2020届高考总复习数学(文科)课时跟踪练(二十六)

课时跟踪练（二十六）
1. 已知函数 f(x)= sin x — 2 3sin 2
2.
(1) 求f(x)的最小正周期；
- 2 n
(2) 求f(x)在区间0,才上的最小值.
y
解：(1)因为 f(x) = sin x — 2 3sin 2 2 = sin x + 3cos x — 3 = (n 厂
2sinx + 3 —7 3,
所以f(x)的最小正周期为2 n.
2 n n n
(2)因为 0W x <-3-,所以 §W x + n.
当x + 3= n,即x = 23时，f(x)取得最小值.
- 2 n 2 n
所以f(x)在区间0,于上的最小值为f ^# —衍.
2. (2017 山东卷)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c.已知 b = 3, AB AC = — 6, S A ABC = 3,求 A 和 a.
T T
解：因为 AB AC = — 6,所以 bccosA = — 6.
又 S AABC = 3,所以 bcsin A = 6. 因此 tan A = — 1.
才小
3n
又 0<A< n,所以 A = 4 . 又因为b = 3,所以c = 2 2.
由余弦定理a2= b2+ c2—2bcosA,
得a2= 9 + 8—2X 3X ^2x :—乎卜29,
所以a= 29.
3 n
3.在△ ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,若C=
且sin(A + C) = 2sin AcosA + B).
(1) 求证：a, b, 2a成等比数列；
(2) 若厶ABC的面积是1,求c・
(1) 证明：因为A+B+ C= n, sin(A + C) = 2sin AcosA + B),
所以sin B= —2sin AcosC,
结合正弦定理得b= —2acosC,
因为C= ：n,所以b= 2a,则b2= a 2a,
所以a, b, 2a成等比数列.
1 、2
(2) 解：S^BC = 2absin C= 4 ab= 1,
贝S ab=2 2,①
由⑴知b= 2a,②
联立①②得a= 2, b= 2.
在z^ABC 中，由余弦定理得c2= a2+ b2—2abcosC= 2+4—2X 2
所以c= 10.
4. (20佃濮阳三模)△ ABC内接于半径为R的圆，a, b, c分别
是内角A, B, C 的对边，且2R(sin2B-sin2 A) = (b-c)sin C, c= 3.
(1) 求角A的大小；
⑵若AD是BC边上的中线，AD =亠尹，求△ ABC的面积.
解：⑴因为2R(sin2 B —sin2 A) = (b- c)sinC,
所以2Rsin B sin B —2Rsin A sin A= (b—c)sin C, 所以bsin B —asin A= bsin C —csin C,
即b2—a2= bc— c2,即卩b2+ c2—a2= bc,
b2+ c2—a2 i
所以cosA= 2bc =2,又0 °A<180 ,所以A= 60 °
(2) 以AB, AC为邻边作平行四边形ABEC,
在MBE 中，/ABE = 120 ° AE = 19,
由余弦定理得AE2= AB2+ BE2—2AB BEcos 120 , °
即19= 9+ BE2—2X 3X BE X — Q丿，解得BE = 2(舍负)，所以AC
=2.
1 1
故S AABC = ?AB ACsin ZBAC= ?X 3X 2X
5. (2017天津卷)在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知asin A= 4bsin B, ac= 5(a2—b2—c2).
(1) 求cosA的值；
(2) 求sin(2B —A)的值.
解：⑴由 asin A = 4bsin B 及孑^=si^B ，得 a = 2b.
由ac = 5(a 2 — b 3 — c 2)及余弦定理，得 \ 5
b +
c — a 5
计 5 cosA —. 2bc ac 5
(2)由(1),可得 sin A =勒5,代入 asin A = 4bsin B,得 sin B = A =\5 =5 . 由(1)知，A 为钝角，所以 cosB =^ 1 —sin 2B =^^5.
口 4 2
3 于是 sin 2B = 2sin BcosB = 5, cos 23= 1 — 2sin B =5,
4 ( 引 3 2
5 故 sin(2B — A) = sin 2Bcos A — cos 2Bsin A =5X 「 — ▽亠
6.已知函数 f(x)= cosx(cosx + 3sinx).
(1)求f(x)的最小值；
(2)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别是a , b , c ,若f(C) = 1,
^4^, c = 7,求厶ABC 的周长.
解：(1)f(x) = cos x(cos x + 3sin x) = coE x + 3sin xcos x = 1 + cos 2c 3 1
(2)f(C) = 1+sin?C + 6 j= 1,所以 sin?C + ©)= 1,
2 + 2 sin 2x =2 + si
当sin2x +：= — 1时，f(x)取得最小值一£
5X 5 S^ABC =
因为C € (0, n
所以2c+f= 5n，因此C=n
因为S^BC = 2absin C = 3^3,所以ab= 3.
2 n
又(a+ b) —2abcos 3 = 7+ 2ab,
所以(a+ b)2= 16,即a+ b= 4,所以a+b+c=4+ 7, 故A ABC的周长为4+ 7.。