2017-2018年四川省资阳中学高二(下)4月月考数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年四川省资阳中学高二（下）4月月考数学试卷（文
科）
一、选择题（共12题，每题5分，共60分）
1．（5分）设F1、F2分别是椭圆+＝1的两个焦点，点P在椭圆上，且|PF1|＝2，则|PF2|
＝（）
A．2B．4C．8D．6
2．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是（）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 3．（5分）已知抛物线方程y2＝﹣4x，则它的准线方程是（）
A．y＝﹣2B．x＝﹣2C．y＝1D．x＝1
4．（5分）下列求导运算正确的是（）
A．（）′＝B．（x•lnx）′＝1+
C．（x2sin x）′＝2x cos x D．（x•cos x）′＝cos x﹣x sin x
5．（5分）已知函数f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f（e）＝（）
A．﹣1B．C．﹣2e+1D．﹣2e
6．（5分）已知F是抛物线y2＝8x的焦点，直线y＝4与抛物线相交于点A，则|AF|＝（）A．4B．6C．8D．10
7．（5分）已知直线l与双曲线﹣＝1交于A、B两点，且弦AB的中点为M（3，），
则直线l的方程为（）
A．2x﹣3y﹣6＝0B．3x﹣2y﹣6＝0C．6x﹣4y﹣6＝0D．4x﹣6y﹣3＝0 8．（5分）设F是抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2
9．（5分）若函数g（x）＝﹣x3﹣3x2+4在区间[a，0]上的最大值大于4则a的取值范围是
（）
A．{﹣3，0}B．[﹣3，0]C．（+∞，﹣3]D．（﹣∞，﹣3）10．（5分）若函数f（x）的定义域为R，f（1）＝﹣1，对∀x∈R，f’（x）＜3，则f（x）＞3x﹣4的解集为（）
A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）11．（5分）如图，已知曲线C：y＝f（x）与直线l相切与点A，设g（x）＝xf（x）．则曲线y＝g（x）在点（2，g（2））处的切线方程为（）
A．x﹣2y+2＝0B．3x﹣y﹣4＝0C．3x﹣y﹣2＝0D．x﹣3y﹣2＝0 12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）求曲线f（x）＝lnx在点M（e，f（e））处的切线方程．
14．（5分）若函数g（x）＝x3﹣2x+2在区间（m，1）上不单调，则m的取值范围是．15．（5分）已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf′（x）≥0的解集为．
16．（5分）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，P是抛物线C上一点，A（5，4）．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为
三、解答题（共70分）
17．（10分）已知椭圆C：+＝1过点A（2，0），D（0，）两点，
（1）求椭圆C的方程和离心率．
（2）设B是椭圆C上不同于A的点，弦AB的中点为M（m，n），求m，n的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣mx2+nx，在x＝﹣2处取得极大值，
（1）求实数m，n的值；
（2）设x∈[﹣2，+∞），求函数f（x）的值域．
19．（12分）设椭圆M：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知过点F且垂直于x轴的弦（通经）长等于1，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知斜率k＝1的直线BC与椭圆M的另一个交点为C，求三角形△ABC的面积．20．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax2（e是自然对数的底数．
（1）若a＝e，记f（x）的导函数为g（x），求g（x）的极值点和极值．
（2）若函数y＝f（x）在[，2]上单调递增，求正数a的取值范围．
21．（12分）设函数f（x）＝lnx﹣x+2．
（1）讨论f（x）的单调性及零点个数．
（2）证明，当x∈（1，+∞）时，x﹣1＜xlnx；
22．（12分）如图，设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1．设直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M．
（1）求p的值；
（2）求证：点A与B横坐标之积、纵坐标之积分别都为定值．
（3）求M的横坐标的取值范围．
2017-2018学年四川省资阳中学高二（下）4月月考数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12题，每题5分，共60分）
1．（5分）设F1、F2分别是椭圆+＝1的两个焦点，点P在椭圆上，且|PF1|＝2，则|PF2|＝（）
A．2B．4C．8D．6
【解答】解：由椭圆+＝1，可得a＝3，
F1、F2分别是两个焦点，
∵点P在椭圆上，根据定义得|PF1|+|PF2|＝2a＝6，
∵|PF1|＝2，∴|PF2|＝4．
故选：B．
2．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是（）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
【解答】解：双曲线的渐近线方程是，即．
故选：C．
3．（5分）已知抛物线方程y2＝﹣4x，则它的准线方程是（）
A．y＝﹣2B．x＝﹣2C．y＝1D．x＝1
【解答】解：抛物线y2＝﹣4x开口向左，对称轴为x轴，准线垂直于x轴，
∵p＝2，∴，
则抛物线y2＝﹣4x的准线方程为x＝1，
故选：D．
4．（5分）下列求导运算正确的是（）
A．（）′＝B．（x•lnx）′＝1+
C．（x2sin x）′＝2x cos x D．（x•cos x）′＝cos x﹣x sin x
【解答】解：A.，∴该选项错误；
B．（x•lnx）′＝lnx+1，∴该选项错误；
C．（x2sin x）′＝2x sin x+x2cos x，∴该选项错误；
D．（x•cos x）′＝cos x﹣x sin x，∴该选项正确．
故选：D．
5．（5分）已知函数f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f（e）＝（）
A．﹣1B．C．﹣2e+1D．﹣2e
【解答】解：；
∴f′（1）＝2f′（1）+1；
∴f′（1）＝﹣1；
∴f（x）＝﹣2x+lnx；
∴f（e）＝﹣2e+1．
故选：C．
6．（5分）已知F是抛物线y2＝8x的焦点，直线y＝4与抛物线相交于点A，则|AF|＝（）A．4B．6C．8D．10
【解答】解：由抛物线y2＝8x得，2p＝8，，
联立，得x＝2，y＝4．
∴点A的坐标为（2，4），
则|AF|＝，
故选：A．
7．（5分）已知直线l与双曲线﹣＝1交于A、B两点，且弦AB的中点为M（3，），则直线l的方程为（）
A．2x﹣3y﹣6＝0B．3x﹣2y﹣6＝0C．6x﹣4y﹣6＝0D．4x﹣6y﹣3＝0【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝6，y1+y2＝3，
﹣＝1，﹣＝1，
两式相减，得﹣＝0，
即有（x1﹣x2）＝y1﹣y2，
可得直线l的斜率为k＝＝，
即有直线l的方程为y﹣＝（x﹣3），
化简得3x﹣2y﹣6＝0．
故选：B．
8．（5分）设F是抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2
【解答】解：由题意得F（，0），准线为x＝﹣，设双曲线的一条渐近线为y＝x，
则点A（，），
由抛物线的定义得|PF|等于点A到准线的距离，即＝+，
∴＝1，e＝＝，
故选：A．
9．（5分）若函数g（x）＝﹣x3﹣3x2+4在区间[a，0]上的最大值大于4则a的取值范围是（）
A．{﹣3，0}B．[﹣3，0]C．（+∞，﹣3]D．（﹣∞，﹣3）【解答】解：∵g（x）＝﹣x3﹣3x2+4，
g′（x）＝﹣3x（x+2），
由g′（x）＞0，得﹣2＜x＜0，由g′（x）＜0，得x＜﹣2或x＞0，
∴g（x）在（﹣∞，﹣2）、（0，+∞）递减，在（﹣2，0）递增，
∴当x＝0时，g（x）极大值＝g（0）＝4，
令g（x）＝﹣x3﹣3x2+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，
故g（﹣3）＝g（0）＝4，
∴要函数g（x）在区间[a，0]上的最大值大于4，
则a＜﹣3．
故选：D．
10．（5分）若函数f（x）的定义域为R，f（1）＝﹣1，对∀x∈R，f’（x）＜3，则f（x）＞3x﹣4的解集为（）
A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）
【解答】解：构造函数F（x）＝f（x）﹣3x+4，则F’（x）＝f’（x）﹣3＜0，故F（x）为减函数，
又F（1）＝f（1）﹣3+4＝0，
∴当﹣∞＜x＜1时，F（x）＞0，
即f（x）﹣3x+4＞0，f（x）＞3x﹣4，
故选：C．
11．（5分）如图，已知曲线C：y＝f（x）与直线l相切与点A，设g（x）＝xf（x）．则曲线y＝g（x）在点（2，g（2））处的切线方程为（）
A．x﹣2y+2＝0B．3x﹣y﹣4＝0C．3x﹣y﹣2＝0D．x﹣3y﹣2＝0【解答】解：由图可知点A（2，2）同时在曲线C和切线l上，
∴f（2）＝2，又切线过点（0，1），
∴切线线斜率k＝，所以f’（2）＝；
又g（2）＝2f（2）＝4，于是曲线y＝g（x）的切线切点为（2，4）；
由g’（x）＝f（x）+xf’（x），
∴曲线y＝g（x）的切线斜率为k0＝g’（2）＝f（2）+2f’（2）＝3，
∴切线方程为y﹣4＝3（x﹣2），即3x﹣y﹣2＝0，
故选：C．
12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE的方程为y＝k（x+a），
令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得H（0，），
由B，H，M三点共线，可得k BH＝k BM，
即为＝，
化简可得＝，即为a＝3c，
可得e＝＝．
另解：由△AMF∽△AEO，
可得＝，
由△BOH∽△BFM，
可得＝＝，
即有＝即a＝3c，
可得e＝＝．
故选：A．
二、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）求曲线f（x）＝lnx在点M（e，f（e））处的切线方程y＝．
【解答】解：求导数可得f′（x）＝，∴f′（e）＝
∵f（e）＝1，即切点为（e，1）
∴曲线f（x）＝1nx在点M（e，f（e））处的切线方程为y﹣1＝（x﹣e），即y＝．
故答案为：y＝．
14．（5分）若函数g（x）＝x3﹣2x+2在区间（m，1）上不单调，则m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
【解答】解：∵g′（x）＝2x2﹣2
＝2（x+1）（x﹣1），
由g′（x）＞0，得x＜﹣1，或x＞1；
由g′（x）＜0，得﹣1＜x＜1，
∴g（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）递增；
在（﹣1，1）递减，
若函数g（x）＝x3﹣2x+2在区间（m，1）上不单调，
则m∈（﹣∞，﹣1），
故答案为：（﹣∞，﹣1）．
15．（5分）已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf′（x）≥0的解集为[0，]∪[2，+∞）．
【解答】解：由f（x）图象特征可得，
f′（x）在（﹣∞，]∪[2，+∞）上大于0，在（，2）上小于0，
∴xf′（x）≥0⇔或⇔0≤x≤或x≥2，
∴xf′（x）≥0的解集为[0，]∪[2，+∞）．
故答案为：
16．（5分）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，P是抛物线C上一点，A（5，4）．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为6
【解答】解：由已知y2＝8x，得抛物线焦点F（2，0），准线x＝﹣2，
由A（5，4），求得|AF|＝5．
过点P作准线x＝﹣2的垂线，垂足为M，过点A作准线x＝﹣2的垂线，垂足为N，|AN|
＝5，
由抛物线线的定义得|PF|＝|PM|．
∴△APF的周长：|P A|+|PF|+|AF|＝|P A|+|PM|+5≥|AM|+5≥|AN|+5＝7+5＝12最小，
当P为为直线AN与抛物线C的交点时“＝”成立，此时△APF的周长最小．
即，得P（2，4）．
∴当△APF的周长最小时，该三角形的面积S＝．
故答案为：6．
三、解答题（共70分）
17．（10分）已知椭圆C：+＝1过点A（2，0），D（0，）两点，
（1）求椭圆C的方程和离心率．
（2）设B是椭圆C上不同于A的点，弦AB的中点为M（m，n），求m，n的取值范围．【解答】解：（1）：∵椭圆C：椭圆C：+＝1过点A（2，0），D（0，）两点，∴a＝2，b＝，则c＝＝＝1，e＝＝，
∴椭圆C的方程为+＝1，离心率为e＝，
（2）：由（1）知，椭圆C：+＝1，点A（2，0），设点B（x0，y0），
∵M（m，n）为线段AB的中点，∴m＝，n＝＝，
∵B是椭圆C上不同于A的点，∴﹣2≤x0＜2，﹣≤y0≤，
∴0≤＜2，﹣≤≤，
∴0≤m＜2，﹣≤n≤，
∴m的取值范围是[0，2），n的取值范围是[﹣，]
18．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣mx2+nx，在x＝﹣2处取得极大值，
（1）求实数m，n的值；
（2）设x∈[﹣2，+∞），求函数f（x）的值域．
【解答】解（1）：f（x）＝x3﹣mx2+nx，f'（x）＝x2﹣2mx+n，
所以依题意得，解得：…（（5分）
（2）由（1）知f（x）＝x3﹣4x，f'（x）＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
由f′（x）＝0，得x＝﹣2，x＝2…（（7分）
由f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，
由f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，
又∵x∈[﹣2，+∞），
∴f（x）在[﹣2，2]在递减，f（x）在[2，+∞）在递增，
∴f（x）min＝f（2）＝﹣，…（（11分）
∴x∈[﹣2，+∞）时，函数f（x）的值域为[﹣，+∞）…（（12分）
19．（12分）设椭圆M：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知过点F且垂直于x轴的弦（通经）长等于1，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知斜率k＝1的直线BC与椭圆M的另一个交点为C，求三角形△ABC的面积．
【解答】解：（1）：由+＝1，令x＝c，得+＝1，
∴y＝±，其中c2＝a2﹣b2．
由题意，2|y|＝1，则＝1，…①，
又∵e2＝＝…②，
①②联立解得a＝2＝2，b＝1，
∴椭圆M的方程为：+y2＝1，
（2）：由已知A（2，0），B（0，1），直线BC的斜率k＝1，
所以直线BC为：y＝x+1，设B（x1，y1）、C（x2，y2），
由，得5x2+8x＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝0，
∴|BC|＝•＝•＝
又点A（2，0）到直线BC的距离d＝，
∴三角形△ABC的面积为|BC|d＝××＝．
20．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax2（e是自然对数的底数．
（1）若a＝e，记f（x）的导函数为g（x），求g（x）的极值点和极值．
（2）若函数y＝f（x）在[，2]上单调递增，求正数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵a＝e，∴f（x）＝e x﹣ex2，f′（x）＝e x ex，∴g（x）＝e x﹣ex…（（1分）
∴g′（x）＝e x﹣e，令g′（x）＝0，得x＝1，
于是x∈（﹣∞，1），g′（x）＜0，g（x）递减；
x∈（1，+∞），g′（x）＞0，g（x）递增；…（（3分）
∴g（x）的极小值点是x＝1，极小值是g（1）＝0，
∴g（x）无极大值…（（5分）
（2）：f（x）＝e x﹣ax2，f′（x）＝e x﹣ax，a＞0，
∵f（x）在[，2]上单调递增，
∴e x﹣ax≥0在x∈[，2]上恒成立，
即a≤在x∈[，2]上恒成立，
∴a≤（）min．…（（7分）
令g（x）＝，x∈[，2]，g′（x）＝，
当x∈[，1]时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，…（（10分）
∴g（x）在x＝1处取得最小值为g（1）＝e，
∴正数a的取值范围是（0，e]…（（12分）
21．（12分）设函数f（x）＝lnx﹣x+2．
（1）讨论f（x）的单调性及零点个数．
（2）证明，当x∈（1，+∞）时，x﹣1＜xlnx；
【解答】解：（1）函数f（x）＝lnx﹣x+2的定义域为（0，+∞），其导函数，
由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；
由f′（x）＜0，可得x＞1．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
当x＝1时，f（x）取得极大值为f（1）＝1＞0，
又f（）＝﹣＜0，
f（e2）＝4﹣e2＜0，
∴f（x）有两个零点；
（2）证明：要证x﹣1＜xlnx，
即证xlnx﹣x+1＞0，
设g（x）＝xlnx﹣x+1，x∈（1，+∞），
则g'（x）＝lnx，
∵x∈（1，+∞），
∴lnx＞0
∴g'（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）单调递增，
又g（1）＝0，
∴g（x）＞0，
即xlnx﹣x+1＞0，
∴x﹣1＜xlnx．
22．（12分）如图，设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1．设直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M．
（1）求p的值；
（2）求证：点A与B横坐标之积、纵坐标之积分别都为定值．
（3）求M的横坐标的取值范围．
【解答】（1）解：由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x＝﹣1的距离，由抛物线定义得，＝1，即p＝2；
（2）证明：由（1）得，抛物线方程为y2＝4x，F（1，0），依题意，AF斜率存在，
∴设直线AF：y＝k（x﹣1），k≠0，
联立，得k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），根据根与系数的关系，
得，又，且y1、y2异号，
∴y1y2＝﹣4．
∴点A与B横坐标之积、纵坐标之积分别都为定值；
（3）解：设A（t，2）由题意可得t＞0，且t≠1，否则点N不存在．
由（2），可得B（），于是直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得FN：，直线BN：，联立求解可得，N（），
设M（m，0），由A、M、N三点共线，得，
化简得，得m＜0或m＞2．
∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．。