函数插值-习题课教材

6、已知函数 y f (x)的数据表
，
y 3 6 9 0
则求 f (2.6) 的二次拉格朗日插值基函数l1(x) （ B ）
（A） x(x 2)(x 1) （B） (x 2)(x 1)
5(5 2)(5 1)
(5 2)(5 1)
（C） (x 5)(x 1) （D） x(x 2)
2(2 5)
2 n 1
n 2 2
M M
n n
2 1
d n2
d n1
n 1M
n
4.将Mi代入区间样条函数Si(x) 5.将要求点的值代入函数Si(x)计算
西华大学计算机与软件工程学院
13
[例] 给定离散数值表如下，取M0=M3=0构成三 次样条插值的M关系式，并计算f(1.25)：
xi
1.1 1.2 1.4 1.5
其它
x xi1
x
i
x i 1
,
x i 1
x
xi
li (x)
x xi
xi1 xi1
,
xi
x
xi1
0
其它
ln ( x)
x x0
xn1 xn1
,
x n1
x
xn
0
其它
n
( x) y jl j ( x) j0
西华大学计算机与软件工程学院
余项
定理：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x) ，则
0
x [i 1,i] x [i,i 1] x [0,5] [i 1,i 1]
x 4 ln (x) 0
x [4,5] x [0,4)
西华大学计算机与软件工程学院
所以，分段插值函数为
(x) l0 (x) 0.50000 l1(x) 0.20000 l2 (x) 0.10000 l3 (x)
0.05882 l4 (x) 0.03846 l5 (x)
f (4.5) (4.5) 0.05882 l4 (4.5) 0.03846 l5 (4.5)
0.05882 0.5 0.03846 0.5
0.04864 与精确值 f (4.5) 0.04706 比较，结果是比较精确的。
西华大学计算机与软件工程学院
2 1
M 1 d1 1M 0
2
2
2
M2
d2
n 2
2
n 1
n 2
2
M M
n 2 n 1
d n2
d n1
n 1M
n
西华大学计算机与软件工程学院
11
S( x) ( xi1 x)3 M i ( x xi )3 M i1 6hi
( xi1 x) f ( xi ) ( x xi ) f ( xi1 ) hi
14
2 0.6667
0.6667
2
M1 M2
5 55
解得：M1=13.125，M2=-31.875。 将M0=0、M1、M2、M3=0代入区间[xi , xi+1]上的S(x)：
S( x) ( xi1 x)3 Mi ( x xi )3 Mi1 ( xi1 x) f ( xi ) ( x xi ) f ( xi1)
1(1 2)
西华大学计算机与软件工程学院
20
7、设 P(x) 是在区间[a,b] 上的 y f (x) 的分段线性插值函数，
以下条件中不是 P(x) 必须满足的条件是（ C ）
（A） P(x) 在[a,b] 上连续（B） P(xk ) yk （C） P(x) 在[a,b] 上可导（D） P(x) 在各子区间是线性函数
（A） x(x 2)( x 1) （B） (x 2)( x 5)( x 1)
5(5 2)(5 1)
(0 2)(0 5)(0 1)
（C） x(x 5)( x 1) （D） x(x 2)( x 5)
2(2 5)(2 1)
1 (1 2)(1 5)
西华大学计算机与软件工程学院
19
x 0 2 51
近似值。节点处函数值如下表：
xi
0
1
2
3
4
5
yi
1 1 xi 2
1.00000
0.50000
0.20000 0.10000
0.05882
0.03846
西华大学计算机与软件工程学院
解 分段插值基函数为
1 x l0 (x) 0
x [0,1] x (1,5]
x i 1 li (x) (x i 1)
一般表达式分段线性插值nnnxxxxfx?????????0lim??西华大学计算机与软件工程学院3??????xjxj1xj1x0xn????????????????????其它0101010xxxxxxxxl??????njjjxlyx0????????????????????????????其它01101nnnnnxxxxxxxxl????????????????????????????????????????????????其它0111111iiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxl西华大学计算机与软件工程学院余项定理
特别地：f(1.25)S(1.25)=1.0436
西华大学计算机与软件工程学院
15
插值 习题
1、 n 次拉格朗日插值多项式的余项是( A )
(A) Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
(B) Rn (x)
f
(
n)
n
(
!
)
n
(
x
)
(C)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
0.7654
误差
R 2
5
18
1 ( cos ) 5
6
18
6
5
18
4
5
18
3
3
cos 0.000767 4
34 992 6
西华大学计算机与软件工程学院
11、设有 10 到 999 之间整数的平方根表,已知10 x 999 ,利用
线性插值求 x 的近似值．试求绝对误差限并估计有效数字的位
6 4 3 18 按拉格朗日插值一次式,取 , 为节点，得
43
sin
5
18
L 1
5
18
5
18 3
2 2
5
18
4
3 0.7601 2
43
34
西华大学计算机与软件工程学院
误差
R 1
5
18
1 (sin ) 5
2
18
5
4 18
3
2
sin 0.006 595
129 6 3
数．（假设表上已给的函数值足够精确）
解：设
x a ，则：
x
a
h2 8
M2 ，
其中： M2
max 10 x 999
x max 1 7.9103 ， h 1 ， 10x999 4x x
故：
x
a
h2 8
M2
M2 8
9.9104 ，
所以 x 有三位有效数字．
西华大学计算机与软件工程学院
12、给出 f(x)=cosx，x [0, ]的一张等距步长分布的函数表,并
x
i
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (
2
)
(x
xi
)(x
xi1 )
，
又：
f
'' (x)
cos x
1,
max
xi x xi1
(x
xi
)(
x
xi1
)
h2 4
所以： max R(x) 1 h2 1 104 h 2102 。
0x / 2
82
西华大学计算机与软件工程学院
x)
D( x
xi )
插值条件待定系数
西华大学计算机与软件工程学院
8
获得S(x)在[xi , xi+1]上的表达式
S( x) ( xi1 x)3 M i ( x xi )3 M i1 6hi
( xi1 x) f ( xi ) ( x xi ) f ( xi1 ) hi
ห้องสมุดไป่ตู้
hi 6
[( xi 1
1
课程回顾+习题课
分段线性插值
一般表达式
• •
• •
x0
xj-1 xj
• •
xj+1 xn
计算量与n无关; n越大，误差越小.
lim
n
n
(
x
)
f (x), x0
x
xn
西华大学计算机与软件工程学院
2
••• •
• •
x0
xj-1 xj xj+1 xn
l0 ( x)
x x0
x1 x1
,
x0
x
x1
0
6hi
hi
hi 6
[(xi1
x)Mi
(x
xi
)M i 1 ]
21.875x3 72.1875x2 83.1875x 32.875 x [1.1,1.2]
S(
x
)
37.5 x3 141.5625x2 173.75x 59.725
x [1.2,1.4]
53.125x3 239.0625x2 358.0625x 179.05 x [1.4,1.5]
29
13 若 函 数 f (x) x7 x 4 3x 5 , 求 f [x0 , x1, , x7 ] 和
f [x0 , x1, , x8 ]
解
因f
[x0, x1,xn
]
f
(n )( ) n！
,有
f
[20,21,27 ]
f
(7)( )
7！
7！ 7！
1
f
[20,21,28 ]
x)Mi
(x
xi )M i1 ]
需要知道Mi 和Mi+1的值
西华大学计算机与软件工程学院
9
插值条件获得计算参数Mi的方程
i Mi1 2Mi i Mi1 di (i 1,2,..., n 1)
i
hi
hi hi1
;i
1 i
西华大学计算机与软件工程学院
10
第I类边界条件 f”(x0)=f”(xn)，即M0=Mn=0 i Mi1 2Mi i Mi1 di (i 1,2,..., n 1)
x 2 1 2
0
x
1
1 1
x 2 1 2
3
x 1 x 1 2 12 1 4
5 x2 3 x 7 ． 6 23
西华大学计算机与软件工程学院
10 已知特殊角 300，450 ，600 的正弦函数分别为 1 2, 2 2, 3 2求 sin 500近似值(用一、二次方法)并估计截断误差
解 角 300 ,450 ,600 ,500化为弧度，分别为 , , , 5 。
R1(x )
f (x )
(x )
h2
8
M
,
其中
h
m
0i
ax(x
n 1
i
1
xi ),
M max f (x ) a x b
西华大学计算机与软件工程学院
1
例 已知函数
y
f (x) 1 x2
在区间 [0,5]
上取等距节点 xi 0 i (i 0,1, ,5) 时的函数值。
求分段线性插值函数，并由此计算 f (4.5) 的
西华大学计算机与软件工程学院
得
取6 ,
sin 5
18
4
, 3
L 2
为节点，按拉格朗日插值二次式，
5
18
5
18
4
5
18
3
1 2
6 4 6 3
5 5
18
6
18
3
2 2
5
18
6
5
18 4
3 2
4 6 4 3
3 6 3 4
yi 0.4000 0.8000 1.6500 1.8000
解：由题中(xi , yi)的数值可得： h0=0.1，h1=0.2，h2=0.1，
1 1
0.6667, 0.3333,
2 2
0.3333 0.6667
i
hi
hi hi1
; i
1 i
由M0=M3=0的边界条件，得
西华大学计算机与软件工程学院
hi 6
[( xi 1
x)Mi
(x
xi )M i1 ]
重点记忆
i Mi1 2Mi i Mi1 di (i 1,2,..., n 1)
i
hi
hi hi1
;i
1 i
2 1
M 1 d1 1M 0
2 2 2
M2
d2
n 2
2
n 1
n 2 2
M M
n 2
n 1
f (n) ( )
(D) Rn (x) n!
西华大学计算机与软件工程学院
16
x 0 0. 5 1 .1 5 2 . 2 5
2、由数据
y 2 1. 7 1 . 0 2 2 . 4 2
所确定的插值多项式是次数不大于（ D ）的多项式．
（A）二次 （B）三次 （C）四次 （D）五次
西华大学计算机与软件工程学院
2
按线性插值计算任何 x [0, ]的 cosx 的值。问步长取多大才
2
能保证其截断误差绝对不超过
1
×10 4
？
2
解：对
x
[0,
2
]
，必有某个
x
i
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (
2
)
(x
xi
)(x
xi1 )
，
西华大学计算机与软件工程学院
解：对
x
[0,
2
]
，必有某个
7
课程回顾+习题课
三次样条插值大 M 方 法
考虑任一小区间[xi , xi+1]，设 hi=xi+1-xi，Mi=S”(xi)
S( x)
xi1 x xi1 xi
Mi
x xi xi1 xi
M i 1
两次积分
S(x)
( xi1 6hi
x)3
Mi
( x xi )3 6hi
Mi1
C( xi1
西华大学计算机与软件工程学院
21
8、令
求
的一次插值多项式，并估计插值误差。
解：
；
， 介于 x 和 0，1 决定的区间内；
当
时，
。
西华大学计算机与软件工程学院
22
9、已知： f 1 0, f 1 3, f 2 4 ，求函数 f x 过这
三点的二次插值多项式 L2 x 。
解：
L2
x
x 1
1 1
17
3、经过点 A(0,1),B(1,2),C(2,3) 的插值多项式 P(x) （ B ）
（A） x
（B） x 1
（C） 2x 1 （D） x2 1