广东省佛山市高明区第一中学高二数学下学期第一次月考

高明一中2015-2016学年度第二学期高二第一次大考
数学（理科）试卷
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知一个物体的运动方程是s ＝1+t ＋t 2
，其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么该物体在3秒末的瞬间速度是 （ ）
A ．6米/秒
B ．7米/秒
C ．8米/秒
D ．9米/秒 2.设f (x )为可导函数，且满足0
(1)(1)
lim
2x f f x x
→--=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜
率是 （ ） （A ）2 （B ）－1 （C ）1
2
（D ）－2
3.用反证法证明命题：“a ，b ∈*N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A. a ，b 都能被5整除
B. a ，b 不都能被5整除
C. a ，b 都不能被5整除
D. a 不能被5整除
4. 某个命题与正整数n 有关，若当)(*
N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时该命题也
成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得( )
A.当6=n 时，该命题不成立
B.当6=n 时，该命题成立
C.当4=n 时，该命题成立
D.当4=n 时，该命题不成立
5．若(m 2
－3m －4)＋(m 2
－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( )
A ．－1
B ．4
C ．－1或4
D ．不存在
6. 若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 7．函数2
2
3
)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 （ ）
a
b a
b a
o
x
o
x
y
o
x
y
o x
y
y
C
B
A
O
y
x
π
y=sinx
2
（A ）)3,3(- （B ）)11,4(- （C ） )3,3(-或)11,4(- （D ）不存在
8.曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是 （ ）
A.35
B.25
C.5
D.0
9.如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x （0≤x ≤π）与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（ ）
A ．π1
B ．π2
C ．4π
D ．π3
10.设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）
A ．3a >-
B ．3a <-
C ．13
a >-
D ．13
a <-
11.已知函数3
3y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A. -2或2 B. -9或3 C. -1或1 D. -3或1
12. 已知x x x f cos sin )(1-=，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，
()()1n n f x f x +'=，n ∈*N ，则=)(2012x f （ ）
A ．sin cos x x +
B ．sin cos x x --
C ．sin cos x x -+
D ． sin cos x x -
二、填空题:（每小题5分，共20分）
13.函数x
e x x
f )3()(-=的单调递增区间是 _____________.
14. 一物体在力F (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
10
0≤x ≤2
3x ＋4 x >2
(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处
运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为____________J .
15.平面上有n 条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条这样的直线把平面分成)(k f 个区域，且已知(2)4f =,(3)7f =,(4)11f =,则(5)___,f =
1+k 条直线把平面分成的区域数+=+)()1(k f k f .
16.已知x x f lg )(=，函数)(x f 定义域中任意的)(,2121x x x x ≠，有如下结论：
①0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<； ②0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-；
③
;0)
()(2
121>--x x x f x f
④.2
)
()()2(
2121x f x f x x f +<+ 上述结论中正确结论的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）
（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°. （2）已知0,n ≥试用分析法证明：211n n n n +-+<+-
18.(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足11
2n n
a a +=-，10a =. （1）计算2a ，3a ，4a ，5a 的值； （2）根据以上计算结果猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.
19. (本小题满分12分)如图，一矩形铁皮的长为8 m ，宽为3 m ，在四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V （单位：3
m ）是关于截去的小正方形的边长x （单位：m ）的函数.
（1）写出V 关于x （单位：m ）的函数解析式；
（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？ 最大容积是多少？ 20．（本题满分12分）定义：对于区间I 内连续可导的函数)(x f y =，若I x ∈∃0，使
0)(')(00==x f x f ，则称0x 为函数)(x f y =的新驻点．已知函数x a x f x -=)(．
（Ⅰ）若函数)(x f y =存在新驻点，求新驻点0x ，并求此时a 的值； （Ⅱ）若0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围．
21.（本小题满分13分）已知1x =是函数3
2
()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<，
（I ）求m 与n 的关系式；
（II ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.
22.(本小题满分13分) 已知函数1
()ln f x a x x
=-
，a ∈R ． （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；
（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．
高二 班 姓名 学号
密 封 线 内 不 得 答 题
高明一中2015-2016学年度第二学期高二第一次大考
数学（理科）答题卷
一、选择题：（每题5分，共60分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
二、填空题：（每题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．。

三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）
18（本小题满分10分）
.
19．（本小题满分12分）
20.（本小题满分12分）
21．（本小题满分13分）22. （本小题满分13分）
高二第一次大考数学（理科）试卷参考答案及评分标准
一、选择题：BDCD BABC ABAB
二、填空题: 13. [)+∞,2 14. 46. 15. 16 , 1+k 16. ①③
三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17. （1）证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60°，
即均小于60°， （2分）
则三内角和小于180°，与三角形中三内角和等于180°矛盾， 故假设不成立 .原命题成立 .（4分）
（2）证明：要证
211n n n n +-+<+- 成立，
只需证
221n n n ++<+ （5分）
只需证22
(2)(21)n n n ++<+
只需证n n n 212+>
+ （7分） 只需证n n n 2)1(2
2+>+
只需证n n n n 2122
2+>++， （8分）
只需证1>0
因为1>0显然成立，所以原命题成立 . （10分）
18. 解：（1）由11
2n n
a a +=
-和10a =，得 211
202
a =
=-，31213
22
a ==
-， 413
24
23
a =
=
-，514
35
24a ==
-. （4分） （2）由以上结果猜测：
1
n n a n -=
（5分）
用数学归纳法证明如下：
（Ⅰ）当1n =时 ，左边10a ==，右边11
01-=
=，等式成立.（6分）
（Ⅱ）假设当(1)n k k =≥时,命题成立，即1
k k a k -=成立. （7分）
那么，当1n k =+时，
111(1)1
12112k k k k a k a k k k
++-====--++-
这就是说，当1n k =+时等式成立 （9分）
由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知1
n n a n
-=
对于任意正整数n 都成立.（10分）
19.
解：（1）设截去的小正方形的边长为x m ，则此容器的长、宽、高分别为：82,32,x x x --（单位：
m ）∴容积为：33(82)(32)()(0)2
V x x x m x =--<<
即：32
342224(0)2
V x x x x =-+<< （5分）
（2） 2
124424V x x '=-+Q 令0V '=得：3x =（舍）或2
3
x =
（7分） 又当2(0,)3
x ∈时，0V '>，V ↗；当23
(,)
32x ∈时，0V '<，V ↘ （9分）
∴当23x =
时，函数取极大值，也是最大值，此时20027V =最大
（11分） 故：截去的小正方形的边长为
m 32时，容积最大，最大容积为3200
()27
m （12分） 20．解：（Ⅰ）1ln )(',)(-=∴-=a a x f x a x f x
x
Θ，由题意得
0)(000=-=x a x f x ①
01ln )('00=-=a a x f x ② …………………………………………3分
由①得00
x a
x =代入②得e x a log 0=，即e a x =0 ③
代入①得e x =0，e a e
=∴，e
e a 1
=∴．……………………………………6分 （Ⅱ）方法1：
（i ）若10<<a ，则01)1(<-=a f Θ，不合题意．………………………8分
（ii ）若1>a ，令01ln )('=-=a a x f x
，得)(log log ,log e x e a a a a x ==，9分
当))(log log ,(e x a a -∞∈时，0)('<x f ，)(x f 递减， 当)),(log (log +∞∈e x a a 时，0)('>x f ，)(x f 递增，
)ln (log )(log log log ))(log (log )(min a e e e e f x f a a a a a a =-==∴，10分
若0)(≥x f 恒成立，
则0)ln (log ≥a e a ，1ln ≥∴a e ，
e
e a 1
≥∴．…………………………12分 方法2：x a x a x f x
x
≥⇔≥-=0)(， …………………………………7分
（i ）0≤x 时，显然恒成立，
…………………………………8分
（ii ）0>x 时，x
x
a x a x x a x a x
x
ln ln ln ln ln ln ≥
⇔≥⇔≥⇔≥， 设x x x g ln )(=
，则2ln 1)('x
x
x g -=，0)('=e g ，
当),0(e x ∈时，0)('>x g ，)(x g 递增， 当),(+∞∈e x 时，0)('<x g ，)(x g 递减，
e e g x g 1)()(max ==，e
a 1
ln ≥∴，e e a 1
≥∴．……………………12分
21.
解： 由题意得S 1＝t ·t 2－⎠
⎛0
t x 2
d x ＝23t 3， 2分
S 2＝⎠⎛t
1x 2d x －t 2(1－t )＝2
3t 3－t 2＋13
， 4分
所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋1
3
(0≤t ≤1)． 5分
又S ′(t )＝4t 2
－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －12， 6分
令S ′(t )＝0，得t ＝1
2或t ＝0. 8分
因为当0<t <12时，S ′(t )<0；当1
2
<t ≤1时，S ′(t )>0. 10分
所以S (t )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1上单调递增．12分
所以，当t ＝12时，S min ＝1
4. 13分
22.解：（1）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，2
1
()a f x x x '=
+． 又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直， 所以(1)12f a '=+=，即1a =．（3分） （2）由于2
1
()ax f x x +'=
． 当0a ≥时，对于(0,)x ∈+∞，有()0f x '>在定义域上恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上是增函数． （5分）
当0a <时，由()0f x '=，得1
(0,)x a
=-∈+∞． （6分）
当1
(0,)x a ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；递增区间 （7分）
当1
(,)x a
∈-+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．递减区间 （8分）
（3）当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，[)2,x ∈+∞． （9分） 令1()ln(1)251
g x x x x =---+-． 2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --'=+-=----． 10分
当2x >时，()0g x '<，()g x 在(2,)+∞单调递减． 又(2)0g =，所以()g x 在(2,)+∞恒为负． 11分 所以当[2,)x ∈+∞时，()0g x ≤． 即1
ln(1)2501x x x ---+-≤． 12
分 故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x --≤成立． （13分）。