等腰三角形证明题

1．已知：如图，△ABC为正三角形，D是BC延长线上一点，连结AD，以AD为边作等边三角形ADE，连结CE，用你学过的知识探索AC、CD、CE三条线段的长度有何关系?试写出探求过程．
2如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连接MN，
（1）求证：MN=BM+NC
（2）求△AMN的周长
3在ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
4如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，
A（0，1），点B为y轴上一动点，以BP为边作等
边△PBC．（1）求证：OB=AC；（2）求∠CAP的度数；（3）当B点运动时，AE的长度是否发生变化？
5如图，在等腰RtOAB中，∠AOB=90°，等腰RtEOF中，∠EOF=90°，连接AE，EF （1）AE=BF；
（2）AE⊥BF
6如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD。

求证：AD=CE
7在等边三角形ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，则APQ是什么形状的三角形？试说明理由。

8如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．
9如图，在ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且
DE=DB，求证：AE=BE+BC
10.如图点B是AC上一点，ABD和DCE都是等边三角形（1）求证：AC=BE；
（2）若BE⊥DC，求∠BDC的度数
11如图，在ABC中AB=AC，点D在BA的延长线上，E在AC上，且AD=AE，DE的延长线交BC于F，求证：DF⊥BC
12如图在ABC中AB=AC，EF交AB于E，交AC延长线于点F，交BC于点D，且BE=CF 求证：DE=EF
13如图在ABC中，∠BAC108°，AB=AC，BD平分∠ABC，
交AC于点D，求证：BC=AB+CD
14如图CE，CB分别是ABC，ADC的中线，且AB=AC，求证：CD=2CE
15如图，已知点B，C，D在同一条直线上，ABC和CDE都是等边三角形，BE交AC于F，AD交CE于H。

①求证：△BCE≌△ACD；
②求证：CF=CH；
③判断△CFH的形状并说明理由
16在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE
（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
17如图在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC，交DE的延长线与点F，连接CF
（1）求证：AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。

18如图ABC为等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点D，PQ=3，PE=1
求AD的长．
19如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，求∠A的度数
20如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于G，点F为AB边上一点连接CF ，且∠ACF=∠CBG
．求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE．
21、如图，四边形ABCD中，，是BC的中点，DE平分．
求证：AE平分；
判断AB、CD、AD之间的数量关系，并证明；
若，，求．
22、如图，在中，，是的平分线，于，在AC上，
说明：
；
．
23如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由
24已知在ABC中，AB=AC，D，E为BC上与点B，C不重合的两点，（D在E的左侧）且∠DAE=∠BAC
（1）如图①若∠ABC=30°，AD=AE则以BD，DE，CE为边的三角形的形状是
（2）如图②若∠ABC=45°，AD=AE请你判断以BD，DE，CE为边的三角形的形状，并证明你的结论；
（3）若∠ABC=a，请你直接写出以BD，DE，CE为边的三角形中DE边所对的角的°数
（用含a的式子表示）
25在ABC中，AC=BC，在DEC中，DC=EC，且∠DCE=∠ACB，当把两个三角形如图①放置时，有AD=BE
（1）当把DCE旋转一定角度时，得到图②，图③，此时是否仍有AD=BE？
（2）当CD和BC在一条直线上时，连接AD，EB，分别交CE于N，AC于M，它们的交
点为P，连接PC，PC平分∠BPD吗？
26（1）操作发现：如图①点D是等边ABC边BA上一动点（D，与B不重合），连接
DC，以DC为边在BC上方作等边DCF，连接AF，你发现AF与BD之间的数量关系吗？
并证明你的结论；
2）类比猜想：如图2，当动点D运动到等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，是否有新的结论？如果有新的结论，直接写出新的结论，不需证明．（3）深入探究：
①如图3，当动点D在等边三角形ABC的边BA上运动时（点D与点B不重合），连接D
C，以DC为边在其上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF'，连接AF，BF′．探究AF，BF′与AB有何数量关系？直接写出你的结论，不需证明．②如图4，当动点D在等边三角形ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图3相同，①中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，是否有新的结论？如果有新的结论，直接写出新的结论，不需证明．
27如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为______；
②线段AD，BE之间的数量关系为______．
（2）拓展探究
如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD=
，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
28在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，以点B为一锐角顶点作RtBDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不于A，重合）如图①，DE与AC交于点P，易证：BD=DP（无需写证明过程）
（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；
如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．
29．数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索
结论
当点E为AB的中点
时，如图1，确定线段
AE与DB的大小关系，
请你直接写出结论：
AE_________DB
（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE_________DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．
30．（2006•郴州）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．
（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
31、如图，在中，，，点D在线段BC上运动点D不与点B、C重合，连接AD，作，交线段AC于点E．
当时，______，______；
线段DC的长度为何值时， ≌ ，请说明理由；
在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；
若不可以，请说明理由．
32、如图，已知，平分，平分．
过点C作直线DE，分别交AM、BN于点D、E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？请直接写出关系式______ ．
如图，若将直线DE绕点C转动，使DE与AM交于点D，与NB的延长线交于点E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？请你给出结论并加以证明．
33如图1，在△ABC中，AE⊥BC于，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD、AC．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，仍然有DE⊥EC，DE=CE，试判断BD
与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；②你能求出BD与AC所成的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由．。