3_最佳平方逼近问题

( 0 , * f ) 0 * ( 1 , f ) 0 ( , * f ) 0 n
yfnie@
5
几何意义
平方逼近误差
f
*
* *
2 2
( f , f )
* *
*
( , ) 2 ( , f ) ( f , f )
yfnie@
8
基于正交基的最佳平方逼近（续）
( 0 , f ) ( 1 , f ) ( n , f ) * C , , , ( , ) ( , ) ( n , n ) 0 0 1 1

*

T

( 0 , f ) ( 0 , 0 )
)
3
0
平方误差计算
直接计算：

b a
* 2x a b sin x 2 ( ) dx ba
2 1
2
间接计算：
ab ba ba * 1 sin( 2 t 2 ) 2 ( t ) dt 2
yfnie@ 16
求 (x ) c 0 0 c 1 1 c n n , 使 得
* * * *
n n n n * * f c i i , f c i i min f c i i , f c i i . i0 i0 ci R i0 i0
c0 ( f , 0 ) c1 ( f ,1 ) cn ( f , n )
即 { i } i 0 是线性空间
的一组正交基。

T
( 0 , f ) ( 1 , f ) ( n , f ) * C , , , ( , ) ( , ) ( n , n ) 0 0 1 1
G n 是 Gram 矩阵
yfnie@ 3
法方程组（正规方程组）
•
G nC Fn
( 0 , 0 ) ( , ) 1 0 ( n , 0 )
( 0 , 1 ) ( 1 , 1 ) ( n , 1 )
span {1, x , x , , x }
2 n
n 1 1 n2 H 1 2n 1 1
右端项：

n
希尔伯特 (Hilbert)矩阵
1 1 1 n T F n ( f ( x ) dx , xf ( x ) dx , , x f ( x ) dx )

( 0 , n ) ( 1 , n ) ( n , n )
c0 ( f , 0 ) c1 ( f ,1 ) cn ( f , n )
• •
min
a ,b R
sin
1
x ( ax bx )
4

1 1 x
2
dx
span { x , x } span {T1 , T 4 }
4
yfnie@
12
•构造正交基
__对于不超过n次的多项式空间，即
span {1, x , x , , x }
*
( , ) ( , f )
* * *
T * ( f , f ) Fn C
yfnie@
6
举例
[a,b]=[0,1]; 系 数 矩 阵
1 1 Gn 2 1 n 1
ρ(x)≡1;
1 2 1 3 1 n2
* c0 ( f , 0 ) * ( f ,1 ) c1 * cn ( f , n )
( 0 , * ) ( 0 , f ) * ( 1 , ) ( 1 , f ) ( , * ) ( , f ) n n
case 3 : [ a , b ) [ 0 , ),
(x) e
x
,
span { L 0 , L1 , L 2 }
case 4 : ( a , b ) ( , ),
(x) e
x
2
,
span { H 0 , H 1 , H 2 }
yfnie@
其中
2 span {1, t , t }
2
yfnie@
15
（续）
1
0
问题求解过程
ab 2 ba 2
求解 sin(
t
) 在空间 span { P0 ( t ), P1 ( t ), P2 ( t )}
*
上的最佳平方逼近
2
0
（ t ） 2
*
做逆变换
2(
2x a b ba
. 则
A 对称正定
det( A ) 0 A x b 有惟一解向量，
记之为

T T T T T T (x ) x A x x b b x x A x x A A x
T T T T x A( x ) Ax A A T T T x A( x ) A( x ) A
9
•利用已知的正交基
例如 span {1, x , x }
2
case 1 : [ a , b ] [ 1,1],
( x ) 1,
span { P0 , P1 , P2 }
1 1 x
2
case 2 : [ a , b ] [ 1,1],
(x)
,
span {T 0 , T1 , T 2 }
0 0 0
H n C Fn
yfnie@ 7
基于正交基的最佳平方逼近
目的：减少计算量， 减小舍入误差的影响
( 0 , 0 ) 0 0
n
0 ( 1 , 1 ) 0

0 ( n , n ) 0
( k 1, 2 , )
( g k 1 , g k 1 )
yfnie@
13
(续）
__不完整的多项式空间或非多项式空间可用斯密 特正交化方法：
span { x , x , x }
3 4
span {1,
1 x
, ln x }
yfnie@
惟一解向量记为
* * * * T C ( c 0 , c1 , , c n )
n * *
最佳平方逼近的解函数： c i i
i0
yfnie@
4
法方程组的等价表示形式
( 0 , 0 ) ( , ) 1 0 ( n , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 1 ) ( n , 1 ) ( 0 , n ) ( 1 , n ) ( n , n )
a , b , c R
min

1 1

ˆ ˆ ˆ sin x ( a T 0 b T1 c T 2 )

2
1 1 x
2
dx
ˆ ˆ ˆ 由 a , b , c 然后计算出
a, b, c
11
yfnie@
（续2）
Remark 2 Φ的基。
例
1
注意正交函数系必须的的确确是
( f , f ) ( , )
* *
( 0 , * ) ( 0 , f ) * ( 1 , ) ( 1 , f ) ( , * ) ( , f ) n n

f
2 2

*
ห้องสมุดไป่ตู้2 2
( f , f ) ( f , )
( f , f ) 2
i0
n
T T ( f , f ) 2 C Fn C G n C
n n c i ( f , i ) c i i , c i i i0 i0
T F n (( f , 0 ), ( f , 1 ), , ( f , n ))
yfnie@
2
矩阵表述
n n f ci i , f ci i i0 i0
n n n ( f , f ) 2 f , c i i c i i , c i i i0 i0 i0
T T ( x ) A( x ) A
yfnie@
1
最佳平方逼近问题描述
span ( 0 , 1 , , n ) 内 积 空 间 C [a , b ] 的 n+1 维 子 空 间

范数取为内积诱导范数 最佳平方逼近问题
0
( 1 , f ) ( 1 , 1 )
1
( n , f ) ( n , n )
n

*
f
2 2
2 n ( f , i ) T * ( f , f ) F n C ( f , f ) i0
( i , i )
yfnie@
2 n
利用公式： g 0 1
g1 x 0 g k 1 ( x k ) g k k 1 g k 1
( k 1, 2 , )
k
( xg k , g k ) (gk , gk ) (gk , gk )
( k 0 ,1, )
k 1
14
•转化问题
例
c 0 , c1 , c 2 R
min
sin
b a
x ( c 0 c 1 x c 2 x ) dx
2

2
若想用Legendre正交多项式求解，作变换
x
1
ab 2
t
ba 2
( 1 t 1)
2
ab ba ba min sin( t ) 2 ( t ) dt 1 2 (t ) 2 2 2
5 最佳平方逼近问题
定 理 3 .3
设 A (a ij ) n n 为 实 对 称 正 定 矩 阵 , b 和 x 是 n 维列向量 T T 二 次 函 数 (x ) x A x 2x b 取 最 小 值 x 为线性方程组 Ax b 的解.
10
（续1）
Remark 1
例
1 a ,b , c R
注意函数f(x)的意义
x ( a bx cx )
2
min
sin
1

2
1 1 x
2
dx
[ a , b ] [ 1,1 ],
(x)
1 1 x
2
,
span {T 0 , T1 , T 2 }
f ( x ) sin x