自动控制原理 自控第五章

【授课时间】：2013.11.18、11.20上午三四节
【授课形式】：多媒体 【授课地点】：4306 4114 【授课时数】：2 【授课题目】：频率特性及典型环节的频率特性 【教学目标】
1、正确理解频率特性的概念；
2、熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线。

【教学重难点】
重点：典型环节的频率特性
难点：典型环节的幅相特性曲线及对数频率特性曲线
【教学内容】
复数的表示形式： (1) 代数式：A =a +bj (2) 三角式：A =R (cos φ+j sin φ) (3) 指数式：A =Re j φ (4) 极坐标式：A =R ∠φ 5.1 频率特性 一、频率特性定义
频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自动控制系统的一种工程求解方法。

系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，指出系统改进方向。

频率特性的定义
（1）频率响应: 在正弦输入作用下，系统输出的稳态值称为频率响应。

（2）频率特性: 频率响应c(t)与输入正弦函数r(t)的复数比。

()()()()()()j Q P e A A j j R j C j ωωωωϕωωωωωϕ+==∠=Φ=)()
()
(
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=∠=Φ∠==Φ)()()()()()()()(ωϕωωωωωωωj R j C j A j R j C j
()|()|A G j ωω==
幅频特性：
输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比A(ω)为幅频特性
相频特性： 输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的相位之差φ(ω)为相频特性
实频特性： 虚频特性： 例5-1 已知u i (t )=A ·sin ωt 。

()
()()t u t u dt t du RC r C C =+
()()1
1
+=Ts s U s U i C 其中，T =RC ()2
2ωω
+=
s A s U i
()()
2
22211
11ωωωω+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅=+⋅+=
s T s T A s A Ts s U C
零初始条件
()
)arctan sin(112222T t
T A
e AT u
T t
t c ωωωωτω-+++=-
()()()()ωϕωωωωω+∙=-+=
t A A T t T
A t u s c sin )arctan sin(12
2
上式表明：
对于正弦输入，其输出的稳态响应仍然是一个同频率正弦信号。

但幅值降低，相角滞后。

()()ωϕωωωωωϕ∠==+=
A e A T
j j G j )()(11
)(
221111)(T
T j A ωωω+=+=
T T j ωωωϕt a n a r g 11
)(-=+∠
= T
j j G ωω+=
11
)(幅频特性和相频特性数据
瞬态分量
稳态分量
R
1
()
()()()
Q G j tg P ωϕωωω-=∠=()()cos ()P A ωωϕω=()()sin ()Q A ωωϕω=
频率特性的性质
1）与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。

且只适用于线性定常系统。

它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。

当系统结构参数给定，则频率特性也完全确定。

2）频率特性是一种稳态响应。

系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。

从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。

因此，我们仍可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态性能、稳态性能等。

3）系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。

当频率ω改变，则输出、输入量的幅值之比A（ω）和相位移ϕ（ω）随之改变。

这是系统中的储能元件引起的。

4）实际系统的输出量都随频率的升高而出现失真，幅值衰减。

所以，可以将它们看成为一个“低通”滤波器。

5）频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去。

二、频率特性、传递函数、微分方程的关系
G jω
()
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。

例：
10()(3)
G s s s =
+
10()(3)
G j j j ωωω=
+ 频率特性的求取： （1）根据定义求取。

即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。

（2）根据传递函数求取。

即用s=j ω代入系统的传递函数，即可得到。

（3）通过实验的方法直接测得。

5.1.3 频率特性的图示方法
频率特性的图形表示是描述系统的输入频率ω从0到∞变化时频率响应的幅值、相位与频率之间关系的一组曲线。

常用频率特性曲线及其坐标系
1. 幅相频率特性曲线
对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。

当频率ω从零变化到无穷时，当频率ω从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。

这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线，又称Nyquist 图。

例：RC 电路的幅相频率特性。

()()()2
111111ωω
ωωωωω+-=+=+==Tj Tj RCj j G j U j U i o
半对数坐标
伯德图
对数频率特性曲线
2
极坐标 极坐标图 奈奎斯特图 幅相频率特性曲线
1 坐标系 图形常用名 名称 序号 22221
()1()1P T T Q T ωω
ωωω=+-=+()()()arctan arctan ()
A Q T P ωωφωωω====-2222
11
11P T Q P ω=
=
++P
Q P =+222
22)2
1()21(=+-Q P s j ω
=
因此RC 网络的幅相频率特性是一个以(0.5,j0)为圆心，以0.5为半径的半圆。

2. 对数频率特性曲线（Bode 图）
又称为伯德曲线（伯德图），由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是工程中广泛应用的一组曲线。

在半对数坐标纸上绘制，由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线所组成。

半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。

对数幅频 相频 横坐标是ω的对数分度, 纵坐标是L(ω)的线性分度，此坐标系称为半对数坐
标。

采用对数坐标图的优点：
（1）将低频段展开，将高频段压缩。

（2）当系统由多个环节串联而成时，简化运算。

)()()()(21ωωωωj G j G j G j G n = )(111)()(ωϕωωj e A j G =
)
(222)()(ωϕωωj e
A j G = … )
()()(ωϕωωn j n n e
A j G =
()20lg ()()20lg ()()
L G j H j A dB ωωωω==()()()()
G j H j rad ϕωωω=∠
)
()()()(lg 20)(lg 20)(lg 20)(lg 20)(2121ωωωωωωωωn n L L L A A A A L +++=+++==
)()()()(21ωϕωϕωϕωϕn +++=
（3）所有典型环节乃至系统的频率特性可用分段直线近似表示。

（4）容易将频率实验数据用分段直线拟合，从而得到对数频率特性或传递函数。

纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的； 横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值，是不均匀的。

——这种坐标系称为半对数坐标系。

在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。

为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量。

5－3 典型环节的频率特性 典型环节
比例环节：K
惯性环节：1/(Ts +1)，式中T>0 一阶微分环节：(Ts +1)，式中T>0 积分环节：1/s 延迟环节：s e τ- 振荡环节：
1
21
2
++⎪⎭⎫ ⎝
⎛n n s s ωζω；式中ωn >0，0 < ζ <1
（1）比例环节
传递函数为：G(s)=K=const
频率特性表达式为：
对数幅频特性和相频 特性分别是： L (ω)=20lg| G(j ω)| =20lg K 和φ(ω)=0° （2）积分环节
const
K j G ==)(ω0
)()(===ωωQ const
K P 00
arctan )()(====K
const
K A ωϕω比例环节K 的幅相曲线
k
j 0
·
s
s G 1)(=
积分环节的传递函数为 ：
频率特性表达式为：
横坐标：x=lg ω 计量单位：dec ——一个十倍频程 纵坐标：y=Kx 计量单位：dB 取ω2=10ω1
Δlgω= lgω2-lgω1=lg(10ω1/ω1)=1 dec
ΔL (ω)=L (ω2)- L (ω1)=-20 lg(10ω1/ω1)=-20dB/dec
斜率为：
双重积分：
随着开环增益的增大，直线逐渐升高。

（3）惯性环节 传递函数为： 频率特性表达式为：
此惯性环节的幅相频率特性是一个以(1/2，j0)为圆心，以1/2为半径的半圆。

()222
21lg 2011lg
20T T L ωωω+-=+=
采用近似方法，即用渐近线分段表示频率特性。

低频段：ω<<1/T ，ωT <<1，ω2T 2可略去
ω
ωω1
)(0)(-
==Q P
90)(1
)(-==
ωϕω
ωA ω
ωω1
1)(j j j G -==
()()2
1
20lg
40lg 180
L G j ωω
ωω==-∠=-ω
ωωlg 20)(lg 20)(-==A L 1,()20lg10L dB
ωω==-=时10,()20lg1020L dB ωω==-=-时1
()1G s Ts
=
+1()
G j
ω=
22
221()1()1P T T Q T ωωωωω
=
+-=+()
()()arctan arctan ()A
Q T P ωωφωωω===-()G j ω =
2
1()()G j j ωω=()20/lg()L k dB dec
ωω∆==-∆
频率特性可近似为：L(ω)≈-20lg1=0—低频渐近线 在高频段：ω>>1/T ，ωT >>1，1可略去
频率特性可近似为：L(ω)≈-20lg ωT =-20[lg ω-lg(1/T )] —高频渐近线
ω的频率增大10倍时， 高频渐近线斜率为：
高频渐近线具有-20dB/10倍频程的斜率，记为 -20dB/dec 或[-20]。

高频渐近线正好在ωT=1处与低频渐近线相交，交点处的频率称为转折频率。

（4
()G s =()G j ω
2222()21arctan ,1()21
arctan ,1A T T T T T T ωζωωωφωζωπωω=
⎧⎛⎫-≤ ⎪⎪-⎪⎝⎭
=⎨
⎛⎫⎪-+> ⎪⎪-⎝⎭⎩ (0)10o G j =∠ ()0180
G j ∞=∠-︒ 11
()()902o n G j G j T ωζ
==∠-
()
0,dA d ωω
=令
得r ωω=(0<ζ<0.707) ()r m A A ω==
1
()2()90
A n o
n ωζ
φω=
=-
r A r
ωω==
()20lg ()L A ωω==-低频段：ω<<1/T ，ωT<<1，ω2T 2可略去 在高频段：ω>>1/T ，ωT>>1，1可略去
11()(10)()20()
L L L dB ωωω∆=-=-()20/lg()L k dB dec ωω∆==-∆
()()()
2
2
22
211
T T A ζωωω+-=
()()2
121lg
20lg 20ςςωω-==r A L
222221arctan ,1()21
arctan ,1T T T T T T ζωωωϕωζωπωω⎧⎛⎫-≤ ⎪⎪-⎪⎝⎭
=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪-⎝⎭⎩
()
ωL (ωϕ
90
--
【授课时间】：2013.11.19、11.22上午一二节
【授课形式】：多媒体 【授课地点】：4306 4113 【授课时数】：2 【授课题目】：典型环节的频率特性 【教学目标】
1、熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线；
【教学重难点】
重点：典型环节的频率特性
难点：典型环节的幅相特性曲线及对数频率特性曲线、开环幅相特性曲线的绘制
【教学内容】
（5）微分环节
纯微分环节的传递函数为 ： 频率特性表达式为：
L(ω)=20lg ω φ(ω)=90o
斜率为： （6）一阶微分环节
一阶微分环节的传递函数为
频率特性为：
低频段：ω<<1/τ，ωτ<<1，ω2τ2可略去 频率特性可近似为：L(ω)≈20lg1=0—低频渐近线 在高频段：ω>>1/τ，ωτ>>1，1可略去
频率特性可近似为：L(ω)≈20lg ωτ=20[lg ω-lg(1/τ)] —高频渐近线 渐近线斜率k =20dB /dec
s s G =)(ωωj j G =)(2
π
ωj
e =ω
ωω==)(0)(Q P
90
)()(==ω
ϕω
ωA ()
ωL ()
ωϕ20 90 τωωj j G +=1)(ωτωω==)(1)(Q P ωτ
ωϕτωωarctan )(1)(2
2=+=A 221lg 20)(τ
ωω+=L 1,()20lg10L dB ωω===时20/dB dec
+10,()20lg1020L dB ωω===时
45(L (ϕ 90！高频放大
（7）二阶微分环节
22
()12G s s s ζττ=++ 2
()12()(G j j j ωζτ
ωτ=++
22()1()2P Q ωτωωζωτ
=-=
2222()21arctan ,1()21
arctan ,1A ωζωτωωττφωζωτπωωττ=⎧⎛⎫≤ ⎪⎪-⎪⎝⎭
=⎨
⎛⎫⎪-> ⎪⎪-⎝⎭⎩
()L ω=
1
n ωτ
= ()20l g 2n L ωζ
= 0<ζ<0.707时有峰值：r ωω= 20l g m L ζ= （8）一阶不稳定环节
1
()1
G s Ts =
-
j[πarctan
()]
1(j )j 1
T G T ωωω-+=
=
-
非最小相位环节
定义：传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统），称为非最小相位环节（或系统）。

由上图看出，一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一样。

相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又称非最小相位环节。

（9）延迟环节
()s G s e τ-= ()j G j e τωω-=
0dB
ωω
()()() 1 j G j e
G j G j ωτ
ωωωωτ
-==∠=-
()1
()A ωφωτω
==-
()()0 10
1G j G j ωωωω==∠→∞=∠-∞ ()() 20lg10
L G j ωωωτ
==∠=-
积分环节和微分环节、惯性环节和一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节的传递函数互为倒数。

则有G 1(s )=1/G 2(s )
设()()()111j G j A e ϕωωω=，则()()()()
()21-2211=
j j G j A e e A ϕωϕωωωω=
()()()()()()212211120lg 20lg L A L A ϕωϕωωωωω=-⎧⎪
⎨
===-⎪⎩
则，传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于0dB 线对称，对数相频曲线关于0°线对称。

例： 试将系统开环传递函数按典型环节分解
23
2250(3)(441)
()()(425)(1)(56)s s s G s H s s s s s s s -++=++-++ 解: ()
2
2
50(3)(21)()()(425)(1)(2)3s s G s H s s s s s s s -+=++-++ 221
(1)(21)3()()112(1)(1)(1)()21)23555s s G s H s s s s s s s -+=⎡⎤
-+++⨯⨯+⎢⎥
⎣⎦
【授课时间】：2013.11.25、11.27上午三四节
【授课形式】：多媒体 【授课地点】：4306 4113 【授课时数】：2 【授课题目】：开环系统的频率特性 【教学目标】
1、掌握开环奈奎斯特图的绘制
2、掌握开环Bode 图的绘制；
【教学重难点】
重点：开环奈奎斯特图的绘制、开环 Bode 图的绘制难点：同上
【教学内容】
5.4系统开环幅相频率特性 一、开环幅相特性
(1)将开环传递函数按典型环节分解
11
1(1)(1)()()()(1)(1)l
m i
i n K s s K
G s H s G s s T s T s s νν
ττ=++=
=
++∏
G i (s)为除1/s ν、k 外的其他典型环节 （2）粗略画三个特殊点 ①起点 低频段(0)ω+→
00
(0)(0)lim (90)()
k k
G j H j j ν
ν
ωνωω
+
++→==
∠-
00(90)
k ννν⎧∠=⎪=⎨∞∠->⎪⎩起于正实轴上的某一点起于极坐标图无穷远处
②终点 高频段 ω→∞
101101()()()()()()m m m n n n b j b j b G j H j a j a j a ωωωωωω--++
+=
++
+00000()()0()(90)
m
n b n m b j a a j n m n m
ωω⎧
=⎪≈=⎨⎪∠-->⎩
()()()-=1=0-90-=2=0-180-=3=0-270K K K n m G j n m G j n m G j ωωω︒︒
︒⎧∠⎪∠⎨⎪∠⎩
时，，从负虚轴的方向进入坐标原点时，，从负虚轴的方向进入坐标原点时，，从负虚轴的方向进入坐标原点
()()()
()()()
12121111K j j G j j j T j T ν
ωτωτωωωω++=+
+若单位负反馈开环传递函数那么高频终点应如何分析？
()1212 22m n
K G j m n TT ττωππωωω⎛⎫
→∞≈∠- ⎪⎝⎭ ()()()()1212
12
12
G j 2 0 n m
K n m TT n m G j K n m G j TT ττπωωωττω-⎛⎫
∴≈
∠-- ⎪⎝⎭>==
=
③ 与坐标轴的交点 ⅰ曲线与实轴的交点 令
[]Im ()()0
G j H j ωω=求得ω值代入
[]
Re ()()G j H j ωω中，即可得与实轴的
交点。

令[]Re ()()0G j H j ωω=求得ω值代入[]Im ()()G j H j ωω中，即可得与虚轴的交点。

再取几个ω点计算A(ω)和φ(ω)，即可得幅相频率特性的大致形状。

只包含惯性环节的0型系统Nyquist
图
只包含惯性环节的I 型系统Nyquist 图
只包含惯性环节的II 型系统Nyquist 图
例5-2 设系统的开环频率特性为12(
)(1)(1)
K
G j jT jT ωωω=++已知：
K ＝10，
T 1＝1，T 2＝5，绘制开环幅相频率特性。

解：
2
12
22221212222212(1)()(1)(1)
()()(1)(1)
K TT P T T K T T Q T T ωωωωωωωω-=
++-+=
++
2
12()()arctan arctan A K
T T ωφωωω
==--
求交点：令Re[()]0G j ω=解得，ω=0.447rad/s
10
(0.447) 3.73(110.447)(150.447)
G j j j j =
=-+⨯⨯+⨯⨯
ω=(0)A K =(0)0
φ=ω=∞()0
A ∞=()()90
n m φ∞=--⨯0
ω=(0)A =∞(0)90
ϕ=-ω=∞()0
A ∞=()()90
n m φ∞=--⨯0
ω=ω=∞(0)A =∞(0)180
φ=-()0
A ∞=()()90
n m φ∞=--⨯
例5-3 设某系统的开环频率特性为12()(1)(1)
K
G j j jT jT ωωωω=++绘制开环幅相
频率特性。

解：(0)90G +=∞∠- ()0270G ∞=∠-
122222122
12222212()()(1)(1)(1)()(1)(1)
K T T P T T K TT Q T T ωωωωωωωω-+=++--=
++
12()()90arctan arctan A K
T T ωφωωω
==---
例5-4:绘制2
5(2)(3)
()(1)
s s G s s s ++=
+的幅相曲线。

解：(0)180o G j +=∞∠- ()090o
G j ∞=∠-
2222225[(6)5]5[(64)(1)]
()(1)(1)
j j G j j ωωωωωωωωωω-+-++-==-++
求交点：Im[()]0G j ω=令解得 1ω=
5(55)
(1)2525(1)
j G j j +=
=---+与负实轴相交于处。

Re[()]0G j ω=令2460ω+=无实数解，与虚轴无交点
曲线如图所示：
ω)]
二 系统开环对数频率特性的绘制
如果已知几个串联环节的开环频率特性，则系统的开环对数频率特性为：
1212()20lg ()20lg ()20lg ()20lg ()
()()()
n n L A A A A L L L ωωωωωωωω==+++=++
+
12()()()()n φωφωφωφω=++
+
步骤：（1）将开环传递函数表示为时间常数表达形式
12
1
2
22112
21
1
(1)[()2()1]
()()
(1)[()2()1]
m m i
k k k i k n n v
j
l
l l j l j j j K
G j j jT T
j T j τωτ
ωζτωωωωωζω====+++=
⋅+++∏∏∏∏；
（2）求20lgK 的值，并明确积分环节的个数v ； （3）确定各典型环节的转折频率，并按由小到大排序； （4）求出低频渐近线的斜率和位置。

①低频段频率特性为：
()()
()()
00
=
=
K v
v
K
K
G j G j j j ωωωωω→
对数幅频特性为：
()20lg ()20lg
20lg 20lg 20lg 20lg v v K
L A K K v ωωωωω
===-=-
对数相频特性为：()=-90v ϕω⨯ 上述表明：
A 低频段的对数幅频特性直线的斜率为－20×v (dB/dec )，相频角度为－v ×90°；
B 当ω=1时，低频段直线或其延长线（在ω<1的范围内有转折频率）的分贝值为20lgK ，这是因为由低频段的幅频方程，可得到
=1()20lg 20lg =20lg L K v K ωωω=-
C 低频段直线（或其延长线）与零分贝线（横轴）的交点频率为10=v
K ω，对于Ⅰ型系统交点频率为0=K ω
，Ⅱ型系统交点频率为0ω段的幅频方程，可得到()20lg 20lg =0L K v ωω=-20lg =20lg =20lg v K v ωω⇒⨯⨯
于是有：=K v
ω1
0=v
K ω⇒
②转折频率及转折后斜率变化量的确定
首先在横坐标轴上将转折频率按从低到高的顺序标出个转折频率。

然后，依次在各转折频率处改变直线的斜率，改变的多少取决于转折处环节的性质。

1
2
1
2
22112
21
1
(1)[()2()1]
()()
(1)[()2()1]
m m i
k k k i k n n v
j
l
l l j l j j j K
G j j jT T
j T j τωτ
ωζτωωωωωζω====+++=
⋅+++∏∏∏∏
1i i ωτ=，经过ωi 后，斜率变化量为+20dB/dec 。

（一阶微分环节） 1k k ωτ=，经过ωk 后，斜率变化量为+40dB/dec 。

（二阶微分环节） 1j j ω=，经过ωj 后，斜率变化量为-20dB/dec 。

（惯性环节）
1l l ω=，经过ωl 后，斜率变化量为-40dB/dec 。

（振荡环节） 相频特性的表达式为：
1
2
1
2
2222
111122()arctan arctan arctan arctan 121m m n n k k l l i j i k j l k l
T v T T ζτωζωπϕωτωωτωω=====+-----∑∑∑∑ 其中ω<1/τ且ω<1/ T
lim ()2v
ωπ
ϕω→=- l i m ()()
2
n m
ωπ
ϕω→∞=-- 定义：若 L(ωc )＝0dB ，则ωc 称作剪切频率，也叫0dB 频率。

绘制开环系统的波特图一般规则： 写成典型环节之积； 找出各环节的转折频率； 画出各环节的渐近线；
在转折频率处修正渐近线得各环节曲线； 将各环节曲线相加即得波特图。

例5－4 系统开环传递函数10
()(0.11)(1)
G s s s =++绘制系统开环对数幅频与
相频特性曲线。

解：1011
()10(0.11)(1)0.111
G s s s s s =
=⋅⋅++++
开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的。

将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。

例5-5：已知单位反馈系统的开环传递函数100(2)
()(1)(20)
s G s s s s +=++试绘制开环
对数频率特性曲线。

解：典型环节传递函数表示的标准形式
10(0.51)
()(1)(0.051)
s G s s s s +=
++
其对应的频率特性表达式为
10(0.51)
()(1)(0.051)
j G j j j j ωωωωω+=
++
由此可见，系统的开环频率特性由5个典型环节构成，分别为
()()()111(1) 10=20lg10=20=0j L dB ωωϕω=比例环节：G ，，
()211
(2) G =0.5+1===2/0.5
j j rad s T ωωω一阶微分环节：，转折频率 ()31(3) G =j j ωω
积分环节： ()411(4)G ===1/+1j rad s j T
ωωω惯性环节：，转折频率
()511
(5)G =
==20
/0.05+1j rad s j T
ωωω惯性环节：，转折频率
合成后的系统开环对数幅频特性： L (ω)=L 1(ω)+L 2(ω) +L 3(ω)+L 4(ω)+L 5(ω) (6) 系统开环对数相频特性表达式为
0()arctan 0.590arctan arctan 0.05ϕωωωω=---
逐点计算结果
系统开环相频特性数据
(
)2
0 1 a
dB K j ωω==Ⅱ型系统低频延长线与
线交点：
令：得：
【授课时间】：2013.11.26、11.29上午一二节
【授课形式】：多媒体 【授课地点】：4306 4114 【授课时数】：2 【授课题目】：奈氏稳定判据的数学基础 【教学目标】
1、掌握根据 Bode 图确定最小相位系统的传递函数。

2、映射定理；
3、辅助函数的构造；
4、s 平面闭合曲线Γ（奈氏路径）的选择。

【教学重难点】
重点：、根据 Bode 图确定最小相位系统的传递函数、s 平面闭合曲线Γ（奈氏路径）的选择
难点：、根据 Bode 图确定最小相位系统的传递函数、映射定理
【教学内容】
最小相位系统、非最小相位系统
根据零、极点在s 平面上分布情况的不同，函数G(s)可分为最小相位系统、非最小相位系统。

最小相位（相角）系统：指系统的开环传递函数中没有右极点、右零点的系统。

非最小相位（相角）系统：指系统的开环传递函数中有右极点或右零点的系统或者系统带有延迟环节。

最小相位系统特点
在具有相同幅值特性的系统中，最小相位系统的相角范围在所有这类系统中是最小的。

任何非最小相位传递函数的相角范围都大于最小相位传递函数的相角范围。

对于最小相位系统，其幅频特性和相频特性一一对应，某频率段的相角主要由该频率段的幅频特性斜率所决定，也受相邻频段的影响。

例5-6：两个系统的开环传递函数分别为（T1>T2）
()2111T s G S 1T s +=+ ()2211T s G S 1T s
-=+
它们的对数幅频和相频特性为
()
1L ω=
()112ωarctan ωT arctan ωT φ=-+
(
L ω(ϕω0
90
-180
-dB
()
2L ω=
()212ωarctan ωT arctan ωT φ=--
显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。

由图可见，()2ϕω的变化范围要比()1ϕω大得多。

()1G s ——最小相位系统 ()2G s ——非最小相位系统
例5-7已知系统的开环对数幅频特性如下，试确定系统的开环传递函数。

解：由图可见，低频段的斜率为 −20dB/dec ，所以开环传递函数有一个积分环节
()150.75
20
=1=1520lg =15==10
=5.6
L dB K ωω由于在低频段时，，所以系统的开环放大倍数为满足，从而求得K 10
()()()15.6+1 5.60.14+17=
=10.5+1+12s s G s s s s s ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫
⎪⎝⎭
由此可以写出系统的开环传递函数为
()() 5.6+17=+12=-90+arctan -arctan
7
2
j
G j j j ω
ωωωωωϕω︒⎛
⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝
⎭
频率特性为：相频特性为：
判断系统稳定的几种方法：
系统稳定的充要条件 — 全部闭环极点均具有负的实部 代数稳定判据 — Ruoth 判据
由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性
不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的问题。

5.5 频域稳定判据
—⎧⎨
⎩
Nyquist 判据
频域稳定判据对数稳定判据 奈氏判据是利用开环幅相特性判断闭环稳定性的图解方法；
可用于判断闭环系统的绝对稳定性，也能计算系统的相对稳定指标和研究改善系统性能的方法.
一 奈氏判据的数学基础 1. 映射定理（幅角定理）
s 为复数变量，F (s )为s 的有理分式函数。

()
()
=11111=1
-()()()
()=
()()()
-m
j
j n n
n i
i s z s z s z s z F s s p s p s p s p ---=---∏∏
s 1代入F (s ) 得F (s 1)，s 2代入F (s )得F (s 2)；s 沿Γs 连续变化一周（不穿过F(s)的零、极点），则F(s)沿封闭曲线ΓF 连续变化一周。

1
1
()m
n
j i j i F s s z s p ==∠=∠--∠-∑∑
Γs 包围一个F(s)的零点，当s1沿Γs 顺时针连续变化一周，(s-zi)的相角积累 -2π ，或者说，ΓF 顺时针绕F 平面原点一周;
Γs 不包围F(s)的零点，当s1沿Γs 顺时针连续变化一周，(s-zi)不积累角度; Γs 包围 Z 个F(s)的零点，当S1沿Γs 顺时针连续变化一周，(s-zi) 的相角积累Z * (-2π) ，或者说，ΓF 顺时针绕F 平面原点Z 圈。

如果：Γs 包围一个F(s)的极点，当s1沿Γs 顺时针连续变化一周，因为pi 映 射到F(s)上是在无穷远，所以，相对应ΓF 逆时针绕F 平面零点一周，( s-pi )的相角积累是2π角度；
Γs 包围P 个F(s)的极点，当s1沿Γs 顺时针连续变化一周，s-pi 积累的相角为2π*P ，或者说， ΓF 逆时针绕F 平面零点P 周；
Γs 包围P 个F(s)的极点，又包围Z 个F(s)的零点，当s1沿Γs 顺时针连续变化一周后，ΓF 顺时针绕F 平面零点（Z-P ）周，或：
ΓF 逆时针绕F 平面零点R = （P- Z ）周
若s 平面上的封闭曲线Γs 包围着F(s)的Z 个零点，则在F(s)平面上映射的曲线ΓF 将按顺时针方向围绕着坐标原点Z 周。

若s 平面上的封闭曲线Γs 包围着F(s)的P 个极点，当s 沿着s 平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时，则在F(s)平面上映射的曲线ΓF 将按逆时针方向围绕着坐标原点P 周。

映射定理(幅角定理)：
设s 平面上不通过F(s)任何奇异点的某条封闭曲线Γ，它包围了F(s)在s 平面上的Z 个零点和P 个极点，当s 以顺时针方向沿封闭曲线Γ移动一周时，则在F 平面上相对应于封闭曲线Γ的像ΓF 将以顺时针的方向围绕原点旋转R 圈。

R 与Z 、P 的关系为: R=Z －P 。

当Z>P ，则R>0，ΓF 顺时针包围原点R 圈 当Z<P ，则R<0，ΓF 逆时针包围原点R 圈 当Z=P ，则R=0，ΓF 不包围原点 2. 辅助函数F(s)的选择
1212()()
()()()()
M s M s G s H s N s N s ==设
，
则1212()()
()()()()
M s M s G s H s N s N s =
121212()()
()()()()()
M s N s s N s N s M s M s Φ=
+
定义一个辅助函数
1
1212121()()()()()()1()()()()()
n
i i n j j s z N s N s M s M s F s G s H s N s N S s p ==∏-+=+==∏-
辅助函数 F(s) 有如下特点：
(1)辅助函数F(s)是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。

(2)F(s)的零极点数目相同，都为n 。

(3)F(s)与开环传递函数G(s)H(s)之间只差一个常量1，F(s)=1+ G(s)H(s)的几何意义为：F 平面的坐标原点就是GH 平面的
3. s 平面闭合曲线Γ（奈氏路径）的选择
00s j j j j j =-∞→-→+→+∞→-∞
顺时针方向包围整个s 右半面。

由于不能通过F(s)的任何零、极点， 所以当F(s)有若干个极点处于 s 平面虚轴（包括原点）上时，
则以这些点为圆心，作半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过这些点。

()F s 的极点
【授课时间】：2013.12.2、12.4上午三四节
【授课形式】：多媒体 【授课地点】：4306 4113 【授课时数】：2 【授课题目】：奈奎斯特判据与对数频率稳定判据 【教学目标】
1、了解辅助函数的构成以及奈氏判据的推导过程；
2、掌握奈氏稳定判据及增补线的绘制。

3、了解极坐标图与伯德图的对应；
4、掌握伯德图上的稳定判据掌握根据
【教学重难点】
重点：奈氏稳定判据、伯德图上的稳定判据 难点：增补线的绘制、稳定的判断
【教学内容】
二 奈奎斯特（Nyquist ）稳定判据
设：()()()1F S G s H s =+——闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点 奈氏判据
闭环系统稳定的充要条件是：s 沿着奈氏路径绕一圈（当ω从-∞→+∞变化时），G(jω)H(jω)曲线逆时针包围（-1，j0）点P 圈。

Z P R =-
P —— 为G(s)H(s)位于s 右半平面的极点数； R —— G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点圈数； Z —— 闭环系统位于s 右半平面的极点数。

Z=0，说明系统闭环传递函数无极点在s 右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。

若系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是开环幅相曲线不包围（-1，j 0）点。

例5-8：已知某系统G(jω)H(jω)幅相特性曲线如下，系统开环不稳定 P=1，试分析闭环系统稳定性。

解：
由ω=0+→+∞变化时G(jω)H(jω)的 曲线，根据镜像对称得ω=-∞→0-变 化时G(jω)H(jω)的曲线，得到一封 闭曲线。

G(jω)H(jω) (ω从-∞→+∞)曲线逆时 针包围（-1，j0）点一次，即R=1 Z= P-R=0，故闭环系统稳定。

例5-9：已知单位反馈系统，开环极点均在 s 平面的左半平面，开环频率特性极坐标图如图所示，试判断闭环系统的稳定性。

解：
系统开环稳定，即P=0，从图 中看到ω由-∞→+∞变化时， G(jω) H(jω)曲线不包围(-1，j0)点，
即N=0，Z=P-N=0，所以，闭环系统是稳定的。

说明:
如果开环传递函数G(s)H(s)含有ν个积分环节，奈氏曲线为一不封闭曲线，此时为了说明包围（-1，j0）点的情况，可作辅助处理，即由ω=0+→+∞变化时G(jω)H(jω)的曲线，根据镜像对称得ω=-∞→0-变化时G(jω)H(jω)的曲线，然后 从
ω =0-开始，对应的G(jω)H(jω)以无穷大为半径，按逆时针方向绕过1
2
νπ角度，
与ω =0+ 曲线相接，成为封闭曲线，按照奈氏判据判定稳定性。

例5-10：系统开环传递函数为12()()(1)(1)K
G s H s s T s T s =
++试判断闭环系统的
稳定性。

解：绘制系统幅相特性曲线。

（1）绘制起点、终点
()
()
()()(0)0,(0)090()0,()270G j H j G j H j G j H j G j H j +
++
+=∞∠=-︒
∞∞=∠∞∞=-︒
（2）与坐标轴交点
12222212212222212()
()(1)(1)
(1)
()(1)(1)
K T T P T T K T T Q T T ωωωωωωωω-+=
++-
-
=
++
21210T T ωωω-=⇒==其中
()()
1212-c A KT T T T ω⇒=+
由于v=1，所以需要ω=0+的位置开始逆时针画90°的增补线，如图中虚线所示，计算幅相曲线包围(-1, j0)点的圈数。

当12121KT T T T -
<-+，即12
12
T T K T T +>时，幅相曲线顺时针包围(-1,j0)点1圈，即R=-1.于是Z=P-2R=2，所以闭环系统不稳定；
当12121KT T T T -
>-+，即12
12
T T K T T +<时，幅相曲线顺时针不包围(-1,j0)点1圈，即R=0.于是Z=P-2R=0，所以闭环系统稳定； 当
12
12
1KT T T T =+时，G(jω)H(jω) (ω从-∞→+∞)曲线穿越( -1，j0 )点，系统处于临界状态 。

Nyquist 稳定判据穿越法
穿越：指开环Nyquist 曲线穿过 (-1, j0 ) 点左边实轴时的情况。

正穿越：ω增大时，Nyquist 曲线由上而下(相角增加)，穿过(-∞,-1)段实轴，用
N +
表示。

负穿越：ω增大时，Nyquist 曲线由下而上（相角减少）穿过(-∞,-1)段实轴，用N -表示。

对于不含积分环节的G(jω)H(jω)曲线对称实轴。

应用中只画0ω=→+∞部分。

例5-11：
半次穿越：若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于 (-1, j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+ 1/2 次穿越和-1/2次穿越。

Nyquist 稳定判据：当ω由0变化到+∞时，Nyquist 曲线在(-1, j0 )点左边实轴上的正负穿越次数之差等于P/2时( P 为系统开环传函右极点数)，闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。

N N N +
-
=- 2Z P N
=- 若开环传递函数无极点分布在S 右半平面，即0P =，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0。

注意：这里对应的ω变化范围是0→+∞。

例5-12：两系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知其开环极点在s 右半平面的分布情况，试判别系统的稳定性。

P=0
P=2
+1/2次穿越
-1/2次穿越
解：0N N N
+
-
=-=
211N N N +
-
=-=-=
20Z P N =-= 2220Z P N =-=-= 开环稳定 开环不稳定 闭环稳定
闭环稳定
注意：分析G(jω)H(jω)轨迹穿越 (-1, j0)点以左的负实轴。

例5-13：已知某系统G(jω)H(jω)幅相特性曲线如下，系统开环不稳定 P=1，试分析系统稳定性。

解： P=1 N= N + - N - =1/2 Z= P-2N=1-1=0 闭环系统稳定。

例5-14：两系统奈氏曲线如图，试分析系统稳定性。

ω
解： (a) N= N+ - N –=（0-1）= -1，P =0，故 Z=P-2N=2，闭环系统不稳定。

(b) K>1时，N= N+ - N - =1-1/2= 1/2，P=1，故Z= P-2N=0，闭环系统稳定；
K<1时， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1，故 Z= P-2N=2，闭环系统不稳定；
K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个根在虚轴上，闭环系统不稳定。

三 对数频率稳定判据
奈氏判据是在奈氏图的基础上进行的， 而作奈氏图一般都比较麻烦， 所以在工程上一般都是采用系统的开环对数频率特性来判别闭环系统的稳定性的， 这就是对数频率判据。

1. Bode 图与Nyquist 图之间的对应关系
● Nyquist 图上以原点为圆心的的单位圆⇔Bode 图幅频特性上的0dB 线 单位圆以外⇔Bode 图L(ω)>0的部分；
单位圆内部⇔Bode图L(ω)<0的部分；
●Nyquist图上的负实轴⇔Bode图相频特性上的φ(ω)=－180°线奈氏图上的(-1, j0) 点便和伯德图上的0dB线及-180°线对应起来。

Nyquist图与Bode图的对应关系
●(-1, j0)点以左实轴的穿越点⇔Bode图L(ω)>0范围内的与－180°线的穿
越点
正穿越⇔对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大时，从下向上穿越－180°线； 负穿越⇔对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大时，从上向下穿越－180°线。

2.Bode图上的稳定判据
闭环系统稳定的充要条件是：当ω由0变到+∞时，在开环对数幅频特性
L(ω)≥0的频段内，相频特性φ(ω)穿越-π线的次数（正穿越与负穿越次数之差）为p/2，p为s平面右半部的开环极点数。

若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即0
P=，则闭环系统稳定的充要条件是：在L(ω)≥0 的频段内，相频特性φ(ω)在-π线上正负穿越次数代数和为零，或者不穿越-π线。

Nyquist图Bode图
例5-15：开环特征方程有两个右根，P=2，试判定闭环系统的稳定性。

解：
正负穿越数之差（N+-N-）为1 Z=P-2N=2-2=0
系统闭环稳定
例5-16：开环特征方程无右根，P=0，试判定闭环系统的稳定性。

解：
正负穿越数之差为0 系统闭环稳定
例5-17 已知系统开环传递函数10
()()(0.11)
G s H s s s =+，试用对数频率稳定
判据判别闭环稳定性。

解：绘制系统开环对数频率特性如图。

由开环传递函数可知P=0。

002
P
N N N +-=-=-=
所以闭环稳定
例5-18 已知系统开环传递函数2
300
()()(2100)
G s H s s s s =++试用对数稳定判据判别闭环稳定性。

解：绘制系统开环对数频率特性如图
1N =-
在n ωω=处振荡环节的对数幅频值为
1
20lg
20lg 20.1142dB ζ
=-⨯= 闭环特征方程的正根数为
202(1)2Z P N =-=--=
闭环不稳定。

P=0
P=2
注意：
1、当[s]平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边绕出半径为无穷小的圆弧；[G]平面对应要补充大圆弧。

2、N 的最小单位为二分之一。

无论开环传递函数的系数怎样变化，系统总是闭环不稳定的，这样的系统称为结构不稳定系统。

3.条件稳定系统
若开环传递函数在右半s 平面的极点数P=0，当开环传递函数的某些系数（如开环增益）改变时，闭环系统的稳定性将发生变化。

这种闭环稳定有条件的系统称为条件稳定系统。

Z
闭环系统不稳定 0
>0=0
<闭环系统稳定 有误！
3。