八年级初二数学数学勾股定理的专项培优练习题(附解析

一、选择题
1．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿3cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm ，则该圆柱底面周长为（ ）
A ．20cm
B ．18cm
C ．25cm
D ．40cm
2．在ABC 中，AB 边上的中线3,6,8CD AB BC AC ==+=，则ABC 的面积为
（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
3．如图，在平行四边形ABCD 中，∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE ，BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于点G ，下面给出四个结论:①2BD BE =； ②∠A=∠BHE ；
③AB=BH ； ④△BCF ≌△DCE ， 其中正确的结论是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
4．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点A （0，﹣2）、点B （3m ，4m +1）（m ≠﹣1），点C （6，2），则对角线BD 的最小值是（ ） A ．32
B ．213
C ．5
D ．6
5．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1+S 2+S 3=15，则S 2的值是( )
A ．3
B ．
154
C ．5
D ．
152
6．已知，等边三角形ΔABC 中，边长为2，则面积为（ ） A ．1
B ．2
C 2
D 37．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm ，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，
设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm ，则 h 的取值范围是（ ） A ．h≤15cm
B ．h≥8cm
C ．8cm≤h≤17cm
D ．7cm≤h≤16cm
8．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，AB ＝1，BD ⊥BC ，BD ＝BC ，CF 平分∠BCD 交BD 、AD 于E 、F ，则EDC 的面积为（ ）
A ．22﹣2
B ．32﹣2
C ．2﹣2
D ．2﹣1
9．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为
（ ） A ．5
B ．7
C ．5或7
D ．3或4
10．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A ．7,24,25
B ．
111,4,5222
C ．3,4,5
D ．114,7
,822
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA 2018A 2019，则点A 2019的坐标为________．
12．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A 处出发沿长方体表面爬行到C ＇处，若长方体的长4cm AB =，宽2cm BC =，高1cm BB '=，则蚂蚁爬行的最短路径长是___________．
13．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________ 14．在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上，则这个等腰三角形的腰长为_________.
15．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果AB ＝13，EF ＝7，那么AH 等于_____．
16．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________
17．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC ，D 为AB 的中点，E 为BC 上一点，将△BDE 沿DE 翻折，得到△FDE ，EF 交AC 于点G ，则△ECG 的周长是___________．
18．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=︒，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，
32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．
19．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______． 20．如图所示，圆柱体底面圆的半径是
2
π
，高为1，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的外侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是______
三、解答题
21．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．
（1）当2t =秒时，求PQ 的长；
（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？
（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．
22．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．
(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；
②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；
(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．
23．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-
（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．
（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．
（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，
64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．
24．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .
（1）求证:CED ADB ∠=∠； （2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .
25．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.
（1）求CD 的长.
（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.
①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.
②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.
26．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…
（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使
得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
27．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．
（1）如图1，求∠BGD的度数；
（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；
（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面积．
28．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB 对称，点D在线段AB上．
（1）如图1，若m＝8，求AB的长；
（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝2DE；（3）如图3，若m＝43，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．
29．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．
（2）如图1，求AF的长．
（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．
①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．
②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．
30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．
（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：
的大小的形状
…
直角三角形
…
直角三角形
…
请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；
（2）猜想一般结论在中，设，，（），
①若为直角三角形，则满足；
②若为锐角三角形，则满足____________；
③若为钝角三角形，则满足_____________．
（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面
（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．
（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）
A．一定是锐角三角形
B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形
C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为最短路径，由勾股定理求出A′D即圆柱底面周长的一半，由此即可解题．
【详解】
解：如图，将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A 关于E 的对称点A '，连接A B '交EG 于F ， 则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF BF +的长， 即 25cm AF BF A B '+==， 延长BG ，过A '作A D BG '⊥于D ，
3cm AE A E '==，153315cm BD BG DG BG AE ∴=+=+=-+=， Rt A DB '∴△中，由勾股定理得：2222251520cm A D A B BD ''=--=，
∴该圆柱底面周长为：20240cm ⨯=，
故选D ． 【点睛】
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
2．B
解析：B 【分析】
本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定ABC 为直角三角形，再根据勾股定理求得
228AC BC = ，最后根据1
2
ABC AC BC ∆=
⋅求解即可. 【详解】
解：如图，在ABC 中，AB 边上的中线， ∵CD=3，AB= 6， ∴CD=3，AB= 6， ∴CD= AD= DB ，
12∠∠∴=，34∠=∠ ， ∵1234180∠+∠+∠+∠=︒，
∴1390∠+∠=︒， ∴
ABC 是直角三角形，
∴22236AC BC AB +==， 又∵8AC BC +=，
∴22264AC AC BC BC +⋅+=，
∴22264()643628AC BC AC BC ⋅=-+=-=，
又∵1 2
ABC
AC BC
∆
=⋅，
∴1287
22
ABC
S
∆
=⨯=，
故选B.
【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力，关键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三角形，通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三是直角三角形.
3．A
解析：A
【分析】
先判断△DBE是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出2BE，故①正确；根据∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，可得∠BHE=∠C，再由∠A=∠C，可得②正确；证明
△BEH≌△DEC，从而可得BH=CD，再由AB=CD，可得③正确；利用已知条件不能得到④，据此即可得到选项.
【详解】
解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
∴在Rt△DBE中，BE2+DE2=BD2，BE=DE，
∴2BE，故①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥DC，∴∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，
∴∠BHE=∠C，
又∵在▱ABCD中，∠A=∠C，
∴∠A=∠BHE，故②正确；
在△BEH和△DEC中，
BHE C
HEB CED
BE DE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BEH≌△DEC，
∴BH=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，故③正确；
利用已知条件不能得到△BCF≌△DCE，故④错误，
故选A.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.
4．D
解析：D
【分析】
先根据B（3m，4m+1），可知B在直线y=4
3
x+1上，所以当BD⊥直线y=
4
3
x+1时，BD最
小，找一等量关系列关于m的方程，作辅助线：过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，利用三角形相似得BH2=EH•FH，列等式求m的值，得BD的长即可．
【详解】
解：如图,
∵点B(3m，4m+1)，
∴令
3
41
m x
m y
=
⎧
⎨
+=
⎩
，
∴y=4
3
x+1，
∴B在直线y=4
3
x+1上，
∴当BD⊥直线y=4
3
x+1时，BD最小，
过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，
∵BE在直线y=4
3
x+1上，且点E在x轴上，
∴E(−3
4
，0)，G(0，1)
∵F是AC的中点
∵A(0，−2)，点C(6，2)，∴F(3，0)
在Rt△BEF中，∵BH2=EH⋅FH，
∴(4m+1)2=(3m+3
4
)(3−3m)
解得：m1=−1
4
(舍)，m2=
1
5
，
∴B(3
5
，
9
5
)，
∴BD=2BF=2×
2
2
39
(3)
55
⎛⎫
-+ ⎪
⎝⎭
=6，
则对角线BD的最小值是6；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定，圆形与坐标特点，勾股定理等知识点.本题利用点B的坐标确定其所在的直线的解析式是关键．
5．C
解析：C
【解析】
将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=15，
∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，
所以S2=x+4y=5，
故答案为5．
点睛：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，用x，y 表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=15求解是解决问题的关键．
6．D
解析：D
【解析】
根据题意可画图为：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=30°，
∵AB=2，
∴AD=3，
∴S△ABC= 1
2BC·AD=
1
2
×2×3=3.
故选D.
7．C
解析：C
【分析】
筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.
【详解】
当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cm
AD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长
由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm
∴8cm≤h≤17cm
故选：C
【点睛】
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.
8．C
解析：C
【分析】
先过点E作EG⊥CD于G，再判定△BCD、△ABD都是等腰直角三角形，并求得其边长，最后利用等腰直角三角形，求得EG的长，进而得到△EDC的面积．
【详解】
解：过点E作EG⊥CD于G，
又∵CF平分∠BCD，BD⊥BC，
∴BE＝GE，
在Rt△BCE和Rt△GCE中
CE CE BE GE =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △BCE ≌Rt △GCE ，
∴BC ＝GC ，
∵BD ⊥BC ，BD ＝BC ，
∴△BCD 是等腰直角三角形，
∴∠BDC ＝45°，
∵AB//CD ，
∴∠ABD ＝45°，
又∵∠A ＝90°，AB ＝1，
∴等腰直角三角形ABD 中，BD ＝2211+＝2＝BC ，
∴Rt △BDC 中，CD ＝()()2222+＝2，
∴DG ＝DC ﹣GC ＝2﹣2，
∵△DEG 是等腰直角三角形，
∴EG ＝DG ＝2﹣2，
∴△EDC 的面积＝
12×DC×EG ＝12
×2×（2﹣2）＝2﹣2． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形EDG 进行求解．
9．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理和分类讨论的方法可以求得第三边的长，从而可以解答本题．
【详解】
由题意可得，当3和42243+5，
当斜边为42243-7，
故选：C
【点睛】
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和分类讨论的数学思想解
答．
10．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案．
【详解】
A 、22272425+=，能组成直角三角形，故正确；
B 、222
11145222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，不能组成直角三角形，故错误； C 、222345+=，能组成直角三角形，故正确； D 、22
21147822⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，能组成直角三角形，故正确； 故选：B ．
【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则三角形ABC 是直角三角形．
二、填空题
11．(21009，0)．
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得到OA 1=1，OA 2=
1，OA 3=2，
OA 4=3，…OA 2019=2018
，再利用1A 、2A 、3A …，每8个一循环，再回到y 轴的
正半轴的特点可得到点A 2019在x 轴的正半轴上，即可确定点A 2019的坐标．
【详解】
∵等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，
∴OA 1=1，OA 2，OA 3=）2，…，OA 2019=）2018，
∵A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴，
∴2019÷8=252…3，
∴点A 2019在x 轴正半轴上．
∵OA 2019=）2018，
∴点A 2019的坐标为（2018,0）即(21009，0)．
故答案为：(21009，0)．
【点睛】
本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于
45°；斜边等于直角边的2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征．
12．5cm
【分析】
连接AC＇，分三种情况进行讨论：画出图形，用勾股定理计算出AC＇长，再比较大小即可得出结果．
【详解】
解：如图
展开成平面图，连接AC＇，分三种情况讨论：
如图1，AB=4，BC＇=1+2=3，
∴在Rt△ABC＇中，由勾股定理得AC＇=22
+=5（cm），
43
如图2，AC=4+2=6，CC＇=1
∴在Rt△ACC＇中，由勾股定理得AC＇=22
+=37（cm），
61
如图3，AD =2，DC＇=1+4=5，
∴在Rt△ADC＇中，由勾股定理得AC＇=22
+=29（cm）
25
∵5<29<37，
∴蚂蚁爬行的最短路径长是5cm，
故答案为：5cm．
【点睛】
本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理，本题具有一定的代表性，是一道好题，注意要分类讨论．
13．310或10
【详解】
分两种情况：
（1）顶角是钝角时，如图1所示：
在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO2=AC2-OC2=52-32=16，
∴AO=4，
OB=AB+AO=5+4=9，
在Rt △BCO 中，由勾股定理，得BC 2=OB 2+OC 2=92+32=90，
∴BC=310；
（2）顶角是锐角时，如图2所示：
在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2=AC 2-DC 2=52-32=16，
∴AD=4，
DB=AB-AD=5-4=1．
在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC 2=DB 2+DC 2=12+32=10，
∴10 ；
综上可知，这个等腰三角形的底的长度为1010． 【点睛】
本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．
14．232
【分析】
先求出AC 的长，再分两种情况：当AC 为腰时及AC 为底时，分别求出腰长即可.
【详解】
在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，
∴AB=2BC=4， ∴22224223AC AB BC =-=-=
当AC 为腰时，则该三角形的腰长为3
当AC 为底时，作AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如图，此时△ACD 是等腰三角形，则3
设DE=x ，则AD=2x ，
∵222AE DE AD +=,
∴222(3)(2)x x +=
∴x=1（负值舍去），
∴腰长AD=2x=2，
故答案为：23或2
【点睛】
此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC 为一边的等腰三角形”没有明确AC 是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.
15．【分析】
根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可．
【详解】
∵AB ＝13，EF ＝7，
∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，
∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即141202ab ⨯
=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，
∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289，
∴a +b ＝17，
∵a ﹣b ＝7，
解得：a ＝12，b ＝5，
∴AE ＝12，DE ＝5，
∴AH ＝12﹣7＝5．
故答案为：5．
【点睛】
此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值． 16．
【解析】
【分析】
延长BC ，AD 交于E 点，在直角三角形ABE 和直角三角形CDE 中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.
【详解】
如图，延长AD 、BC 相交于E ，
∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,
∴∠E=30°
∴AE=2AB ，CE=2CD
∵AB=3，AD=4,
∴AE=6, DE=2
设CD=x,则CE=2x，DE=x
即x=2
x=
即CD=
故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE和直角△CDE，是解题的关键．
17．2
【分析】
连接CE．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、等腰三角形的性质以及折叠的性质推知EG+CG=EG+GF=EF=BE，
【详解】
解：（1）如图，连接CD、CF.
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，
∴BD=CD=1．2 ,
∵由翻折可知BD=DF，
∴CD=BD=DF=1，∠DFE=∠B=∠DCA=45°,
∴∠DCF=∠DFC，
∴∠DCF-∠DCA=∠DFC-∠DFE，即∠GCF=∠GFC，
∴GC=GF，
∴EG+CG=EG+GF=EF=BE，
∴△ECG 的周长=EG+GC+CE=BE+EC=BC=2, 故答案为2.
【点睛】
本题考查了折叠的性质、勾股定理、直角三角形的性质，能将三角形的周长转移到已知线段上是解题的关键.．
18．639+或639-
【分析】
通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF AED AEG S
S S =-即可求解．
【详解】
①当点D 在H 点上方时，
过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，
12AB = ，点E 是AB 中点，
162
AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，
90AHE ∴∠=︒ ．
30,6A AE ∠=︒=，
132
EH AE ∴== ，
AH ∴===． 3DE =，
3DH ∴=== ，
DH EH ∴=，3AD AH DH =-=，
45EDH ∴∠=︒，
15AED EDH A ∴∠=∠-∠=︒ ．
由折叠的性质可知，15DEF AED ∠=∠=︒，
230AEG AED ∴∠=∠=︒ ，
AEG A ∴∠=∠，
AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，
132
AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒ ，
12
GQ AG ∴=． 222GQ AQ AG += ， 即2
223(2)GQ GQ +=，
GQ ∴= ．
2DGF AED AEG S S S =- ，
11
23)36922
DGF S ∴=⨯⨯⨯-⨯=； ②当点D 在H 点下方时，
过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，
12AB = ，点E 是AB 中点，
162
AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，
90AHE ∴∠=︒．
30,6A AE ∠=︒= ，
132EH AE ∴=
= ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=． 32DE =，
2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，
DH EH ∴=，333AD AH DH =+=，
45DEH ∴∠=︒ ，
90105AED A DEH ∴∠=︒-∠+∠=︒ ．
由折叠的性质可知，105DEF AED ∠=∠=︒，
218030AEG AED ∴∠=∠-︒=︒ ，
AEG A ∴∠=∠，
AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，
132
AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒，
12GQ AG ∴= ． 222GQ AQ AG += ， 即2
223(2)GQ GQ +=， 3GQ ∴= ．
2DGF AED AEG S S S =- ，
112(333)36363922
DGF S ∴=⨯⨯+⨯-⨯⨯=+， 综上所述，DGF △的面积为639-或639+．
故答案为：639-或639+．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键． 19．17，144，145
【分析】
由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．
【详解】
解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17，
继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m ，则弦为m+1，
所以有222
17(1)m m +=+，解得144m =，1145m +=，即第8组勾股数为17，144，145.
故答案为17，144，145.
【点睛】
本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可． 20．5
【分析】
先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．
【详解】
圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．
∵AB=π•2π=2，CB=1． ∴AC= 22AB ＋BC = 222=5＋1，
故答案为：5.
【点睛】
圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
三、解答题
21．（1）213；（2）83；（3）5.5秒或6秒或6.6秒
【分析】
（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可； （2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；
（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；
②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；
③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．
【详解】
（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，
8216BP AB AP cm =-=-⨯=，
90B ∠=︒，
222246213()PQ BQ BP cm =+=+=；
（2）解：根据题意得：BQ BP =，
即28t t =-，
解得：83
t =； 即出发时间为83
秒时，PQB ∆是等腰三角形； （3）解：分三种情况：
①当CQ BQ =时，如图1所示：
则C CBQ ∠=∠，
90ABC ∠=︒，
90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，
90A C ∠+∠=︒，
A ABQ ∴∠=∠
BQ AQ ∴=，
5CQ AQ ∴==，
11BC CQ ∴+=，
112 5.5t ∴=÷=秒．
②当CQ BC =时，如图2所示：
则12BC CQ +=
1226t ∴=÷=秒．
③当BC BQ =时，如图3所示：
过B 点作BE AC ⊥于点E ， 则68 4.8()10
AB BC BE cm AC ⨯=== 22 3.6CE BC BE cm ∴=-=，
27.2CQ CE cm ∴==，
13.2BC CQ cm ∴+=，
13.22 6.6t ∴=÷=秒．
由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，
BCQ ∆为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
22．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD ，证明详见解析
【分析】
（1）①根据旋转的性质可得CF=CD ，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明
△ACD≌△BCF；
②连接EF，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE 即可证明；
（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系．
【详解】
解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90°
∵∠ACD=90°
∴∠ACD=∠BCF
又∵AC=BC
∴△ACD≌△BCF
②证明：连接EF，
由①知△ACD≌△BCF
∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD
∴∠EBF=90°
∴EF2=BE2+BF2，
∴EF2=BE2+AD2
又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°
∴∠FCE=∠DCE=45°
又∵CD=CF，CE=CE
∴△DCE≌△FCE
∴EF=DE
∴DE2= AD2+BE2
⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD
理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，
∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD
∵AC=BC，∠ACB=60°
∴∠CAB=∠CBA =60°
∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°
∴BG=1
2
BF，
3
∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，
∴∠ACD+∠BCE=30°，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF，CE=CE
∴△ECF≌△ECD
∴EF=ED
在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2又∵EG=EB+BG
∴EG=EB+1
2 BF，
∴EF2=（EB+1
2
BF）2+（
3
2
BF）2
∴DE2=（EB+1
2
AD）2+（
3
AD）2
∴DE2=EB2+AD2+EB·AD
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．
23．(1)AC=9;(2)AB∇AC=-72,BA∇BC=73
【分析】
(1)在Rt AOC
∆中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;
(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=23再用新定义即可得出结论;
②先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定义即可得出结论;
(3)作BD⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD是直角三角形,根据中线性质得出OA的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.
【详解】
(1)已知如图:AO为BC上的中线,
在Rt AOC ∆中,
AO 2-OC 2=AC 2
因为81AB AC ∇=
所以AO 2-OC 2=81
所以AC 2=81
所以AC=9.
(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,
在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,
在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB =2222126AB AO -=-=63,
∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =
12
AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =
222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,
在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=
+=
∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;
(3)作BD ⊥CD,
因为24ABC S ∆=,8AC =,
所以BD=26ABC S AC ∆÷=,
因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,
所以AO 2-OC 2=-64,
所以OC 2-AO 2=64,
由因为AC 2=82=64,
所以OC 2-AO 2= AC 2
所以∠OAC=90°
所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯
÷=⨯÷= 所以OC=22228373AC OA +=+=
所以BC=2OC=273,
在Rt △BCD 中,
CD=()2222276163BC BD -=-=
所以AD=CD-AC=16-8=8
所以AB=22228610AD BD +=+=
【点睛】
考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.
24．（1）见解析；（2）27BC =.
【分析】
（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.
（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．
【详解】
（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，
∴△ABD 是等边三角形.
∴60ADB ∠=︒.
∵CE ∥AB ，
∴60CED A ∠=∠=︒.
∴CED ADB ∠=∠.
（2）解：连接AC 交BD 于点O ，
∵AB AD =，BC DC =，
∴AC 垂直平分BD .
∴30BAO DAO ∠=∠=︒.
∵△ABD 是等边三角形，8AB =
∴8AD BD AB ===，
∴4BO OD ==.
∵CE ∥AB ，
∴ACE BAO ∠=∠.
∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.
∵60CED ADB ∠=∠=︒.
∴60EFD ∠=︒.
∴△EDF 是等边三角形.
∴2EF DF DE ===,
∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.
在Rt △COF 中， ∴2223OC CF OF =-=.
在Rt △BOC 中， ∴22224(23)27BC BO OC =
+=+= 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
25．（1）CD=8；（2）t=4；（3）
12-
=
t
v
t
(26
t≤<)
【分析】
（1）作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=1
2
BC，然后利用勾股定理
求出AE，再用等面积法可求出CD的长；
（2）①过B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分别讨论Q点在AF和FC之间时，根据
△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；
（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q在FC之间求出t的取值范围即可.【详解】
解：（1）如图，作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=1
2
BC=25
在Rt△ABE中，
()2
222
AE=AB BE=1025=45
--
∵△ABC的面积=11
BC AE=AB CD 22
⋅⋅
∴
BC AE4545 CD===8
AB
⋅⨯
（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，
∵△ABC的面积=11
AC BF=AB CD
22
⋅⋅，AB=AC
∴BF=CD
在Rt △CPD 和Rt △BQF 中
∵CP=BQ ，CD=BF ，
∴Rt △CPD ≌Rt △BQF （HL ）
∴PD=QF
在Rt △ACD 中，CD=8，AC=AB=10 ∴22AD=AC CD =6-
同理可得AF=6
∴PD=AD=AP=6-t ，QF=AF-AQ=6-2t
由PD=QF 得6-t=6-2t ，解得t=0，
∵t ＞0，
∴此种情况不符合题意，舍去；
当Q 点在FC 之间时，如图所示，
此时PD=6-t ，QF=2t-6
由PD=QF 得6-t=2t-6，
解得t=4，
综上得t 的值为4.
（3）同（2）可知v ＞1时，Q 在AF 之间不存在CP=BQ ，Q 在FC 之间存在CP=BQ ，Q 在F 点时，显然CP ≠BQ ，
∵运动时间为t ，则AP=t ，AQ=vt ，
∴PD=6-t ，QF=vt-6，
由PD=QF 得6-t=vt-6，
整理得12-=t v t
， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC
∴610<≤vt ，代入12-=t v t
得 61210<-≤t ，解得26t ≤<
所以答案为12-=
t v t (26t ≤<) 【点睛】
本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形
对应边相等建立方程是解题的关键.
26．（1）不存在，见解析；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数，见解析.
【分析】
（1）根据题意可知，这n 组正整数符合规律m 2-1，2m ，m 2+1（m≥2，且m 为整数）．分三种情况：m 2-1=71；2m=71；m 2+1=71；进行讨论即可求解；
（2）由于（m 2-1） 2+（2m ） 2=m 4+2m 2+1=（m 2+1） 2，根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】
（1）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．
理由如下：
根据题意可知，这n 组正整数符合规律21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）． 若2171m -=，则272m =，此时m 不符合题意；
若271m =，则35.5,m =，此时m 不符合题意；
若2171m +=，则270m =，此时m 不符合题意，
所以不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．
理由如下：
对于一组数：21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）．
因为2224222
(1)(2)21(1)m m m m m -+=++=+
所以若一个三角形三边长分别为21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数），则该三角形为直角三角形．
因为当2m ≥，且m 为整数时，2m 表示任意一个大于2的偶数，21m -，21m +均为正整数，
所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．
【点睛】
考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．注意分类思想的应用
27．（1）∠BGD ＝120°；（2）见解析；（3）S 四边形ABCD ＝
【解析】
【分析】
（1）只要证明△DAE ≌△BDF ，推出∠ADE=∠DBF ，由
∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；
（2）如图3中，延长GE 到M ，使得GM=GB ，连接BD 、CG ．由△MBD ≌△GBC ，推出DM=GC ，∠M=∠CGB=60°，由CH ⊥BG ，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH ，由
CG=DM=DG+GM=DG+GB ，即可证明2GH=DG+GB ；
（3）解直角三角形求出BC 即可解决问题；。