太湖县高级中学2019-2020学年高二上学期第一次月考测试数学

太湖县高级中学2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．过抛物线y2=﹣4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），若x1+x2=﹣6，则|AB|为（）A．8 B．10 C．6 D．4
2．已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（）
A．2 B．C．D．13
3．已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98
4．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，m∥α，则l∥α；
③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；
④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则l∥m．
其中正确命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．双曲线4x2+ty2﹣4t=0的虚轴长等于（）
A． B．﹣2t C．D．4
6．设f（x）=e x+x﹣4，则函数f（x）的零点所在区间为（）
A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
7．“x＞0”是“＞0”成立的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件D．充要条件
8．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2AD，G为CC1中点，则直线A1C1与BG所成角的大小是（）
A．30°B．45°C．60°D．120°
9． 已知函数f （x ）=1+x ﹣+﹣+…+，则下列结论正确的是（ ）
A ．f （x ）在（0，1）上恰有一个零点
B ．f （x ）在（﹣1，0）上恰有一个零点
C ．f （x ）在（0，1）上恰有两个零点
D ．f （x ）在（﹣1，0）上恰有两个零点
10．过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=10，则AB 的中点到y 轴的距离等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
11．设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z
=2（+i ），则z=（ ）
A ．﹣1﹣i
B ．1+i
C ．﹣1+i
D ．1﹣i
12．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ） A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数，且满足对任意的实数x 都有f[f （x ）﹣2x ]=6，则f （x ）+f （﹣x ）的最小值等于 ．
14．当下社会热议中国人口政策，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测1564
的线性回归方程为
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =﹣．
15．函数f （x ）=（x ＞3）的最小值为 ．
16．i 是虚数单位，化简：
= ．
17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】函数f （x ）=x ﹣lnx 的单调减区间为 ．
18．已知n S 是数列1{}2n n -的前n 项和，若不等式1
|12
n n n S λ-+<+｜对一切n N *
∈恒成立，则λ的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力．
三、解答题
19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知tanA=，c=
．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若三角形△ABC 的面积为，求角C ．
20．已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=3，a 4﹣a 3=1．设等比数列{b n }且b 2=a 4，b 3=a 8 （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（Ⅱ）设c n =a n +b n ，求数列{c n }前n 项的和S n ．
21．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （﹣1，1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率
之积等于﹣．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
22．已知函数f （x ）=alnx ﹣x （a ＞0）． （Ⅰ）求函数f （x ）的最大值；
（Ⅱ）若x ∈（0，a ），证明：f （a+x ）＞f （a ﹣x ）；
（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f （α）=f （β），且α＜β，证明：α+β＞2α
23．（本小题满分12分）
设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，圆22
127x y +=与直线1x y a b
+=相切，O 为坐标原
点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(4,0)Q -任作一直线交椭圆C 于,M N 两点，记MQ QN λ=，若在线段MN 上取一点R ,使 得MR RN λ=-，试判断当直线运动时，点R 是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方 程；若不是，请说明理由.
24．如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG．
太湖县高级中学2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，
∵抛物线y2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点
∴|AB|=2﹣（x1+x2），
又x1+x2=﹣6
∴∴|AB|=2﹣（x1+x2）=8
故选A
2．【答案】C
【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为，
可得=||||cos＜，＞=3×1×=，
即有|﹣4|=
==．
故选：C．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
3．【答案】A
【解析】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4
所以f（7）=f（3）=f（﹣1），
又f（x）在R上是奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，
故选A．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．
4．【答案】B
【解析】解：∵①若m∥l，m⊥α，
则由直线与平面垂直的判定定理，得l⊥α，故①正确；
②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误；
③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，
平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，
平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，
由AB、BC、BB1两两相交，得：
若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n不成立，故③是假命题；
④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，
则由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m，
得n∥m，同理n∥l，故m∥l，故命题④正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．【答案】C
【解析】解：双曲线4x2+ty2﹣4t=0可化为：
∴
∴双曲线4x2+ty2﹣4t=0的虚轴长等于
故选C．
6．【答案】C
【解析】解：f（x）=e x+x﹣4，
f（﹣1）=e﹣1﹣1﹣4＜0，
f（0）=e0+0﹣4＜0，
f（1）=e1+1﹣4＜0，
f（2）=e2+2﹣4＞0，
f（3）=e3+3﹣4＞0，
∵f（1）•f（2）＜0，
∴由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）．
故选：C．
7．【答案】A
【解析】解：当x＞0时，x2＞0，则＞0
∴“x＞0”是“＞0”成立的充分条件；
但＞0，x2＞0，时x＞0不一定成立
∴“x＞0”不是“＞0”成立的必要条件；
故“x＞0”是“＞0”成立的充分不必要条件；
故选A
【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
8．【答案】C
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AA1=2AB=2AD=2，
A1（1，0，2），C1（0，1，2），=（﹣1，1，0），
B（1，1，0），G（0，1，1），=（﹣1，0，1），
设直线A1C1与BG所成角为θ，
cosθ===，
∴θ=60°．
故选：C．
【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．
9．【答案】B
【解析】解：∵f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014
=（1﹣x）（1+x2+…+x2012）+x2014；
∴f′（x）＞0在（﹣1，0）上恒成立；
故f（x）在（﹣1，0）上是增函数；
又∵f（0）=1，
f（﹣1）=1﹣1﹣﹣﹣…﹣＜0；
故f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点；
故选B．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数零点的个数的判断，属于中档题．
10．【答案】D
【解析】解：抛物线y2=4x焦点（1，0），准线为l：x=﹣1，
设AB的中点为E，过A、E、B分别作准线的垂线，
垂足分别为C、G、D，EF交纵轴于点H，如图所示：
则由EG为直角梯形的中位线知，
EG====5，
∴EH=EG﹣1=4，
则AB的中点到y轴的距离等于4．
故选D．
【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想．
11．【答案】B
【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a﹣bi，
由z=2（+i），得（a+bi）（a﹣bi）=2[a+（b﹣1）i]，
整理得a2+b2=2a+2（b﹣1）i．
则，解得．
所以z=1+i．
故选B．
【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．
12．【答案】B
【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，
若a⊥b，则α⊥β不一定成立，
故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．
二、填空题
13．【答案】6．
【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2x是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，
∴f（x）﹣2x=a，即f（x）=a+2x，
∴当x=a时，
又∵a+2a=6，∴a=2，
∴f（x）=2+2x，
∴f（x）+f（﹣x）=2+2x+2+2﹣x=2x+2﹣x+4
≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，
∴f（x）+f（﹣x）的最小值等于6，
故答案为：6．
【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
14．【答案】y=﹣1.7t+68.7
【解析】解：=，==63.6．
=（﹣2）×4.4+（﹣1）×1.4+0+1×（﹣1.6）+2×（﹣2.6）=﹣17．
=4+1+0+1+2=10．
∴=﹣=﹣1.7.=63.6+1.7×3=68.7．
∴y关于t的线性回归方程为y=﹣1.7t+68.7．
故答案为y=﹣1.7t+68.7．
【点评】本题考查了线性回归方程的解法，属于基础题．
15．【答案】12．
【解析】解：因为x＞3，所以f（x）＞0
由题意知：=﹣
令t=∈（0，），h（t）==t﹣3t2
因为h（t）=t﹣3t2的对称轴x=，开口朝上知函数h（t）在（0，）上单调递增，（，）单调递减；
故h（t）∈（0，]
由h（t）=⇒f（x）=≥12
故答案为：12
16．【答案】﹣1+2i．
【解析】解： =
故答案为：﹣1+2i ．
17．【答案】（0,1）
【解析】
考点：本题考查函数的单调性与导数的关系 18．【答案】31λ-<<
【解析】由221111
1123(1)22
22n n n S n n
--=+⨯
+⨯++-⋅
+，2
11112222n
S =⨯+⨯+…111(1)22n n n n -+-⋅+⋅，两式相减，得2111111212222222n n n n n S n -+=++++-⋅=-，所以12
42
n n n S -+=-，
于是由不等式12
|142
n λ-+<-｜对一切N n *∈恒成立，得|12λ+<｜，解得31λ-<<．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=，
则
=
，即有sinA ﹣sinAcosC=cosAsinC ，
所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB ，
由正弦定理，a=b ，则=1；…
（Ⅱ）因为三角形△ABC 的面积为
，a=b 、c=，
所以S=absinC=a 2
sinC=
，则
，①
由余弦定理得， =
，②
由①②得，cosC+sinC=1，则2sin （C+）=1，sin （C+）=，
又0＜C ＜π，则
C+
＜
，即C+
=
，
解得C=…．
【点评】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则由，可得，…
解得：，
∴由等差数列通项公式可知：a n=a1+（n﹣1）d=n，
∴数列{a n}的通项公式a n=n，
∴a4=4，a8=8
设等比数列{b n}的公比为q，则，
解得，
∴；
（2）∵…
∴，
=，
=，
∴数列{c n}前n项的和S n=．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．
设点P的坐标为（x，y）
化简得x2+3y2=4（x≠±1）．
故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）
（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）
则．
因为sin∠APB=sin∠MPN，
所以
所以=
即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得
因为x02+3y02=4，所以
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．
【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）令，所以x=a．
易知，x∈（0，a）时，f′（x）＞0，x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0．
故函数f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）递减．
故f（x）max=f（a）=alna﹣a．
（Ⅱ）令g（x）=f（a﹣x）﹣f（a+x），即g（x）=aln（a﹣x）﹣aln（a+x）+2x．
所以，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0．
所以g（x）＜g（0）=0，即f（a+x）＞f（a﹣x）．
（Ⅲ）依题意得：a＜α＜β，从而a﹣α∈（0，a）．
由（Ⅱ）知，f（2a﹣α）=f[a+（a﹣α）]＞f[a﹣（a﹣α）]=f（α）=f（β）．
又2a﹣α＞a，β＞a．所以2a﹣α＜β，即α+β＞2a．
【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．
23．【答案】（1）
22
1
43
x y
+=；（2）点R在定直线1
x=-上.
【解析】
试
题解析：
（1）由12e =，∴2214e a =，∴22
34a b =
7=
，
解得2,a b ==，所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=
.
设点R 的坐标为00(,)x y ，则由MR RN λ=-⋅，得0120()x x x x λ-=--，
解得112
12
21212011224
424()
41()814
x x x x x x x x x x x x x x x λλ
++
⋅-+++=
==+-+++
+
又221212222
64123224
24()24343434k k x x x x k k k
---++=⨯+⨯=+++，
21222
3224
()883434k x x k k
-++=+=++，从而121201224()1()8x x x x x x x ++==-++， 故点R 在定直线1x =-上.
考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 24．【答案】 【解析】解：（1）如图
（2）它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，
设长方体体积为V 1，小三棱锥的体积为V 2，则根据图中所给条件得：V 1=6×4×4=96cm 3
，
V 2
=
••2•2•
2=cm 3，
∴V=v 1﹣v 2
=
cm 3
（3）证明：如图，
在长方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，连接AD ′，则AD ′∥BC ′
因为E ，G 分别为AA ′，A ′D ′中点，所以AD ′∥EG ，从而EG ∥BC ′， 又EG ⊂平面EFG ，所以BC ′∥平面EFG ；
2016年4月26日。