(福建专版)中考数学复习方案 第四单元 三角形 课时训练23 相似三角形的应用-人教版初中九年级全册

课时训练(二十三)相似三角形的应用
(限时:30分钟)
|夯实基础|
1.[2019·某某质检]如图K23-1,已知DE 为△ABC 的中位线,△ADE 的面积为3,则四边形DECB 的面积为
()
图K23-1
A .6
B .8
C .9
D .12
2.[2018·滨州]在平面直角坐标系中,线段AB 两个端点的坐标分别为A (6,8),B (10,2).若以原点O 为位似中心,在第一象限内将线段AB 缩短为原来的1
2后得到线段CD ,则点A 的对应点C 的坐标为 () A .(5,1)B .(4,3) C .(3,4)D .(1,5)
3.[2019·眉山]如图K23-2,一束光线从点A (4,4)出发,经y 轴上的点C 反射后,经过点B (1,0),则点C 的坐标是 ()
图K23-2
A .0,1
2B .0,4
5 C .(0,1)D .(0,2)
4.[2019·某某]把边长分别为1和2的两个正方形按如图K23-3的方式放置.则图中阴影部分的面积为 ()
图K23-3
A .1
6B .1
3 C .1
5D .14
5.[2019·凉山州]如图K23-4,在△ABC 中,D 在AC 边上,AD ∶DC=1∶2,O 是BD 的中点,连接AO 并延长交BC 于
E ,则BE ∶EC= ()
图K23-4
A.1∶2
B.1∶3
C.1∶4
D.2∶3
6.如图K23-5,一X矩形纸片ABCD的长AB=a,宽BC=b.将纸片对折,折痕为EF,所得矩形AFED与矩形ABCD相似,则a∶b=()
图K23-5
A.2∶1
B.√2∶1
C.3∶√3
D.3∶2
7.在如图K23-6所示的相似四边形中,未知边x=.
图K23-6
8.[2019·东营广饶县二模]如图K23-7,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把△ABC放大到原来的2倍.设点B的对应点B'的横坐标是a,则点B的横坐标是.(用含a的式子表示)
图K23-7
9.[2019·某某一模]在我国古代数学著作《九章算术》中,有一名题如下:今有木去人不知远近,立四表,相去各一丈,令左两表与所望参相直,从后右表望之,入前右表三寸.问木去人几何?可译为:有一棵树C与人(A处)
相距不知多远,立四根标杆A ,B ,G ,E ,前后左右的距离各为1丈(即四边形ABGE 是正方形,且AB=100寸),使左两标杆A ,E 与所观察的树C 三点成一直线.又从后右方的标杆B 观察树C ,测得其“入前右表”3寸(即FG=3寸),问树C 与人所在的A 处的距离有多远?
图K23-8
|能力提升|
10.[2019·某某]如图K23-9,在等腰三角形ABC 中,AB=AC ,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形的面积为1,△ABC 的面积为42,则四边形DBCE 的面积是 ()
图K23-9
A .20
B .22
C .24
D .26
11.[2019·.某某质检]如图K23-10,等边三角形ABC 的边长为5,D ,E 分别是边AB ,AC 上的点,将△ADE 沿DE 折叠,点A 恰好落在BC 边上的点F 处,若BF=2,则BD 的长是 ()
图K23-10
A .24
7B .21
8C .3D .2
12.一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120 mm,高AD=80 mm,把它加工成正方形零件,如图K23-11①,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)求证:△AEF∽△ABC;
(2)求这个正方形零件的边长;
(3)如果把它加工成矩形零件,如图②,问这个矩形的最大面积是多少?
图K23-11
|思维拓展|
13.[2019·眉山]如图K23-12,在菱形ABCD中,已知AB=4,∠ABC=60°,∠EAF=60°,点E在CB的延长线上,点F在DC的延长线上,有下列结论:①BE=CF;②∠EAB=∠CEF;③△ABE∽△EFC;④若∠BAE=15°,点F到BC的距离为2√3-2,其中正确结论的个数是 ()
图K23-12
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
14.[2019·某某]根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.
(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).
①四条边成比例的两个凸四边形相似;(命题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似;(命题) ③两个大小不同的正方形相似.(命题)
(2)如图K23-13①②,在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中,∠ABC=∠A 1B 1C 1,∠BCD=∠B 1C 1D 1,AA A 1A 1=AA A 1A 1=AA
A 1A 1
,求证:四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似.
(3)如图③,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AC 与BD 相交于点O ,过点O 作EF ∥AB 分别交AD ,BC 于点E ,F.记四边形ABFE 的面积为S 1,四边形EFCD 的面积为S 2,若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似,求A
2A 1
的值.
图K23-13
【参考答案】
1.C
2.C[解析]根据题意得点C 的坐标为6×1
2,8×1
2,即C (3,4). 3.B[解析]过点A 作AD ⊥y 轴于点D , ∵∠ADC=∠COB=90°,∠ACD=∠BCO , ∴△OBC ∽△DAC ,∴AA AA =AA
AA , ∴
AA 1
=
4-AA 4,解得:OC=4
5,
∴点C 0,4
5,故选B .
4.A[解析]∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形,∴AD=DC=1,CE=2,AD ∥CE ,∴△ADH ∽△ECH ,∴AA AA =AA
AA ,∴
1
2=AA 1-AA
,解得DH=13,∴阴影部分的面积为12×13×1=1
6,故选A . 5.B[解析]如图,过点D 作DF ∥AE 交BC 于点F ,
则AA AA =AA
AA =1,AA AA =AA AA =1
2,∴BE ∶EF ∶FC=1∶1∶2, ∴BE ∶EC=1∶3.故选B . 6.B
7.27[解析]根据题意得:1812=A
18,解得x=27.
8.-1
2(a +3)[解析]设点B 的横坐标为x ,
则B ,C 间的横坐标的长度为-1-x ,B',C 间的横坐标的长度为a +1, ∵△ABC 放大到原来的2倍得到△A'B'C , ∴2(-1-x )=a +1, 解得x=-1
2(a +3).
9.解:∵四边形ABGE 是正方形, ∴∠A=∠G=90°,AE ∥BG , ∴∠ACB=∠GBF.∴△BAC ∽△FGB. ∴AA AA =AA
AA .
又AB=BG=100寸,FG=3寸. ∴
1003
=AA 100.
解得AC=100003
.
答:树C 与人所在的A 处的距离为100003
寸.
10.D[解析]∵图中所有三角形均相似,其中最小的三角形的面积为1,△ABC 的面积为42,∴最小的三角形与△ABC 的相似比为
√42
.
∵△ADE ∽△ABC ,∴A △AAA A △AAA =AA
AA
2
.
∵
AA AA =4×√42=√42
,∴A △AAA A △AAA =1642=8
21, ∴S △ADE =8
21×42=16,∴四边形DBCE 的面积=S △ABC -S △ADE =26,故选项D 正确. 11.B[解析]∵△ABC 是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC=5. ∵沿DE 折叠点A 落在BC 边上的点F 处,
∴△ADE ≌△FDE ,
∴∠DFE=∠A=60°,AD=DF ,AE=EF , 设BD=x ,则AD=DF=5-x ,设CE=y ,则AE=5-y. ∵BF=2,BC=5,∴CF=3. ∵∠C=60°,∠DFE=60°,
∴∠EFC +∠FEC=120°,∠DFB +∠EFC=120°, ∴∠DFB=∠FEC. ∵∠C=∠B , ∴△DBF ∽△FCE. ∴
AA AA =AA AA =AA
AA , 即A 3=2A =5-A
5-A , 解得:x=21
8,
即BD=21
8
,
故选:B .
12.解:(1)证明:∵四边形EGHF 为正方形, ∴BC ∥EF ,∴△AEF ∽△ABC. (2)设正方形零件的边长为a mm, 在正方形EFHG 中,EF ∥BC. ∵AD ⊥BC ,∴AK ⊥EF. ∵△AEF ∽△ABC , ∴
A 120
=
80-A 80
,解得a=48,
∴正方形零件的边长为48 mm .
(3)设EG=x mm,矩形EGHF 的面积为y mm 2
, ∵△AEF ∽△ABC , ∴AA 120=
80-A
80
,∴EF=3
2(80-x ),
∴y=3
2(80-x )·x=-3
2(x -40)2
+2400,
∴当x=40时,y最大,且最大值为2400,
∴矩形EGHF的最大面积为2400 mm2.
13.B[解析]如图,连接AC,
在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,∵∠EAF=60°,∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°,即∠EAB=∠CAF.∵∠ABE=∠ACF=120°,∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF,故①正确;由△ABE ≌△ACF,可得AE=AF,∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=60°,∴∠AEB+∠CEF=60°,∵∠AEB+∠EAB=60°,∴∠CEF=∠EAB,故②正确;在△ABE中,∠AEB<60°,∠ECF=60°,∴③错误;过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,∴∠AEB=45°.在Rt△AGB中,∵∠ABC=60°,AB=4,
∴BG=1
2
AB=2,AG=√3BG=2√3.在Rt△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,∴AG=GE=2√3,∴EB=EG-BG=2√3-2.由前证可知,△ABE≌△ACF,∴AE=AF,EB=CF=2√3-2,
在Rt△CHF中,∵∠HCF=180°-∠BCD=60°,CF=2√3-2,∴FH=CF·sin60°=(2√3-2)×√3
2
=3-√3.
∴点F到BC的距离为3-√3.故④错误.故选B.
14.解:(1)①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等;②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例;③两个大小不同的正方形相似,是真命题.故答案为:假,假,真.
(2)如图①②,分别连接BD,B1D1,
∵∠BCD=∠B1C1D1,AA
A1A1=AA
A1A1
,
∴△BCD∽△B1C1D1,
∴∠CBD=∠C1B1D1,∠CDB=∠C1D1B1,AA
A1A1=AA
A1A1
,
又∵∠ABC=∠A1B1C1,AA
A1A1=AA
A1A1
,
∴∠ABD=∠A1B1D1,AA
A1A1=AA
A1A1
,
∴AA
A1A1=AA
A1A1
,
∠ADB=∠A1D1B1,∠DAB=∠D1A1B1,
∴AA
A1A1=AA
A1A1
=AA
A1A1
=AA
A1A1
,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,∠ADC=∠A1D1C1,∠DAB=∠D1A1B1,
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.
(3)∵四边形ABFE 与四边形EFCD 相似, ∴
AA AA =AA
AA
, ∵EF=OE +OF ,∴
AA AA
=AA +AA
AA , ∵EF ∥AB ∥CD ,∴
AA AA =AA AA ,AA AA =AA AA =AA
AA , ∴AA
AA +AA AA =AA
AA +AA
AA ,∴2AA AA =AA
AA , ∵AD=DE +AE ,∴
2AA +AA =1
AA
,
∴2AE=DE +AE ,即AE=DE ,∴A
1A 2
=1.。