高中数学 第2章 变化率与导数 5 简单复合函数的求导法则课后演练提升 北师大版选修2-2(202

课后演练提升北师大版选修2-2
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法则课后演练提升北师大版选修2—2
一、选择题
1．函数y＝cos 2x＋sin错误!的导数为( )
A．－2sin 2x＋错误!B．2sin 2x＋错误!
C．－2sin 2x＋错误!D．2sin 2x－错误!
解析：y′x＝（cos 2x＋sin x)′＝(cos 2x)′＋（sin x）′
＝－sin 2x·（2x)′＋cos错误!·（错误!）′＝－2sin 2x＋错误!.
答案: A
2．函数y＝log3cos2x的导数是（)
A．－2log3e·tan x B．2log3e·cot x
C．－2log3cos x D.错误!
解析：y′＝错误!log3e（cos2x)′
＝错误!log3e·2cos x·（cos x)′
＝错误!log3e·2cos x（－sin x)＝－2log3e·tan x.
答案：A
3．曲线y＝e错误!在点(4,e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
A.错误!e2B．4e2
C．2e2D．e2
解析：因为y′＝错误!·e错误!,所以切线的斜率k＝错误!e2.
所以切线的方程为y－e2＝错误!e2（x－4)．
所以横、纵截距分别为2，－e2。

所以S＝错误!×2×｜－e2｜＝e2.
答案：D
4．已知函数f(x）在R上满足f(x）＝2f（2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f（x)在点(1，f（1））处的切线方程是( ）
A．y＝2x－1 B．y＝x
C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3
解析: 由f(x)＝2f（2－x)－x2＋8x－8,得
f（1)＝2f(1)－1＋8－8，∴f(1)＝1。

又f′(x)＝2f′（2－x）·（2－x)′－2x＋8
＝－2f′(2－x）－2x＋8,
∴f′(1）＝－2f′（1)－2＋8，解得f′(1)＝2。

故曲线在（1，f(1）)即(1，1）处切线方程为y－1＝2（x－1)，
即y＝2x－1,故选A。

答案: A
二、填空题
5．设f（x)＝错误!，且f′(1)＝2，则a等于___________．
解析：∵f′（x）＝错误!,∴f′(x)＝错误!，
∴f′（1)＝错误!，又f′(1）＝2，
∴错误!＝2，解得a＝2。

答案：2
6．若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是_______．解析：设P(x0，y0)．∵y＝x ln x，
∴y′＝ln x＋x·1
x
＝1＋ln x。

∴k＝1＋ln x0。

又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.∴y0＝eln e＝e。

∴点P的坐标是(e，e）．
答案：（e，e)
三、解答题
7．求下列函数的导数．
(1)y＝错误!；
（2）y＝x cos错误!sin错误!；
(3）y＝ln错误!；
(4）y＝a3x cos(2x＋1)．
解析：(1)y′＝错误!′
＝－错误!（2＋5x）10＋错误!·10（2＋5x）9·5
＝－2＋5x10
x2
＋错误!。

(2）∵y＝x cos错误!sin错误!
＝x(－sin 2x）cos 2x＝－错误!x sin 4x，∴y′＝错误!′
＝－错误!sin 4x－错误!cos 4x·4
＝－错误!sin 4x－2x cos 4x.
(3）y′＝（ln错误!)′
＝错误!(错误!）′
＝错误!·错误!（x2＋1)－错误!·(x2＋1)′＝错误!·错误!·错误!·2x
＝
x
x2＋1。

（4)y′＝［a3x cos（2x＋1）]′
＝（a3x)′cos(2x＋1）＋a3x·[cos(2x＋1)］′
＝a3x ln a·(3x)′cos(2x＋1）＋a3x·［－sin(2x＋1)］·（2x＋1)′
＝3a3x ln a·cos(2x＋1)－2a3x·sin(2x＋1）
＝a3x［3ln a·cos(2x＋1)－2sin（2x＋1）］．
8．求曲线y＝错误!在点错误!处的切线方程．
解析：y′＝错误!′＝－错误!（x2－3x)－错误!（x2－3x）′
＝－错误!（x2－3x）－错误!·（2x－3）,
所以曲线在点错误!处的切线斜率为
k＝y′｜x
＝4
＝－错误!×(16－12)－错误!×(8－3）＝－错误!.
所以切线方程为y－错误!＝－错误!(x－4）．
即5x＋16y－28＝0。

9．已知函数f(x）＝log a x和g(x)＝2log a(2x＋t－2)的图像在x＝2处的切线互相平行,其中a＞0，a≠1，t∈R。

求t的值．
解析：∵f′（x)＝错误!log a e，
g′（x）＝错误!log a e，
函数f(x)和g(x)的图像在x＝2处的切线互相平行，
∴f′（2)＝g′(2），且f（2)≠g（2）．
∴错误!log a e＝错误!log a e，且log a2≠2log a(2＋t）．∴t＝6.。