贵州省兴义三中高一数学下学期3月月考试题新人教A版

I 卷
一、选择题
1．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎡）为（ ）
A ．48
B ．64
C ．80
D ．120 【答案】C
2．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图12－7所示，则该几何体的体积是( ) A ．8 B ．203
C ．173
D ．143
【答案】C
3．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )
A ．32
B ．16＋16 2
C ．48
D ．16＋32 2 【答案】B
4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A ．13
B ．23
C ．1
D ．2 【答案】C
5． 已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为
A 212
π+ B ．
4136
π+ C 216
π+ D ．
21
32
π+ 【答案】C
6．已知正方体的外接球的体积是4π
3
，则这个正方体的棱长是( )
A ．
2
3
B ．33
C ．223
D ．233
【答案】D
7．在正三棱锥S-ABC 中，侧面SAB 、侧面SAC 、侧面SBC 两两垂直，且侧棱SA=32，则正三棱 S-ABC 外接球的表面积为（ ） A ．12 B ．32 C ．36 D ．48 【答案】C
8．设球的体积为V 1，它的内接正方体的体积为V 2，下列说法中最合适的是( )
A ．V 1比V 2大约多一半
B ．V 1比V 2大约多两倍半
C ．V 1比V 2大约多一倍
D ．V 1比V 2大约多一倍半 【答案】D
9． 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）
A ．
3
4000cm 3
B ．
3
8000cm 3
C ．3
2000cm
D ．3
4000cm
【答案】B
10．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的
体积是（ ）
A ．
3
4000cm 3
B ．
3
8000cm 3
C ．32000cm
D ．34000cm
【答案】B
11．一几何体的三视图如图，其中侧（左）视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，
正（主）视图为直角梯形，则此几何体体积的大小为（ ）
A ．12
B ．16
C ．48
D ．64
【答案】B
12． 如图，一平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC ，且该梯形的面积为2，则原图形的面积为( )
A．2 B．2C．22D．4 【答案】D
II 卷
二、填空题
13．设A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上的四点，且满足AB ⊥AC ，AD ⊥AC ，AB ⊥AD ，则S △ABC
＋S △ABD ＋S △ACD 的最大值是________． 【答案】8
14．已知某个几何体的三视图如下图（主视图的弧线是半圆），可得这个几何体的体积
是 .
【答案】64080π+
15． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，则三棱锥
P ABC -的主视图与左视图的面积的比值为_________.
【答案】1
16．在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是棱BC 、SC 的中点，且MN ⊥AN ，若侧棱SA ＝23，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是________． 【答案】36π
P
D
C
B
A
1
A 1
D 1
B 1
C 左视
主视
三、解答题
17．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是
PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。

(1）证明PA//平面EDB ；
(2）证明PB ⊥平面EFD ； 【答案】（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO 。

∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点
在PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA // EO 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ， 所以，PA // 平面EDB
(2）∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ， ∴DC PD ⊥
∵PD=DC ，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线， ∴PC DE ⊥。

①
同理由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC 。

∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC 。

而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥。

② 由①和②推得⊥DE 平面PBC 。

而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥
又∵EF ⊥PB ，E DE EF =⋂∴PB ⊥平面EFD
18．如图，在棱长均为4的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、D 1分别是BC 和B 1C 1的中点．
(1)求证：A 1D 1∥平面AB 1D ；
(2)若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∠B 1BC ＝60°，求三棱锥B 1－ABC 的体积． 【答案】(1)证明：如图，连接DD 1.
在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，因为D 、D 1分别是BC 、B 1C 1的中点， 所以B 1D 1∥BD ，且B 1D 1＝BD .
所以四边形B 1BDD 1为平行四边形， 所以BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1. 又因为AA 1∥BB 1，AA 1＝BB 1， 所以AA 1∥DD 1，AA 1＝DD 1.
所以四边形AA 1D 1D 为平行四边形． 所以A 1D 1∥AD .
又A 1D 1⊄平面AB 1D ，AD ⊂平面AB 1D ， 故A 1D 1∥平面AB 1D .
(2)在△ABC 中，因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点， 所以AD ⊥BC .
因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，且交线为BC ，AD ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面B 1C 1CB .
即AD 是三棱锥A －B 1BC 的高．
在△ABC 中，由AB ＝AC ＝BC ＝4得AD ＝23． 在△B 1BC 中，B 1B ＝BC ＝4，∠B 1BC ＝60°，
所以S △B 1BC ＝34
×42
＝43．
所以三棱锥B 1－ABC 的体积， 即三棱锥A －B 1BC 的体积 V ＝13×S △B 1BC ·AD ＝1
3
×43×23＝8. 19．根据三视图(如图)想象物体原型，并画出直观图.
【答案】(1)几何体为长方体与三棱柱的组合体.其中，长方体的底面是正方形，且三棱柱的一个侧面与长方体的上底面正方形重叠；
(2)几何体为长方体与圆柱的组合体.圆柱的一个底面在正四棱柱的上底面，且圆柱的底面圆
与正四棱柱上底面的正方形内切. 它们的直观图如图所示.
20．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB=90º，PA ⊥平面ABCD ，
PA=AB=BC=1，AD=2，M 是PD 的中点。

(1）求证：MC ∥平面PAB ；
(2）在棱PD 上求一点Q ，使二面角Q —AC —D 的正切值为
2
2。

【答案】（1）过M 作MN ∥PA 交AD 于N ，连接CN ，
∵PA ⊥平面ABCD 且MP=MD ，∴MN ⊥平面ABCD 且NA=ND ， ∴AB=BC=AN=CN=1，
又∠NAB=90º，DA ∥BC ，∴四边形ABCN 为正方形， ∴AB ∥NC ，∴平面PAB ∥平面MNC 。

∴MC ∥平面PAB 。

(2）在（1）中连接NB 交AC 于O ，则NO ⊥AC ，连接MO ，∵MN ∥平面ABCD ， MO ⊥AC ，∴∠MON 就是二面角M —AC —D 的平面角，∵tan ∠MON=
2
2， ∴点M 就是所求的Q 点。

21．如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，⊥AD 平面DEFG ，
AC AB ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ，且1==EF AC ,2====DG DE AD AB ．
(I ）求证：平面⊥BEF 平面DEFG ； (II ）求证：BF ∥平面ACGD ； (III ）求三棱锥A BCF -的体积．
【答案】（1）∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC 平面AB ADEB =, 平面DEFG 平面DE ADEB =
DE AB //∴.AB DE =
∴ADEB 为平行四边形，AD BE //. ⊥AD 平面DEFG ,⊥∴BE 平面DEFG ， ⊂BE 平面BEF ,
∴平面⊥BEF 平面DEFG .
(2）取DG 的中点为M ，连接AM 、FM ， 则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，
∴FM DE //，又∵DE AB //， ∴FM AB // ∴四边形ABFM 是平行四边形，即AM BF //， 又BF ⊄平面ACGD 故 BF ∥平面ACGD .
(3） 平面ABC ∥平面DEFG ，则F 到面ABC 的距离为AD.
1
3A BCF F ABC ABC
V V S
AD --==⋅⋅＝112(12)2323
⋅⋅⋅⋅= 22．如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，AD ＝CD ，∠CAD ＝30°.
(1)若AD ＝2，AB ＝2BC ，求四面体ABCD 的体积；
(2)若二面角C －AB －D 为60°，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．
【答案】(1)如图，设F 为AC 的中点，由于AD ＝CD ，所以DF ⊥AC .故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ，即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，且DF ＝AD sin30°＝1，AF ＝AD cos30°＝3．
在Rt △ABC 中，因AC ＝2AF ＝23，AB ＝2BC ，
由勾股定理易知BC ＝2155，AB ＝415
5
．
故四面体ABCD 的体积 V ＝13·S △ABC ·DF ＝13×12×4155×2155＝45
． (2)解法一：如图，设G ，H 分别为边CD ，BD 的中点，则FG ∥AD ，GH ∥BC ，从而∠FGH 或其补角是异面直线AD 与BC 所成的角．
设E 为边AB 的中点，则EF ∥BC ，由AB ⊥BC ，知EF ⊥AB .又由(1)有DF ⊥平面ABC ，故由三垂线定理知DE ⊥AB .所以∠DEF 为二面角C －AB －D 的平面角．由题设知∠DEF ＝60°.
设AD ＝a ，则DF ＝AD ·sin ∠CAD ＝a
2
．
在Rt △DEF 中，EF ＝DF ·cot ∠DEF ＝a 2·33＝3
6
a ，
从而GH ＝12BC ＝EF ＝3
6
a .
因Rt △ADE ≌Rt △BDE ，故BD ＝AD ＝a ，
从而在Rt △BDF 中，FH ＝12BD ＝a
2
．
又FG ＝12AD ＝a
2
，从而在△FGH 中，因FG ＝FH ，由余弦定理得
cos ∠FGH ＝FG 2＋GH 2－FH 32FG ·GH ＝GH 2FG ＝3
6
．
因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为
3
6
． 解法二：如图，过F 作FM ⊥AC ，交AB 于M .已知AD ＝CD ，平面ABC ⊥平面ACD ，易知FC ，FD ，FM 两两垂直．以F 为原点，射线FM ，FC ，FD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F －xyz .
不妨设AD ＝2，由CD ＝AD ，∠CAD ＝30°，易知点A ，C ，D 的坐标分别为A (0，－3，0)，C (0，3，0)，D (0,0,1)，则＝(0，3，1)． 显然向量k ＝(0,0,1)是平面ABC 的法向量．
已知二面角C －AB －D 为60°，故可取平面ABD 的单位法向量n ＝(l ，m ，n )，使得〈n ，k 〉
＝60°，从而n ＝1
2．
由n ⊥，有3m ＋n ＝0，从而m ＝－36
． 由l 2
＋m 2
＋n 2
＝1，得l ＝±
63
． 设点B 的坐标为B (x ，y,0)，由⊥，n ⊥，取l ＝6
3，有⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋y 2
＝3，63
x －36(y ＋3)＝0，
解之得，⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝
46
9，
y ＝739，⎩⎨
⎧
x ＝0，
y ＝－3
(舍去)
易知l ＝－
6
3
与坐标系的建立方式不合，舍去． 因此点B 的坐标为B (469，73
9
，0)．
用心 爱心 专心 11 所以＝(469，－23
9，0)． 从而cos 〈，〉＝ ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫
－2393＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4692＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2392
＝－36
． 故异面直线AD 与BC 所成的角的余弦值为3
6．。