华龙区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

华龙区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在二项式（x 3﹣）n （n ∈N *）的展开式中，常数项为28，则n 的值为（ ）
A ．12
B ．8
C ．6
D ．4
2． 四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在
体积为
24316
π
同一球面上，则PA =（ ） A ．3 B ．72 C ．23 D ．9
2
【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
3． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x
B x x R =≤∈，则集合U A
C B I 为（ ） A.]1,1[- B.]1,0[ C.]1,0( D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力. 4． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()
2121
0f x f x x x -<-，则
（ ）
A ．()()()213f f f -<<
B ．()()()123f f f <-<
C ．()()()312f f f <<
D ．()()()321f f f <-<
5． 若动点A ，B 分别在直线l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为（ ） A ．3
B ．2
C ．3
D ．4
6． 如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个 圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
π
1
B ．π21
C ．π121-
D ．π2141-
D
A
B
C
O
【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．
7． 已知不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ，若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值
范围为（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(,1)-∞
C ．(2,)+∞
D ．(1,)+∞ 8． 有下列四个命题：
①“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题． 其中真命题为（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
9． 设n S 是等差数列{}n a 的前项和，若5359a a =，则95
S
S =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N *，如果ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）
A ．a 、b 都能被5整除
B ．a 、b 都不能被5整除
C ．a 、b 不都能被5整除
D ．a 不能被5整除
11．设集合M={x|x ＞1}，P={x|x 2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（ ） A ．M=P B ．P ⊊M C ．M ⊊P D ．M ∪P=R
12．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中有S 17＜0，S 18＞0，那么S n 中最小的是（ ） A ．S 10 B ．S 9
C ．S 8
D ．S 7
二、填空题
13．设集合A={﹣3，0，1}，B={t 2﹣t+1}．若A ∪B=A ，则t= ．
14．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7= ．
15．已知函数f （x ）=x 2+
x ﹣b+（a ，b 为正实数）只有一个零点，则+的最小值为 ．
16．已知含有三个实数的集合既可表示成}1,,
{a
b
a ，又可表示成}0,,{2
b a a +，则 =+20042003b a .
17．已知关于的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，则关于的不等式2
10bx ax ++>的解集
为___________.
18．已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则
b
a
的值为 ▲ ． 三、解答题
19．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为C 1：
为参数），曲线C 2：
=1．
（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C 1，C 2的极坐标方程； （Ⅱ）射线θ=（ρ≥0）与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的交点为B ，求|AB|．
20．已知集合A={x|
＞1，x ∈R}，B={x|x 2﹣2x ﹣m ＜0}．
（Ⅰ）当m=3时，求；A ∩（∁R B ）；
（Ⅱ）若A ∩B={x|﹣1＜x ＜4}，求实数m 的值．
21．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．
如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于E ，过E 的切线与AC 交于D .
（1）求证：CD ＝DA ；
（2）若CE ＝1，AB ＝2，求DE 的长．
22．已知集合A={x|x ＜﹣1，或x ＞2}，B={x|2p ﹣1≤x ≤p+3}． （1）若p=，求A ∩B ；
（2）若A ∩B=B ，求实数p 的取值范围．
23．（本小题满分16分）
在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. （1） 求()h x 的表达式；
（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）
24．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，BC ⊥CF ，，EF=2，BE=3，CF=4．
（Ⅰ）求证：EF ⊥平面DCE ；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
华龙区民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：展开式通项公式为T r+1=
•（﹣1）r •x 3n ﹣4r ，
则∵二项式（x 3﹣）n （n ∈N *）的展开式中，常数项为28，
∴，
∴n=8，r=6． 故选：B ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
2． 【答案】B
【解析】连结,AC BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连结OE ，则OE PA P ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 球心，均为2221118222
PC PA AC PA =+=+，所以由球的体积可得
2341243(8)3216PA ππ+=
，解得7
2
PA =，故选B ．
3． 【答案】C.
【解析】由题意得，[11]
A =-，，(,0]
B =-∞，∴(0,1]U A
C B =I ，故选C. 4． 【答案】
D 5． 【答案】A
【解析】解：∵l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0是平行直线， ∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M 到原点的距离的最小值
∵直线l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0，
∴两直线的距离为=， ∴AB 的中点M 到原点的距离的最小值为+=3
，
故选：A
【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．
6． 【答案】C
【解析】设圆O 的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC 中研究问题，过两个半圆的交点分别向OA ，OC 作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为
12
-π
，扇形
OAC 的面积为π，所求概率为π
π
π
12112
-=
-=P ． 7． 【答案】A
【解析】解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域D 如图所示，先求z ax y =+的最小值，当12
a ≤时，12a -≥-
，z ax y =+在点1,0A （）取得最小值a ；当12a >时，12a -<-，z ax y =+在点11
,33
B （）
取得最小值1133a +．若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则有z ax y =+的最小值小于1，∴121a a ⎧
≤
⎪⎨⎪<⎩或
121113
3a a ⎧>⎪⎪⎨⎪+<⎪，∴2a <，选A ． 8． 【答案】B
【解析】解：①由于“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；
O
x
y
(1,0)A 11
(,)33
B
③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．
综上可得：真命题为：①③．
故选：B．
【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
9．【答案】A
【解析】1111]
试题分析：
19
95
15
53
9()
9
21
5()5
2
a a
S a
a a
S a
+
===
+
．故选A．111]
考点：等差数列的前项和．
10．【答案】B
【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．
11．【答案】B
【解析】解：P={x|x=3}，M={x|x＞1}；
∴P⊊M．
故选B．
12．【答案】C
【解析】解：∵S16＜0，S17＞0，
∴=8（a8+a9）＜0，=17a9＞0，
∴a8＜0，a9＞0，
∴公差d＞0．
∴S n中最小的是S8．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】0或1．
【解析】解：由A∪B=A知B⊆A，∴t2﹣t+1=﹣3①t2﹣t+4=0，①无解
或t2﹣t+1=0②，②无解
或t2﹣t+1=1，t2﹣t=0，解得t=0或t=1．
故答案为0或1．
【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．
14．【答案】49
【解析】解：
=
=7a4
=49．
故答案：49．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．
15．【答案】9+4．
【解析】解：∵函数f（x）=x2+x﹣b+只有一个零点，
∴△=a﹣4（﹣b+）=0，∴a+4b=1，
∵a，b为正实数，
∴+=（+）（a+4b）=9++
≥9+2=9+4
当且仅当=，即a=b时取等号，
∴+的最小值为：9+4
故答案为：9+4
【点评】本题考查基本不等式，得出a+4b=1是解决问题的关键，属基础题．
16．【答案】-1
【解析】
试题分析：由于{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫
=+⎨⎬⎩⎭
，所以只能0b =，1a =-，所以()20032003200411a b +=-=-。

考点：集合相等。

17．【答案】),1()2
1,(+∞-∞Y 【
解
析
】
考
点：一元二次不等式的解法.
18．【答案】1
2
-
考
点：函数极值
【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求f ′（x ）―→求方程f ′（x ）＝0的根―→列表检验f ′（x ）在f ′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.
（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f ′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程：（x﹣1）2+y2=1，
由可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅱ）射线与曲线C1的交点A的极径为，
射线与曲线C2的交点B的极径满足，解得，所以．
20．【答案】
【解析】解：（1）当m=3时，由x2﹣2x﹣3＜0⇒﹣1＜x＜3，
由＞1⇒﹣1＜x＜5，
∴A∩B={x|﹣1＜x＜3}；
（2）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，
∵A=（﹣1，5），
∴4是方程x2﹣2x﹣m=0的一个根，
∴m=8，
此时B=（﹣2，4），满足A∩B=（﹣1，4）．
∴m=8．
21．【答案】
【解析】解：（1）证明：
如图，连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
AC，DE均为⊙O的切线，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
∠DAE＝∠DEA＝∠B，
∴DA ＝DE .
∠C ＝90°－∠B ＝90°－∠DEA ＝∠DEC ， ∴DC ＝DE ， ∴CD ＝DA .
（2）∵CA 是⊙O 的切线，AB 是直径， ∴∠CAB ＝90°，
由勾股定理得CA 2＝CB 2－AB 2， 又CA 2＝CE ×CB ，CE ＝1，AB ＝2， ∴1·CB ＝CB 2－2，
即CB 2－CB －2＝0，解得CB ＝2， ∴CA 2＝1×2＝2，∴CA ＝ 2. 由（1）知DE ＝12CA ＝2
2，
所以DE 的长为2
2
.
22．【答案】
【解析】解：（1）当p=时，B={x|0≤x ≤}， ∴A ∩B={x|2＜x ≤}； （2）当A ∩B=B 时，B ⊆A ；
令2p ﹣1＞p+3，解得p ＞4，此时B=∅，满足题意； 当p ≤4时，应满足，
解得p 不存在；
综上，实数p 的取值范围p ＞4．
23．【答案】（1） ()()2
10473h x x x =
+-- （37x <<）（2） 13 4.33
x =≈
试
题解析：（1） 因为()f x 与3x -成反比，()g x 与7x -的平方成正比， 所以可设：()13
k f x x =-，()()2
27g x k x =-，12.00k k ≠≠，，
则()()()()2
1273
k h x f x g x k x x =+=
+--则 ………………………………………2分 因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套 所以，()()521, 3.569h h ==，即1
2124212
49269
4
k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：12104k k =⎧⎨=⎩， ……………6分
所以，()()2
10473
h x x x =
+-- （37x <<） ………………………………………8分 （2） 由（1）可知，套题每日的销售量()()2
10473
h x x x =
+--，
答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分
考点：利用导数求函数最值
24．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=，
∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE由已知条件知，DC⊥平面EFCB，
∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE
解：（Ⅱ）
方法一：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，
AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．
所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．
在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=
∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，
∴
由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，
所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°
方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz．
设AB=a（a＞0），则C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，3，0），F（0，4，0）．从而，
设平面AEF的法向量为，由得，，取x=1，
则，即，
不妨设平面EFCB的法向量为，
由条件，得
解得．所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．。