北京市2011中考数学二模数学分类汇编 抛物线

2011初三二模数学分类汇编—抛物线
（某某）
(顺义)
23．已知关于x 的方程2
(31)220mx m x m --+-=. （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若m 为整数，且抛物线2
(31)22y mx m x m =--+-与x 轴两交点间的距离为2，求抛物线的解析式； （3）若直线y x b =+与（2） 中的抛物线没有交点，求b 的取值X 围. 23. 解：（1）分两种情况讨论. ① 当0m =时，方程为x 20-=
∴2x = 方程有实数根 -----------------------------1分
②当0m ≠，则一元二次方程的根的判别式
()()2
222
314229618821m m m m m m m m m ∆=----=-+-+=++⎡⎤⎣⎦
＝()2
1m +
∴不论m 为何实数，∆≥0成立，[来源:Zxxk.]
∴方程恒有实数根 -----------------------------------------2分
综合①、②，可知m 取任何实数，方程()231220mx m x m --+-=恒有实数根
（2）设12x x ，为抛物线()23122y mx m x m =--+-与x 轴交点的横坐标. 令0y =， 则 ()231220mx m x m --+-=
由求根公式得，12x = ，21
m x m
-= -------------------------------------3分 ∴抛物线2
(31)22y mx m x m =--+-不论m 为任何不为0的实数时恒过定点(20).，
∵122x x -= ∴222x -=
∴20x =或24x =，----------------------------------------------------------4分
∴1m =或1
3
m =-
（舍去） ∴求抛物线解析式为2
2y x x =-， ----------------------------------------5分[来源:学+科+网]
（3）由22y x x y x b
⎧=-⎨=+⎩，得2
30x x b --=
∴94b ∆=+
∵直线y x b =+与抛物线2
2y x x =-没有交点 ∴940b ∆=+<
∴9
4
b <-
所以，当9
4
b <-， 直线y x b =+与（2）中的抛物线没有交点.
----------------------------------------------------------------------------7分
25．已知，如图，抛物线2
4(0)y ax bx a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A B ，，点A 的坐标为(40)-，，对称轴是1x =-．
（1）求该抛物线的解析式； （2）点M 是线段AB 上的动点，过点M 作MN ∥AC ，
分别交y 轴、BC 于点P 、N ，连接CM ．当CMN △的面积最大时，求点M 的
坐标；
（3）在（2）的条件下，求CPN
ABC
S S ∆∆的值.
25.解：（1）由题意，得1644012a b b a
-+=⎧⎪
⎨-=-⎪⎩解得
121a b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩，
．
----------------1分
∴所求抛物线的解析式为：21
42
y x x =--+．-----------------------------2分
（2）设点M 的坐标为(0)m ，，
过点N 作NE x ⊥轴于点E ． 由2
1402
x x --+=，得14x =-，22x =．
∴
点B
的坐标为
(20)，．----------------------------------3分
∴6AB =，2BM m =-．
MN ∥AC ，∴BMN BAC △∽△．∴
NE BM
CO BA
=
， 即
246NE m -=
． ∴423m
NE -=． -------------4分 CMN CBM NBM S S S ∆∆∴=-△
11
22BM CO BM NE =- 142(2)423m m -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 2128
333m m =--+ ---------------------------------------------------5分
21
(1)33
m =-++．
又42m -≤≤，
∴当1m =-时，CMN S △有最大值3，此时(10)M -，．-------------------6分 ∵(4,0)A - 、(2,0)B 、(0,4)C 、(1,0)M - ∴AOC ∆是等腰直角三角形 ∴42AC = ∵MN ∥AC
∴45PMO CAO ∠=∠=︒ ∴MOP ∆是等腰直角三角形 ∴ 点P 的坐标为(0,1) ∴3CP =
∴13
22
CPM S CP MO ∆=⋅=
∴33
322
CPN CMN CPM S S S ∆∆=-=-=
∵1
122
ABC S AB OC ∆=⋅=
∴1
8
CPN ABC S S ∆∆= ------------------------------------------------------8分[来源:]
(延庆)
24．已知抛物线2
2y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线
1
2y x a =
-分别与x 轴，y 轴相交于
B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .
（1）填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则 ； （2）如图1，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上， AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；
（3）在抛物线
2
2y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.
24.（1））（），，（a a 31,34N 1-a 1M -.
（2）由题意得点N 与点N '关于y 轴对称，N '
∴)31
,34(a a --， 将N '的坐标代入
a x x y +-=22
得a
a a a ++=-38
916312，
49)(021-
==∴a a ，不合题意，舍去
)
43
,3(),43,3(N N '-∴，
∴点N 到y 轴的距离为3. 904A ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭，， ∴直线N A '的解析式为
49-
=x y ，
它与x 轴的交点为
)0,49(D ∴点D 到y 轴的距离为49
.
19199189
32222416ACN ACD ADCN S S S ∴=+=⨯⨯+⨯⨯=△△四边形.
（3）当点P 在y 轴的左侧时，若ACPN 是平行四边形，则PN 平行且等于AC ，
∴把N 向上平移a 2-个单位得到P ，坐标为)
37,3
4(a a -，代入抛物线的解析式， 得：a
a a a +-=-38
916372
第24题图1 y B C O D A M N N ′ y
B C O A M N
备用图 ………………1分
………………2分 ………………3分 ………………4分
………………5分
,01=∴a （不舍题意，舍去），
83
2-
=a ，
)87,21(-∴P .
当点P 在y 轴的右侧时，若APCN 是平行四边形，则PN 与AC 互相平分， OA OC OP ON ∴==，． P 与N 关于原点对称，
)
31,34(a a P -∴，
将P 点坐标代入抛物线解析式得：a
a a a ++=38
916312， ,01=∴a （不舍题意，舍去），
8152-
=a ， )
85,25(-∴P ，
∴存在这样点
)87,21(1-P 或)
85,25(2-P ，能使得以N C A P ,,,为顶点的四边形是平行四边形．
(昌平)
25.如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OMN 的斜边ON 在x 轴上，顶点M 的坐标为（3，3），MH 为斜边上的高．抛物线C ：214y x nx =-
+与直线1
2
y x =及过N 点垂直于x 轴的直线交于点D ．点P （m ，0）是x 轴上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交射线OM 与点E ．设以M 、E 、H 、N 为顶点的四边形的面积为S ．
（1）直接写出点D 的坐标及n 的值；
（2）判断抛物线C 的顶点是否在直线OM 上？并说明理由； （3）当m ≠3时，求S 与m 的函数关系式；
（4）如图2，设直线PE 交射线OD 于R ，交抛物线C 于点Q ， 以RQ 为一边，在RQ 的右侧作矩形RQFG ，其中RG =
32
， 直接写出矩形RQFG 与等腰直角三角形OMN 重叠部分为 轴对称图形时m 的取值X 围．
[来源:] ………………8分 ………………7分 ………………6分
图1y x
D
E M
P H N O y
D
M
D
y
G
F
图2
R
E O N
H P M
Q
D
x
y
25.解：(1)D (6,3),n =2. ……………………2分[来源:] (2) 设直线OM 的解析式为y =kx , k ≠0.
∵M (3,3)在直线OM 上， ∴y =x .
即直线OM 的解析式为：y =x .
∵
x x y 24
1
2+-=的顶点坐标为（4,4）
， ∴抛物线C 的顶点在直线OM 上． ……………………4分 （3）∵点E 在OM 上， 当x =m 时，y=m ， ∵PE ⊥x 轴， ∴EP =m .
∴S =OMN OEH S S ∆∆-=239m
-
. ……………………6分 (4) m 取值X 围：m =33-,m =9
4
,3≤m ＜4． …………8分
(大兴)
24．已知：一元二次方程x 2
+px+q+1=0的一根为2， （1）求q 关于p 的关系式
（2）求证：抛物线y= x 2
+px+q+1与x 轴总有交点 （3）当p=-1时，（2）中的抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，A 在B 的左侧，若P 点在抛物线上，当S △BPC =4时，求P 点的坐标. 24．
（1）解：∵方程的根为2
∴4+2p +q +1=0[来源:ZXXK]
∴q = -2p -5 ………………………………………1分
（2）证明：△=p 2
-4(q +1) =p 2-4(-2p -5+1) =p 2+8p +16 =(p +4)
2
∵(p +4)2
≥0 ∴△≥0
∴抛物线y = x 2
+px +q +1与x 轴总有交点 ………………3分
(3)解：当p =-1时,q =-2×(-1)-5=-3
∴抛物线的解析式为：22
--=x x y . ∵B (2,0) C (0,-2), ∴BC =22. ∵S PBC ∆=4.
∴
42
1
=⋅BC h BC . ∴22=BC h .
过B 点作BD BC ⊥交y 轴于点D ,易求得，D (0,2)， ∴BD =22
过D 点作DE ∥BC 交x 轴于点E ∵∠ODB =∠OBD =45°∠E D B=90° ∴∠EDO =45°
∴E (-2,0)
设直线DE 的解析式为)0(≠+=k b kx y
∴⎩⎨
⎧==+-202b b k ∴解得⎩⎨⎧==2
1
b k
∴直线DE 的解析式为2+=x y . ……………………5分
设直线DE 与抛物线的交点P （x ,y ）
∴⎩⎨⎧--=+=222
x x y x y ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=535111y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=5
35122y x ∴)53,51(1--p ，)53,51(2++p ……………………7分
25.如图，直线33y x b =
+经过点B(3-，2)，且与x 轴交于点A ．将抛物线21
3
y x =沿x 轴作左右平移，记平移后的抛物线为C ，其顶点为P ．
（1）求∠BAO 的度数；
（2）抛物线C 与y 轴交于点E ，与直线AB 交于两点，其中一个交点为F ．当线段EF ∥x 轴时，求平移后的抛物线C 对应的函数关系式； （3）在抛物线2
13
y x =
平移过程中，将△PAB 沿直线AB 翻折得到△DAB ，点D 能否落在抛物线C 上？如能，求出此时抛物线C 顶点P 的坐标；如不能，说明理由．
25. 解：
(1)∵点B 在直线AB 上,求得b =3,
∴直线AB ：3
33
y x =
+, ∴A （33-，0），即OA =33．
作BH ⊥x 轴，垂足为H ．则BH =2，OH =3，AH =23． ∴3tan ,303
BH BAO BAO AH
∠==∴∠=︒．…………………2分
(2)设抛物线C 顶点P （t ，0），则抛物线C ：21()3
y x t =-，
∴E （0，21
3
t ）
∵EF ∥x 轴，
O
A
B
x
y
O
A
B
x
y
备用图
2
13y x =
B C A x
y F O D E ∴点E 、F 关于抛物线C 的对称轴对称,∴F （2t ，21
3
t ）．
∵点F 在直线AB 上, ∴33,3,323
3
31212=-=∴+⨯=
t t t t 2121323,3,3 3.33
t t t t ∴=+∴=-= ∴抛物线C 为2211
(3)(33)33
y x y x =+=-或. …………………………4分
(3)假设点D 落在抛物线C 上，
不妨设此时抛物线顶点P (t ，0)，则抛物线C :21()3
y x t =-，AP =33+ t ，
连接DP ，作DM ⊥x 轴，垂足为M ．由已知，得△PAB ≌△DAB ， 又∠BAO ＝30°，∴△PAD 为等边三角形．PM =AM ＝
1
(33)2
t +， 1
tan 3(93).2
DM DAM DM t AM ∴∠=
=∴=+， 11
(33)(33),22
OM OP PM t t t =+=-++=-
111(33),0,(33),(93).222M t D t t ⎡⎤⎡⎤
∴--∴--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∵点D 落在抛物线C 上，
∴2
2111(93)(33),27,3 3.232t t t t t ⎡⎤+=---=∴=±⎢⎥⎣⎦
即
当33t =-时，此时点P (33,0)-，点P 与点A 重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去．所以点P 为（33，
0）
∴当点D 落在抛物线C 上顶点P 为（33，0）. ……………………………8分 (东城)
25. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB
＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ．
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长； （3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q
两点的坐标．
25．（本小题满分8分） 解：（1）由题意得A （0，2）、B （2，2）、C （3，0）.
设经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y=ax 2
+bx +2.
则⎩
⎨
⎧=++=++02390
224b a b a
B
C A x
y F
O D E H
M H
G H 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=3432b a
H
∴224
233y x x =-++．……………2分
（2）由224233y x x =-++＝228
(1)33
x --+．
∴ 顶点坐标为G （1，8
3
）．
过G 作GH ⊥AB ，垂足为H ． 则AH ＝BH ＝1，GH ＝
83－2＝23
． ∵EA ⊥AB ，GH ⊥AB ，
∴EA ∥GH ．
∴GH 是△BEA 的中位线 ． ∴EA ＝3GH ＝
43
． 过B 作BM ⊥OC ，垂足为M ．[来源:Zxxk.] 则MB ＝OA ＝AB ．[来源:学_科_网Z_X_X_K] ∵∠EBF ＝∠ABM ＝90°，
∴∠EBA ＝∠FBM ＝90°
－∠ABF ． ∴R t △EBA ≌R t △FBM ． ∴FM ＝EA ＝
43
． ∵CM ＝OC －OM ＝3－2＝1， ∴CF ＝FM ＋CM ＝
7
3
．……………5分 （3）要使四边形BCGH 的周长最小，可将点C 向上 平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C 1，
得点C 1的坐标为（－1，1）． 可求出直线BC 1的解析式为14
33
y x =+． 直线14
33
y x =
+与对称轴x ＝1的交点即为点H ，坐标为（1，
53
）． 点G 的坐标为（1，2
3
）．……………8分
(房山)
24．（本小题满分7分）如图，已知二次函数()2
20y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交于点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B ，顶点为P ，且OB=3OA ，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B ． （1）求一次函数解析式； （2）求顶点P 的坐标；
（3）平移直线AB 使其过点P ，如果点Ｍ在平移后的直线上，
且
3
tan 2
OAM ∠=，求点M 坐标；
（４）设抛物线的对称轴交x 轴与点E ，联结AP 交y 轴与点D ，若点Q 、N 分别为两线段PE 、PD 上的动点，联结QD 、QN ，请直接写出QD+QN 的最小值．
(门头沟)
23．已知抛物线y ＝ax 2
＋bx －4a 经过A (－1，0)、C (0，4)两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点D (m ，m ＋1)在第一象限的抛物线上, 求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连结BD ，若点P 为抛物线上一点，且∠DBP ＝45°，求点P 的坐标．
23．解：（1）
抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，，
(04)C ，两点，
404 4.a b a a --=⎧∴⎨
-=⎩
，
解得13.
a b =-⎧⎨=⎩，………………………………………………………………………1分
∴抛物线的解析式为234y x x =-++． ………………………………………2分
（2）
点(1)D m m +，在抛物线上，2134m m m ∴+=-++. ∴2230m m --=. 1m ∴=-或3m =． 点D 在第一象限，1m ∴=-舍去．
∴点D 的坐标为(34)，． …………………………………………………………3分
抛物线2
34y x x =-++与x 轴的另一交点B 的坐标为(4)，0，(04)C ，，
∴.45OC OB CBO BCO =∴∠=∠=°． 设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．
CD AB ∥，
45ECB CBO DCB ∴∠=∠=∠=°．[来源:Zxxk.] ∴E 点在y 轴上，且3CE CD ==．
∴OE ＝1. (01)E ∴，． ………………………………………………………………………4分 即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为（0，1）．
（3）过点D 作BD 的垂线交直线PB 于点Q ，过点D 作DH x ⊥轴于H ，过点Q 作QG DH ⊥于G ．
∴90QDB QGD DHB ∠=∠=∠=°.．
45PBD ∠=°，
45BQD ∴∠=°．.QD BD ∴= QDG BDH ∠+∠90=°，90DQG QDG ∠+∠=°， DQG BDH ∴∠=∠．
QDG DBH ∴△≌△. 4QG DH ∴==，1DG BH ==．
(13)Q ∴-，．………………………………………………………………………5分 设直线BP 的解析式为y kx b +=.
11
y
x
O y
O A B
C
D
E
11 / 12 A E G P 1 由点(13)Q -，，点(40)B ，，求得直线BP 的解析式为31255
y x =-+．…………6分 解方程组234,
31255y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩
得112,566;25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2240.
x y =⎧⎨=⎩，（舍）[来源:] ∴点P 的坐标为266525⎛⎫- ⎪⎝⎭
，． ……………………………………………………7分
(燕山)
25．已知抛物线y =k mx 4
3x 412+-，与直线l : y = x+m 的左交点是A ，抛物线与y 轴相交于点C ，直线l 与抛物线的对称轴相交于点E.
⑴ 直接写出抛物线顶点D 的坐标（用含m 、k 的式子表示）；
⑵ 当m=2，k= -4时，求∠ACE 的大小；
⑶ 是否存在正实数m=k ，使得抛物线在直线l 下方的一段弧上有且仅有两个点P 1和P 2，且∠A P 1E=∠A P 2E= 45°？如果存在，求m 的值和点P 1、P 2的坐标；如果不存在，请说明理由.
25. ⑴ (m 2
3，k -2m 169) . …………………………………………1分 ⑵ 当m=2，k= -4时，
点C （0，-4），
直线DE 为x=3 . 再由⎪⎩
⎪⎨⎧--=+=②① .4x 23x 41y ,2x y 2 代①入②，得x 2-10x-24=0， 解得，x 1= -2，x 2= 12.
∴点A （-2，0）、点E （3，5）. …………………………2分
设抛物线与x 轴的另一交点是B ，DE 与x 轴相交于点F （3，0），
∵CF=AF=EF=BF=5，且△ABE 是等腰直角三角形.
∴点A 、B 、C 、E 都在⊙F 上，∠ACE=∠ABE=45°. ………………………4分
⑶ 当m=k ＞0时，
由x+m= ， 得x 1=0，x 2= 3m+4＞0.
∴点A （0，m ）. …………………………………5分
显然，经过点A 且平行于x 轴的直线与抛物线的另一交点即为点P 1（3m ，m ）.
Q x O A B C D P G H y k mx 4
3x 412+- A D
E
C B
F
12 / 12 又∵由题意，点P 2只能有一解，
再结合抛物线的对称性，可知点P 2只能重合于点D. 设DE 与AP 1交于点G ，
由DG=AG ，即m -（k -2m 169）=m 23，得m=38. ………………6分 ∴点P 1（8，38）、点P 2（4，-34）. …………………………………8分。