广东省中山市高三下学期2月四校联考数学试题（文）

广东省中山市2008-2009学年度第二学期2月四校联考
数 学(文科)
中山二中命题人：李修梅 审题人：黄全顺 2009.2
(考试时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数
i
i
+-12的实部与虚部之和为 ( ) A . -1 B . -2 C . 1 D . 2
2．在等差数列{}n a 中 ，已知公差2d =，20072007a =，则2009a = （ ）
A.2011
B.2010
C.2009
D.20083．下列各式中，值为
2
1
的是 （ ）A.sin15cos15︒︒ B.2
2cos
112
π
- C.2
tan 22.51tan 22.5︒-︒
D.2
60cos 1︒+
4．设条件1:01
x p x -≥+；条件:(1)(1)0q x x -+≥，则q 是
p 的（ ）条件
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
5. 设向量a 与b 的夹角为θ，a =（2，1），3b +a =（5，4），则θcos = ( )
A.
54 B. 3
1
C.1010 D .
101036、实数,x y 满足条件2410x y x y y +≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥⎩
，则35x y +的最大值为（ ）
A. 12
B. 9
C. 8
D. 3
7．若直线220(,)ax by a b R ++-=∈平分圆22
2460x y x y +---=,则21
a b
+的最小值是 ( )
A ．1
B ．5
C ．
D ． 8．函数x
x y |
|lg =
的图象大致是 （ ） 322+42
9.若曲线241:x y C -+=与直线4)2(:+-=x k y l 有两个不同交点,实数k 的取值范围是 ( )A.]43125，（
B.）
，（∞+125 C.]4
3
31[， D.）
，（12
5
010．已知函数)(x f y =)(R x ∈满足)()2(x f x f =+，且]1,1[-∈x 时，2
)(x x f =，则
)(x f y =与x y 5log =的图象的交点个数为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11．已知函数x x x f 8ln 2)(+=,则0
(12)(1)
lim
x f x f x
∆→-∆-∆的值为 .
12．一个空间几何体的三视图及部分数据如下图所示，则这个几何体的体积是 . 13. 在可行域内任取一点规范如框图所示，则能输出数对(,)x y 的概率是 ．
（第12题）
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选择一题，全答的以第一小题计分）
14．在极坐标系中，过圆ρ=6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 。

15．如右图，PA 切圆O 于点A ．割线PBC 经过圆心O ， OB=PB=1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 。

正视图
侧视图
俯视图 3
3
1
在可行域内任取有序数对(,)x y
给出可行域11
11x y x y -≤+≤⎧⎨
-≤-≤⎩
开始
221
2
x y +≤
输出数对(,)x y
结束
否
是
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分12分）
设函数2()sin 3sin cos f x x x x
=+（1）求
()f x 的最小正周期和值域；
（2）将函数()y
f x =的图象按向量1(,)122
a π→
=-平移后得到函数()y g x =的图象，求
函数()y g x =的解析式。

17. (本小题满分12分)
“125⋅”汶川大地震是华人心中永远的痛！在灾后重建中拟在矩形区域ABCD 内建一矩形（与原方位一样）的汶川人民纪念广场（如图），另外AEF ∆内部有一废墟作为文物保护区不能占用。

经测量AB=100m ，BC=80m ，AE=30m ，AF=20m ，如何设计才能使广场面积最大？
18.（本小题满分14分）如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点． （1）求证：PA //平面EFG ；（2）求证：GC PEF ⊥平面；
（3）求三棱锥P EFG -的体积．
C
D E
F B
A
19.(本题满分14分）
设函数2
()()f x x x m =--.
(Ⅰ)当1=m 时,求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线的方程;(Ⅱ)当0<m 时,求函数)(x f 的单调增区间和极小值.
20.（本小题满分14分）
已知点)1,1(A 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的一点，1F ,2F 是椭圆的两个焦点,
且满足421=+AF AF . (Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;
(Ⅱ)设点C ,D 是椭圆上的两点,直线AC ,AD 的倾斜角互补,试判断直线CD 的斜率是
否为定值?并说明理由.
21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,
)n
S n n
在直线111
22
y x =
+ 上；数列{}n b 满足2120()n n n b b b n N *++-+=∈，且311b =，它的前9项和为153.
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设3(211)(21)n n n c a b =
--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57
n k
T >对
一切n N *
∈都成立的最大正整数k 的值；
（3）设(21,)()(2,)
n n a n l l N f n b n l l N *
*
⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩，是否存在m N *
∈，使得(15)5()f m f m +=成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
2009年中山市四校联考试题答案
数 学(文科)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．
● 题
号 ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5 ● 6 ● 7 ● 8 ● 9 ● 10 ● 答
案
● A ● A ● C ● B ● D ● A ● D ● D ● A ● B
二、填空题（每小题5分，共20分） 11. -20 12.
23 13.4
π
14.3co =θρs 15.7 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
16.解：（1）将原函数化简为：2
2sin 3
22cos 1)(x
x x f +-=
………2分 =
2
1
2cos 212sin 23+-x x =2
1
)6
2sin(+
-
π
x ………4分 ∴
()f x 的最小正周期为π，值域为13
[,]22
- ………6分
（2）2
1
)12()(+
+==π
x f x g y ………8分 =21216)12
(2sin ++⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡-
+
ππ
x =12sin +x ………12分
17. 建立如图所示的直角坐标系，则E （30，0），F （0，20）。

∴线段EF 的方程是
)300(,120
30≤≤=+x y x ………3分 在线段EF 上取点),(n m P ，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为s ，则s ＝|PQ |·|PR|＝（100－m ）（80－n ）………6分
又∵
)300(,12030≤≤=+m n m ，∴)30
1(20m n -=，
∴)300(,3
18050)5(32)322080)(100(2≤≤+--=+
--=m m m m s 。

……10分 ∴当m ＝5m 时，s 有最大值，此时
1
5
5530=-=
PF
EP . 故当矩形广场的两边在BC 、CD 上，一个顶点在线段EF 上，
且这个顶点分EF 成5：1时，广场的面积最大。

…………12分
18. 解（1）证法1：如图，取AD 的中点H ，连接,GH FH ………1分 ∵,E F 分别为,PC PD 的中点， ∴EF
CD ………2分
∵,G H 分别为,BC AD 的中点，∴GH CD ．
∴EF
GH ．∴,,,E F H G 四点共面 ………4分
∵,F H 分别为,DP DA 的中点，∴PA
FH ．
∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， ∴PA
平面EFG ………6分．
证法2：∵,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点，
∴EF CD ，EG PB ………2分 ∵CD AB ，∴EF
AB ．………3分
∵PB
AB B =，EF EG E =，
∴平面EFG
平面PAB ．
∵PA ⊂平面PAB ，∴PA
平面EFG ．………6分
（2）解：∵PD ⊥平面ABCD ，GC ⊂平面ABCD ，
∴GC PD ⊥． ………7分
∵ABCD 为正方形，∴GC CD ⊥ ．………8分 ∵PD CD D =，∴GC ⊥平面PCD ． ………10分 （3）∵112PF PD =
=，1
12EF CD ==， ∴11
22
PEF
S EF PF ∆=⨯=． ………12分 A ．
B ．
C ．
D ．
E ．
F ．
G ．
H ． A B C
D
E F
G P H
∵1
12
GC BC =
=， ∴1111
13326P EFG G PEF PEF V V S GC --∆==⋅=⨯⨯=………14分
19.解：(Ⅰ)当1=m 时,=)(x f )1(--x x 2=x x x -+-2
32,得2)2(-=f ,
由143)(2
-+-='x x x f ,得5)2(-='f . …………4分 所以,曲线2
)1(--=x x y 在点)2,2(-处的切线方程是)2(52--=+x y ,整理得
085=-+y x . ………..6分
(Ⅱ)x m mx x m x x x f 2
2
3
2
2)()(-+-=--=,
))(3(43)(2
2m x m x m mx x x f ---=-+-='.
令0)(='x f 解得3
m
x =
或m x =. …………….10分 由于0<m ,当x 变化时,)(x f '的取值情况如下表:
x
()m ,∞-
m
⎪⎭
⎫ ⎝⎛3,m m 3
m ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,3m )(x f '
-
+
-
因此函数()f x 的单调增区间是(,
)3
m ,且函数)(x f 在m x =处取得极小值0)(=m f . ……….………..14分
20.解: (Ⅰ)由椭圆定义知,42=a 故2=a .即椭圆方程为
1422
2=+b
y x ,将(1,1)代入得3
4
2
=b 故椭圆方程为
13
4422=+y x . ……………4 因此3
8
3442
=-
=c , 离心率36=e . ……………6分 (Ⅱ)设(,),(,),C C D D C x y D x y 由题意知,直线AC 的倾斜角不为90
,故设AC 的方程为
1)1(+-=x k y ,联立
⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1434,1)1(22y x x k y 消去y 得0163)1(6)31(222=--+--+k k x k k x k . ……8分
由点)1,1(A 在椭圆上,可知1
31
632
2+--=k k k x C . ……10分 因为直线AD AC ,的倾斜角互补,
故AD 的方程为1)1(+--=x k y ,同理可得1
31
6322+-+=k k k x D .
所以21231
C D k
x x k --=+. ……12分
又24(1)1,(1)1,()231
C C
D D C D C D k
y k x y k x y y k x x k k -=-+=--+-=+-=+,
所以31=--=
D C D C CD x x y y k ,即直线CD 的斜率为定值3
1
. …………………14分
21.解：（1）因为n n S n 2
11
212+=
；故 当2≥n 时；51+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，611==S a ；满足上式； 所以5+=n a n ； ………2分
又因为0212=+-++n n n b b b ，所以数列}{n b 为等差数列； 由1532)(9739=+=
b b S ，113=b ，故237=b ；所以公差33
71123=--=d ； 所以：23)3(3+=-+=n d n b b n ； …………5分 （2）31111
()(211)(21)(21)(21)22121
n n n c a b n n n n =
==----+-+ ……… 6分
∴1221
n n n
T c c c n =+++=
+ ………8分 由于11
0(23)(21)
n n T T n n +-=>++ ∴n T 单调递增
∴min 1()357
n k T =
> 得19k < ∴max 18k = ………10分
（3）5(21,)
()32(2,)
n n l l N f n n n l l N *
*
⎧+=-∈⎪=⎨+=∈⎪⎩
当m 为奇数时，15m +为偶数 (15)3(15)25()5(5)f m m f m m +=++==+ 得11m = 当m 为偶数时，15m +为奇数 (15)1555()5(32)f m m f m m +=++==+ 得
5
7
m N *=∉（舍）
综上，存在唯一正整数11m =，使得(15)5()f m f m +=成立. ……… 14分。