2018年长春市四模文科数学试卷及答案 精品

2018年长春市高中毕业生第四次调研测试
数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：
1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题
给出的四个选项中，只有一项．．．．
是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 计算
i
i
-+11等于 A. i B. i - C. 1 D. 1-
2. 集合12
{0,log 3,3,1,2}A =-，集合{|2,}x B y y x A ==∈，则A B =
A. {1}
B. {1,2}
C. {3,1,2}-
D. {3,0,1}- 3. 下列函数既是奇函数，又是增函数的是
A. 2log y x =
B. 3y x x =+
C. 3x y =
D. 1y x -=
4. 等差数列}{n a 的公差为3，若842,,a a a 成
等比数列，则4a = A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输开始0k =0
S =100
<S =+k =+是
出的k 的值是
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
6. 已知锐角α的终边上一点)50cos ,50sin 1( +P ，则锐角α= A. 80 B. 70 C. 20 D. 10
7. 函数()sin()(0,,)2
f x A x x R πωφωφ=+><∈的部分图像如图，则
A. ()4sin()8
4
f x x ππ
=-+
B. ()4sin()8
4
f x x ππ
=-
C. ()4sin()8
4
f x x ππ
=--
D. ()4sin()8
4
f x x ππ
=+
8. 甲、乙、丙、丁四人排成一行，则甲、乙都不在两边的概率为
A.
121 B. 16 C. 124 D. 14
9. 若椭圆22
13x y m
+=与直线220x y +-=有两个不同的交点，则m 的
取值范围是
A. 1(,3)4
B. (3,)+∞
C.1(,3)2
D. 1
(,3)(3,)4
+∞ 10. 已知函数()f x 是定义在R 上的最小正周期为3的奇函数，
当
3
(,0)2
x ∈-时， 2()log (1)f x x =-，则
(2011)(2012)(2013)(2014)f f f f +++=
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
11. 在ABC ∆中，120BAC ∠= ，2AB = ，1AC =
，点P 满足
BP BC λ= (01)λ≤≤，则⋅-2
的取值范围是
A. 1[,3]4
B. 1
[,5]2
C. 15[2,]4-
D. 13
[,5]4
12. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体的内切球的体积为
A. π34
B. π)32(4-
C.
π273
4 D. π9
8
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.
若实数y x ,满足不等式组20y x x y y ⎧⎪
+⎨⎪⎩
≤≤≥，
则目标函数y x z 3+=的最大值为 . 14. 为检查国家全民健
身运动的落实情况，在某社区成年居民中随机
抽取200名，统计其平均每天参加体育活动时间（h ），画出右边频率分布直方图，已知该社区共有成年居民1500人，根据上述信息估计平均每天参加体育活动时间在[)5.1,5.0内的人数约为___________.
15. 如图，测量河对岸的塔高AB
时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠= ，30BDC ∠= ，30CD =米，并在C 测得塔顶A 的仰角为 60，则塔的高度AB =__________米.
16. 已知函数()lg f x x =和()10x g x =的图像与圆
2220x y +=在第一象限内的部分相交于11(,)
M x y 和22(,)N x y 两个点，则22
12y y +=__________.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分）
等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，满足2222(1)S a a =+，且11a =.
⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵设n
S b n n 13
2+=
，求数列{}n b 的最小值项. 18. （本小题满分12分）
已知直三棱柱111C B A ABC -中，CB AC ⊥，D 为AB 中点，31==AC A A ，1=CB . ⑴求证：1BC ∥平面CD A 1； ⑵求三棱锥DC A C 11-的体积. 19. （本小题满分12分）
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50人进行
率为0.6.
⑴请将上面的列联表补充完整；
⑵能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关系；
⑶已知喜爱打篮球的10位女生中，54321,,,,A A A A A 还喜欢打羽毛球，321,,B B B 还喜欢打乒乓球，21,C C 还喜欢踢足球。

现从喜欢打羽毛球、喜欢乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其它方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率. (
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++) 20.
（本小题满分12分）
已知椭圆:C 22221x y a b +=(0)a b >>经过点(0,1)，离心率为2
e =⑴求椭圆C 的方程；
⑵设直线:1l x my =+与椭圆C 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '（A '不与B 重合），则直线A B '是否恒过一定点？如果是，求出这个定点的坐标；如果不是，请说明理由. 21. （本小题满分12分）
已知2(1)(1)
()2ln a x f x x x
--=+.
⑴当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；
⑵若x ≥1时，()f x ≤0恒成立，求a 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在△ABC 中，内角C 为钝角，点
,E H 分别是边AB 上的点，点,K M 分别是边,AC BC 上的点，且AH AC =，EB BC =，AE AK =，BH BM =. ⑴求证：,,,E H M K 四点共圆；
⑵若KE EH =，3CE =，求线段KM 的长. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲 已知曲线C 的极坐标方程为θ
θ
ρ2sin cos 4=
，直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧+==α
α
sin 1cos t y t x (t 为参数，0απ<≤). ⑴化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程；
⑵若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a a =-+. ⑴若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值； ⑵在⑴的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n --≤成立，求实数m 的取值范围．
2018年长春市高中毕业生第四次调研测试
数学(文科)参考答案及评分细则
A
1. A 21(1)
2.1(1)(1)2
i i i i i i i ++===--+ 故选A.
2.
B 21{0,log ,3,1,2}3A =-，∴11{1,,,2,4}38
B =，∴{1,2}A B = . 故选
B.
3. B 四个函数中只有函数3y x x =+既是奇函数又是增函数. 故选B.
4. C 令首项为a ，根据条件有2(9)(3)(21)3a a a a +=+⋅+⇒=，
433312a =+⨯=. 故选C.
5. D 01234522222263100+++++=< ，
012345622222226364127100.++++++=+=>
∴当151k k =+=+时，63100S =<；当161k k =+=+时，127100S =>.
即该程序输出的7k =. 故选D. 6. C 2cos50sin 402sin 20cos 20tan tan 20.1sin 501cos 402cos 20α︒︒︒︒
=
===︒+︒+︒︒
又α是锐角，所以20α=︒. 故选C.
7.
A 通过观察图像可知函数图像过(2,0)-和(2,4)-两个固定点，由
(2,0)-可知：84
x x ππ
ωϕ+=+；由(2,4)-可知，4A =-. 从而
()4sin(
)84
f x x π
π
=-+. 故选A.
8. B 甲、乙、丙、丁四人站成一排有如下24种情形：
甲乙丙丁、甲乙丁丙、甲丙乙丁、甲丙丁乙、甲丁乙丙、甲丁丙乙、
乙甲丙丁、乙甲丁丙、乙丙甲丁、乙丁甲丙、乙丁丙甲、乙丙丁甲、
丙甲乙丁、丙甲丁乙、丙乙甲丁、丙乙丁甲、丙乙丁甲、丙丁乙甲、
丁甲乙丙、丁甲丙乙、丁乙甲丙、丁乙丙甲、丁丙甲乙、丁丙乙甲.
其中甲、乙都不在两边有如下4种情形： 丙甲乙丁、丙乙甲丁、丁甲乙丙、丁乙甲丙. 因此所求概率为41
246
p =
=. 故选B.
9.
D 由22
13220x y m x y ⎧+
=⎪⎨⎪+-=⎩
消去x 并整理得2(34)80m y my m +-+=.
根据条件得23
0644(43)0
m m m m m ⎧≠⎪
>⎨⎪∆=-+>⎩
，解得134m <<或3m >. 故选
D.
10. C 由于22(1)log (1(1))log 21f -=--==，(0)0f =，(1)1f =- ，所以
(2011)(2012)(2013)(2014)
f f f f +++ (1)(1)(0)(1)11011f f f f =+-++=-++-=-. 故选C. 11. D 在ABC ∆中，根据余弦定理得
BC ===根据正弦定理得
1sin cos sin sin sin sin120AC BC B B B A B =⇒=⇒=⇒=︒ 从而有
2222()()72(7113
7().
24
BP AP BC BC AB BC BC λλλλ
λ-⋅=-+⋅=--=-+
又01λ≤≤，所以2BP AP BC -⋅
的取值范围是13[,5]4
. 故选D. 12. C 此几何体是底面边长为2，
可算出其体
积为
，表面积 为12. 令内切球的半径为r
，则1123r r ⨯=⇒=，从而内切球的体积为
343V π== 故选C.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)
13. 4 14. 960
15. 16. 20 简答与提示：
13. 不等式组20y x x y y ⎧⎪
+⎨⎪⎩
≤≤≥围成一个三角形区域，三顶点的坐标分别为：
(1,1),(0,0),(2,0)，所以当直线y x z 3+=过点(1,1)时，z 取得最大值4.
14. 1500(0.820.46)0.5960⨯+⨯=(人). 15. 在BCD ∆中，根据正弦定理得，
30
sin sin 30sin sin(1801530)
CD BC CDB CBD =
⋅∠=⨯︒=∠︒-︒-︒
在Rt ABC ∆
中，tan tan60AB BC ACB =⋅∠=︒=. 16. 由于函数()lg f x x =和函数()10x g x =互为反函数，其图像关于直线y x =对称， 这样它们的图像与圆2220x y +=在第一象限内的交点M 和N 也关于直线y x = 对称，这两个点的坐标满足
12x y =，21x y =，从而2222
122220y y x y +=+=.
三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及函数单调性等有关知识的应用.
【试题解析】解：⑴由2
22
22S a a =+，可得211112()()()a a d a d a d ++=+++. 又11a =，可得1d =. 数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，n a n ∴=. (4分) ⑵根据⑴得(1)
2n n n S +=，213(1)13131n n S n n b n n n n
+++===++. 由于函数13
()(0)f x x x x
=+>
在上单调递减，
在)+∞上单调递增，
而34<<，且132288
(3)33312f =+
==，132987(4)44412
f =+==， 所以当4n =时，n b 取得最小值，且最小值为2933144
+=. 即数列
{}
n b 的最小值项是433
4
b =
.
(12分)
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及
到线面的平行关系、几何体的体积的求法等知识. 【试题解析】⑴证明：连结1AC 交1AC 于O 点，连结DO ，则O 和
D 分别为1AC 和 AB 的中点，所以DO ∥1BC ，而1DO A DC ⊂平面，11BC A DC ⊄平面，所以
1BC ∥平面1A DC . (6分)
⑵因为1BC ∥平面1A DC ，所以点1C 和B 到平面1A DC 的距离相等，从而有
11111111
332
BDC Rt ABC C A DC A BDC V V S AA S AA ∆∆--==⋅=⨯⋅三棱锥三棱锥
111111162624
AC BC AA =⨯⋅⋅=⨯=.
(12分)
19. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计案例中独立性检验以及概率的求法等内容.
【试题解析】解：⑴因为喜爱篮球的学生数为500.630⨯=，所以
(3分)
⑵由⑴可知2
250(2015105)8.3337.879(2010)(515)(205)(1015)
K ⋅⨯-⨯=≈>+⋅+⋅+⋅+.
又2(7.879)0.005p K =≥，因此可以断定在犯错误的概率不超过
0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关系. (7分)
⑶从喜欢打羽毛球、喜欢乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名可以出现下面30种情形：
111A B C ，121A B C ，131A B C ，112A B C ，122A B C ，132A B C ，211A B C ，221A B C ，
231A B C ，212A B C ，222A B C ，232A B C ，311A B C ，321A B C ，331A B C ，312A B C ， 322A B C ，332A B C ，411A B C ，421A B C ，431A B C ，412A B C ，422A B C ，432A B C ，
511A B C ，521A B C ，531A B C ，512A B C ，522A B C ，532A B C .
其中1B 和1C 全被选中的仅有5种情形：111A B C ，211A B C ，311A B C ，
411A B C ，511A B C .
那么1B 和1C 不全被选中的情形有25种，因此所求的1B 和1C 不全被选中的概率为
255
306
p =
=. (12分) 20. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及直线过定点的判定与圆锥曲线的综合知识.
【试题解析】解：⑴依题意可得2221b c a
a b c =⎧⎪⎪=
⎨⎪⎪=+⎩
，解得2a =. 所以椭圆C 的方程是
2
214
x y +=.
(4分)
⑵由22
1
4
1x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去
x
得22(1)44my y ++=，即
22(4)230m y my ++-=.
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则11(,)A x y '-且12224m y y m +=-+，12
23
4y y m =-+， 经过点1122(,),(,)A x y B x y '-的直线方程为11
2121
y y x x y y x x +-=
+-. 令0y =，则21211112211211211212
()()+x x x x y x y y x y x y
x y x y y y y y y --+++=+==++.
又11221,1x my x my =+=+，所以当0y =时，
22211212121212
2
62(1)(1)2()44 4.24
m m
my y my y my y y y m m x m y y y y m -
-+++++++===
=++-+
这说明直线A B '与x 轴交于定点(4,0).
(12分)
21. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容. 【试题解析】解：⑴当1a =时，2
()f x x
'=，∴(1)2f '=，又(1)0f =，
∴所求切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=.
(4分) ⑵221
()(1)(1)f x a x
x
'=+-+
， ①当a ≥1时，又x ≥1，()f x ≥0，不合题意；
②当a ≤0时，222211
()(1)(1)(1)a f x a a x x x x
'=+-+=--+≤0，
∴()f x 在[1,)+∞ 上是减函数，∴()f x ≤(1)0f =，符合题意；
③当01a <<时，222
21(1)2(1)
()(1)(1)a x x a f x a x x x -++-'=+-+=.
设2
()(1)2(1)h x a x x a =-++-，令()0h x =
得x =
1>
当x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，∴()f x 在此区间上是单增函数，恒有
()f x ＞(1)0f =，不合题意.
综上实数a 的取值范围是(,0]-∞. (12分)
22. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到共圆图形的判断和圆的性质以及两个三角形全等的判断和应用等有关知识内容.
【试题解析】解：⑴连结CH ，则因为AC AH =，AK AE =，所以四边形CHEK 为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补，故C ，
H
，E ，K 四点共圆，同理C ，E ，H ，M 四点也共圆，从而四点E ，H ，M ，K 在由三点C ，E ，H 所确定的圆上，因此这四点共圆； (5分)
⑵连结EM ，则由⑴得E ，H ，M ，C ，K 五点共圆，因为四边形CEHM 为等腰梯形，EM HC =，所以MKE CEH ∠=∠.由KE EH =可得KME ECH ∠=∠，所以三角形MKE 和三角形CEH 全等，所以3KM EC ==为所求. (10分) 23. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及有关距离等知识内容.
【试题解析】解：⑴对于曲线C ：θ
θ
ρ2sin cos 4=
，可化为4cos sin sin ρθ
ρθρθ
=
. 把互化公式cos ,sin x y ρθρθ==代入，得4x
y y
=
，即24y x =为所求. (可验证原点(0,0)也在曲线上) (5分)
⑵根据条件直线l 经过两定点(1,0)和(0,1)，所以其方程为1x y +=.
由241
y x x y ⎧=⎨+=⎩，消去x 并整理得2440y y +-=. 令11(,)A x y ，22(,)B x y 则 12124,4y y y y +=-=-.
所以
8AB ===.
(10分)
24. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容.
【试题解析】解：⑴由条件知(2)2(2)6
(3)236
232
f a a f a a a ⎧
⎪-=⨯--+=⎪=⨯-+=⎨⎪
⎪-⎩≤≤，解得1a =. (5分)
⑵由⑴得()211f x x =-+，所以()()f n m f n --≤等价于
()()21121121212m f n f n n n n n +-=-++++=++-+≥.
若存在实数n 使()()f n m f n --≤成立，当且仅当(21212)min m n n ++-+≥.
而2121(21)(21)2n n n n ++-+--=≥，当11
22
n -≤≤时取等号. 因此实
数
m
的取值
范围是[4,)+∞.
(10分)。