【解析】
利用负整数指数幂、二次根式的除法法则和绝对值的意义计算．【解答】
原式＝4+√6
3
−2√2+√2−1
＝4+√2−2√2+√2−1
＝3．
【答案】
(1−
4
x+3
)÷
x2−2x+1
2x+6
=x+3−4
x+3
⋅
2(x+3)
(x−1)2
=x−1
1
⋅
2
(x−1)2
=2
x−1
，
当x=√2+1时，原式=
√2+1−1
=√2．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】
(1−
4
x+3
)÷
x2−2x+1
2x+6
=x+3−4
x+3
⋅
2(x+3)
(x−1)2
=x−1
1
⋅
2
(x−1)2
=2
x−1
，
当x=√2+1时，原式=
√2+1−1
=√2．
【答案】
20,2,1,36
补全图形如下：
画树状图如下：
一共有6种等可能的结果：男男、男女、女男、女女、女男、女女，其中一男一女的情况有3种，
所以所选两位同学恰好是一男一女的概率为3
6=1
2
．
【考点】
列表法与树状图法
总体、个体、样本、样本容量
条形统计图
扇形统计图
【解析】
（1）由A类别人数及其所占百分比可得样本容量，总人数乘以C类别对应百分比，再减去男生人数可得C类别中女生人数；由条形图可直接得出D类男生人数；用360∘乘以D类别人数占总人数的比例即可得；
（2）根据以上所求结果可补全图形；
（3）由条形图可知，A类别1男2女，D类别1男1女，画出树状图，根据概率公式求解即可．
【解答】
这次随机抽取的样本容量是(1+2)÷15%＝20，
C类女生有20×25%−3＝2（名），D类男生有1名，
扇形统计图中D类所对应的圆心角为360∘×2
20
=36∘，
故答案为：20、2、1、36；
补全图形如下：
画树状图如下：
一共有6种等可能的结果：男男、男女、女男、女女、女男、女女，其中一男一女的情况有3种，
所以所选两位同学恰好是一男一女的概率为3
6=1
2
．
【答案】
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90∘，AB＝CD，AB // CD，∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠EBD＝∠FDB，
∴EB // DF，
∵ED // BF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
∵四边形BFDE为菱形，
∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝90∘，
∴∠ABE＝30∘，
∵∠A＝90∘，BE＝2，
∴AE＝1，BF＝BE＝2AE＝2，
∴AB=√3，
∴菱形BFDE的面积为：2×√3=2√3．【考点】
菱形的性质
平行四边形的性质与判定
矩形的性质
翻折变换（折叠问题）
【解析】
（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和面积解答即可．
【解答】
证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ ∠A ＝∠C ＝90∘，AB ＝CD ，AB // CD ，
∴ ∠ABD ＝∠CDB ，
∴ ∠EBD ＝∠FDB ，
∴ EB // DF ，
∵ ED // BF ，
∴ 四边形BFDE 为平行四边形．
∵ 四边形BFDE 为菱形，
∴ BE ＝ED ，∠EBD ＝∠FBD ＝∠ABE ，
∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ AD ＝BC ，∠ABC ＝90∘，
∴ ∠ABE ＝30∘，
∵ ∠A ＝90∘，BE ＝2，
∴ AE ＝1，BF ＝BE ＝2AE ＝2，
∴ AB =√3，
∴ 菱形BFDE 的面积为：2×√3=2√3．
【答案】
甲种纪念文化衫每件的售价是60元，乙种纪念文化衫每件的售价是45元
当m ＝78时，所获利润最大，最大利润为1390元
【考点】
二元一次方程组的应用——行程问题
二元一次方程的应用
二元一次方程组的应用——其他问题
一元一次不等式组的应用
一次函数的应用
【解析】
（1）设甲种纪念文化衫每件的售价是x 元，乙种纪念文化衫每件的售价是y 元，由题意，列二元一次方程组，求解即可；
（2）①若购进甲种纪念文化衫m 件，则乙种纪念文化衫为(200−m)件，由题意得一元一次不等式组，求解，并根据m 为整数，可求得m 的值，即可得进货方案； ②用含m 的式子表示出W ，根据一次函数的性质可得答案．
【解答】
设甲种纪念文化衫每件的售价是x 元，乙种纪念文化衫每件的售价是y 元，由题意得： {x −y =152x +3y =255
解得：{x =60y =45
答：甲种纪念文化衫每件的售价是60元，乙种纪念文化衫每件的售价是45元．
①若购进甲种纪念文化衫m件，则乙种纪念文化衫为(200−m)件，由题意得：
{50m+40(200−m)≤8780 m>
3
5
(200−m)
解得：75<m≤78
∵m为整数
∴m的值为：76，77，78．
进货方案有三种，分别为：
方案一：购进甲种纪念文化衫76件，则乙种纪念文化衫为124件；
方案二：购进甲种纪念文化衫77件，则乙种纪念文化衫为123件；
方案三：购进甲种纪念文化衫78件，则乙种纪念文化衫为122件．
②由题意得：
W＝(60−50)m+(45−40)(200−m)＝5m+1000
∵5>0
∴W随m的增大而增大，且75<m≤78
∴当m＝78时，W最大，W的最大值为：5×78+1000＝1390元．答：当m＝78时，所获利润最大，最大利润为1390元．
【答案】
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，由折叠的性质，
可知∠EBD=∠CBD，∴∠ADB=∠EBD，∴BF=FD，
∴△BDF是等腰三角形．
(2)解：①四边形BFDG是菱形．
理由：∵FD // BG，DG // BE，
∴四边形BFDG是平行四边形.
又∵BF=DF，
∴四边形BFDG是菱形.
②设AF=x，则FD=8−x，
∴BF=FD=8−x
在Rt△ABF中，
62+x2=(8−x)2，
解得：x=7
4
，
∴FD=8−7
4=25
4
.
在Rt△ABD中，∵AB=6，AD=8，∴BD=10.
∵四边形BFDG是菱形，
∴OD=1
2BD=5，FO=1
2
FG，FG⊥BD，
在Rt△ODF中，
∵FO2+DO2=FD2，即FO2+52=(25
4
)2，
∴FO=15
4
，
∴FG=2FO=15
2
．
故答案为：15
2
.
【考点】
翻折变换（折叠问题）
矩形的性质
等腰三角形的判定
四边形综合题
菱形的判定
等腰三角形的性质
勾股定理
【解析】
（1）证明△BDF是等腰三角形，可证明BF＝DF，可通过证明∠EBD＝∠FDB实现，利用折叠的性质和平行线的性质解决．
（2）①先判断四边形BFDG是平行四边形，再由（1）BF＝FD得到结论；
②要求FG的长，可先求出OF的长，在Rt△BFO中，BO可由AB、AD的长及菱形的性质求得，解决问题的关键是求出BF的长．在Rt△BFA中，知AB＝6、AF+BF＝AD＝8，可求出BF的长，问题得以解决．
【解答】
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，由折叠的性质，
可知∠EBD=∠CBD，∴∠ADB=∠EBD，∴BF=FD，
∴△BDF是等腰三角形．
(2)解：①四边形BFDG是菱形．
理由：∵FD // BG，DG // BE，
∴四边形BFDG是平行四边形.
又∵BF=DF，
∴四边形BFDG是菱形.
②设AF=x，则FD=8−x，
∴BF=FD=8−x
在Rt△ABF中，
62+x2=(8−x)2，
解得：x=7
4
，
∴FD=8−7
4=25
4
.
在Rt△ABD中，∵AB=6，AD=8，∴BD=10.
∵四边形BFDG是菱形，
∴OD=1
2BD=5，FO=1
2
FG，FG⊥BD，
在Rt△ODF中，
∵FO2+DO2=FD2，即FO2+52=(25
4
)2，
∴FO=15
，
4
∴FG=2FO=15
．
2
.
故答案为：15
2
【答案】
√,√,×
∵A，B是“H点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝−1，
∴A(1, 4)，B(−1, −4)，
代入y＝ax2+bx+c(a≠0)
得，
∴，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，∴ ->2，
∴ ->2，
∴−1<a<0，
∵a+c＝0，
∴0<c<1，
综上所述，−1<a<0，b＝4，0<c<1．
∵y＝ax2+2bx+3c是“H函数”，
∴设H(p, q)和(−p, −q)，
代入得到，
解得ap2+3c＝0，2bp＝q，
∵p2>0，
∴a，c异号，
∴ac<0，
∵a+b+c＝0，
∴b＝−a−c，
∵(2c+b−a)(2c+b+3a)<0，
∴(2c−a−c−a)(2c−a−c+3a)<0，
∴(c−2a)(c+2a)<0，
∴c2<4a2，
∴<4，
∴−2<<2，
设t＝，则−2<t<0，
设函数与x轴交于(x1, 0)，(x2, 0)，
∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，
∴|x1−x2|＝
＝
＝
＝
＝2
＝2，
∵−2<t<0，
∴2<|x1−x2|<2．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）根据“H函数”的定义判断即可．
（2）先根据题意求出m，n的取值范围，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，
再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解．
（3）设“H“点为(p, q)和(−p, −q)，代入y＝ax2+2bx+3c得到ap2+3c＝0，2bp＝q，得到a，c异号，再根据a+b+c＝0，代入(2c+b−a)(2x+b+3a)<0，求出的
取值，设函数与x轴的交点为(x1, 0)，(x2, 0)，t＝，利用根与系数的关系得到|x1−
x2|＝＝2，再利用二次函数的性质即可求解．
【解答】
①y＝2x是“H函数”．②y＝(m≠0)是“H函数”．③y＝3x−1不是“H函数”．
故答案为：√，√，×．
∵A，B是“H点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝−1，
∴A(1, 4)，B(−1, −4)，
代入y＝ax2+bx+c(a≠0)
得，
∴，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴ ->2，
∴ ->2，
∴−1<a<0，
∵a+c＝0，
∴0<c<1，
综上所述，−1<a<0，b＝4，0<c<1．
∵y＝ax2+2bx+3c是“H函数”，
∴设H(p, q)和(−p, −q)，
代入得到，
解得ap2+3c＝0，2bp＝q，
∵p2>0，
∴a，c异号，
∴ac<0，
∵a+b+c＝0，
∴b＝−a−c，
∵(2c+b−a)(2c+b+3a)<0，
∴(2c−a−c−a)(2c−a−c+3a)<0，
∴(c−2a)(c+2a)<0，
∴c2<4a2，
试卷第21页，总24页
试卷第22页，总24页 ∴ <4，
∴ −2<<2，
设t ＝，则−2<t <0，
设函数与x 轴交于(x 1, 0)，(x 2, 0)，
∴ x 1，x 2是方程ax 2+2bx +3c ＝0的两根，
∴ |x 1−x 2|＝
＝
＝
＝
＝2 ＝2
， ∵ −2<t <0，
∴ 2<|x 1−x 2|<2
．
【答案】 ∵ 不等式x ≤ax 2+bx +c ≤14x 2+12x +14对一切实数都成立，
∴ 当x ＝1时也成立，即1≤a +b +c ≤1，
∴ 当x ＝1时，y ＝1；
∵ 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点(−1, 0)，
∴ a −b +c ＝0①，
又当x ＝1时，y ＝1，即a +b +c ＝1②，
由①②可得b =12，a +c =12，
∴ y ＝ax 2+12x +12−a ，
∴ x ≤ax 2+12x +12−a ≤14x 2+12x +14，
试卷第23页，总24页 即ax 2−12x +12−a ≥0及(a −14)x 2+14−a ≤0恒成立， ∴ a >0且△=14−4a(12−a)≤0，及△′＝0−4(a −14)(14−a)≤0，
解得：a =14， ∴ c =14，
∴ 二次函数的表达式为y =14x 2+12x +14；
∵ −1≤t ≤1，都有y 1<y 2，
∴ y 1−y 2<0，即[14(t +m)2+12(t +m)+14]−[14(2t)2+12×2t +14]<0， 整理得：−34t 2+(12m −12)t +14m 2+12m <0， ∵ 当t ＝1或t ＝−1时均成立，
∴ −34+12m −12+14m 2+12m <0，及−34−12m +12+14m 2+12m <0， 解得−5<m <1及−1<m <1，
∴ 实数m 的取值范围是：−1<m <1．
【考点】
二次函数与不等式（组）
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
（1）取特殊值x ＝1代入不等式x ≤ax 2+bx +c ≤14x 2+12x +14即可求得答案；
（2）将(−1, 0)代入二次函数y ＝ax 2+bx +c ，可得a −b +c ＝0①，当x ＝1时，y ＝1，即a +b +c ＝1②，由①②可解得b 的值及a 与c 的关系，再由二次函数的值与判别式的关系可得a 和c 的值；
（3））由−1≤t ≤1，都有y 1<y 2，将x ＝t +m 代入并整理，然后取特殊值t ＝1或t ＝−1，解得m 的值即可．
【解答】
∵ 不等式x ≤ax 2+bx +c ≤14x 2+12x +14对一切实数都成立，
∴ 当x ＝1时也成立，即1≤a +b +c ≤1，
∴ 当x ＝1时，y ＝1；
∵ 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点(−1, 0)，
∴ a −b +c ＝0①，
又当x ＝1时，y ＝1，即a +b +c ＝1②，
由①②可得b =12，a +c =12，
∴ y ＝ax 2+12x +12−a ，
∴ x ≤ax 2+12x +12−a ≤14x 2+12x +14，
即ax 2−12x +12−a ≥0及(a −14)x 2+14−a ≤0恒成立，
∴a>0且△=1
4−4a(1
2
−a)≤0，及△′＝0−4(a−1
4
)(1
4
−a)≤0，
解得：a=1
4
，
∴c=1
4
，
∴二次函数的表达式为y=1
4x2+1
2
x+1
4
；
∵−1≤t≤1，都有y1<y2，
∴y1−y2<0，即[1
4(t+m)2+1
2
(t+m)+1
4
]−[1
4
(2t)2+1
2
×2t+1
4
]<0，
整理得：−3
4t2+(1
2
m−1
2
)t+1
4
m2+1
2
m<0，
∵当t＝1或t＝−1时均成立，
∴−3
4+1
2
m−1
2
+1
4
m2+1
2
m<0，及−3
4
−1
2
m+1
2
+1
4
m2+1
2
m<0，
解得−5<m<1及−1<m<1，
∴实数m的取值范围是：−1<m<1．
试卷第24页，总24页。