实验四：信号的取样和取样定理
信号与系统实验四实验报告
实验四 时域抽样与频域抽样一、实验目的加深理解连续时间信号的离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握时域抽样定理的基本内容。
掌握由抽样序列重建原连续信号的基本原理与实现方法，理解其工程概念。
加深理解频谱离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握频域抽样定理的基本内容。
二、 实验原理时域抽样定理给出了连续信号抽样过程中信号不失真的约束条件：对于基带信号，信号抽样频率sam f 大于等于2倍的信号最高频率m f ，即m sam f f 2≥。
时域抽样是把连续信号x (t )变成适于数字系统处理的离散信号x [k ] ；信号重建是将离散信号x [k ]转换为连续时间信号x (t )。
非周期离散信号的频谱是连续的周期谱。
计算机在分析离散信号的频谱时，必须将其连续频谱离散化。
频域抽样定理给出了连续频谱抽样过程中信号不失真的约束条件。
三．实验内容1. 为了观察连续信号时域抽样时抽样频率对抽样过程的影响，在[0，0.1]区间上以50Hz 的抽样频率对下列3个信号分别进行抽样，试画出抽样后序列的波形，并分析产生不同波形的原因，提出改进措施。
)102cos()(1t t x ⨯=π答: 函数代码为: t0 = 0:0.001:0.1;x0 =cos(2*pi*10*t0);plot(t0,x0,'r')hold onFs =50;t=0:1/Fs:0.1;x=cos(2*pi*10*t); stem(t,x); hold offtitle('连续信号及其抽样信号')函数图像为:)502cos()(2t t x ⨯=π同理,函数图像为:)0102cos()(3t t x ⨯=π同理,函数图像为:由以上的三图可知,第一个图的离散序列,基本可以显示出原来信号,可以通过低通滤波恢复,因为信号的频率为20HZ,而采样频率为50>2*20,故可以恢复,但是第二个和第三个信号的评论分别为50和100HZ,因此理论上是不能够恢复的,需要增大采样频率,解决的方案为,第二个信号的采样频率改为400HZ,而第三个的采样频率改为1000HZ,这样可以很好的采样,如下图所示:2. 产生幅度调制信号)200cos()2cos()(t t t x ππ=，推导其频率特性，确定抽样频率，并绘制波形。
2-2 连续时间信号的取样及取样定理
0 m
0
sam 2m
m T m
1 T
2π 2 m
π
X ( e j )
0
sam 1.6 m
m T m
1 T
2π 1.6 m
1.25 π
0
1 T
X ( e j )
因此，滤波器输出端恢 复的信号为y(t)=xa(t)， 等于原始信号。
H ( j ) T， 0, s s 2 2
图2-8 取样信号的恢复与理想低通滤波器的传输函数
抗混叠滤波 许多实际工程信号不满足带限条件
h(t )
x (t )
抗混叠
x1 ( t )
低通滤波器
X ( j )
s 2 h
否则称：混叠现象。 上式即为香浓取样定理。其中，Ω h为原始信号 的截止频率，又称奈奎斯特频率。 它指出：取样频率必须大于原模拟信号频谱中 最高频率的两倍，则原始信号xa（t）可以由其取样 信号x（nT）来唯一表示。
所以，能够恢复原始信号的最小取样率为
Ω s = 2Ω h ，称奈奎斯特取样率。
n
a
(nT )ha t nT
sin t T h a (t ) t T
h a (t nT )
sin
T
(t nT )
T
(t nT )
称：内插函数
频域上：通过L.P.F，频谱不交叠就可恢复 时域上： sin (t nT ) T y (t ) xa (nT ) xa (t ) n (t nT ) T 此公式以Sa(Wht)为核函数，称为取样内 插公式
信号抽样与抽样定理
− nω
s
)
F (ω − n ω
)
矩形脉冲抽样——频谱结构 二. 矩形脉冲抽样 频谱结构
转 化
f (t )
FT
乘
0
1
0
.exe .exe
t
P (t )
τ
FT
− 2π
P (ω ) Eτω s
τ
2π
ω
卷
0
Ts
t
FT
−ωs
0
f s (t )
Fs (ω )
Eτ Ts
ωs
τ
ω
t
0
−
2π
2π
τ
−ωs
)
三.冲激抽样——频谱结构 冲激抽样 频谱结构
f (t )
0
FT
P (t )
∞
1
0
p (ω ) = ω s
∞
F (ω )
t
n=−∞
(1)
0
δT (t) = ∑δ (t − nTs )
FT
(ω s )
−ωs
0
n = −∞
∑ δ (ω − nω
ω
s
)
Ts
t
相 乘 相 卷
FT
ω ω
s
f s (t )
1 Ts
1 Ts
0
抽样频率
F1 (ω )
ωs<2 ωm
f (t)
0
− ωs
0
1 Ts
ω ωs F1 (ω )
ωs=2 ωm
Ts
t
ω s = 2ω m
− ωs
0
ωs ω
Nyquist，美国物理学家 ， 1889 ， 美国物理学家， 年出生在瑞典。 年在Texas 年出生在瑞典 。 1976年在 Texas 逝 年在 Texas逝 他对信息论做出了重大贡献。 世。他对信息论做出了重大贡献。 1907年移民到美国并于 年移民到美国并于1912年进入 年移民到美国并于 年进入 北达克塔大学学习。 北达克塔大学学习。1917年在耶鲁 年在耶鲁 要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽 ～ 大学获得物理学博士学位。 大学获得物理学博士学位。1917～ 1934年在 年在AT&T公司工作 公司工作， 年在 公司工作 样频率必须大于两倍信号谱的最高频率。，后转入 Bell电话实验室工作 电话实验室工作。 Bell电话实验室工作。
《信号与系统实验》信号的采样与恢复(抽样定理)实验
《信号与系统实验》信号的采样与恢复（抽样定理）实验一、实验目的1、了解电信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。
2、验证抽样定理。
二、实验设备1、信号与系统实验箱2、双踪示波器三、原理说明1、离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号抽样而得。
抽样信号f s(t)可以看成连续f(t)和一组开关函数s (t)的乘积。
s (t)是一组周期性窄脉冲，见实验图5-1，T s(t)称为抽样周期，其倒数f s(t)= 1/T s称为抽样频率。
图5-1 矩形抽样脉冲对抽样信号进行傅立叶分析可知，抽样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的信号频率。
平移的频率等于抽样频率f s(t)及其谐波频率2f s、3f s》》》》》》。
当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度(sinx)/x规律衰减。
抽样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。
2、正如测得了足够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把一系列数据点连起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复到原信号。
只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率f n的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出可以得到恢复后的原信号。
3、但原信号得以恢复的条件是f s 2，其中f s为抽样频率，为原信号占有的频带宽度。
而f min=2 为最低抽样频率又称“柰奎斯特抽样率”。
当f s<2 时，抽样信号的频谱会发生混迭，从发生混迭后的频谱中我们无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。
在实际使用中，仅包含有限频率的信号是及少的，因此即使f s=2 ，恢复后的信号失真还是难免的。
图5-2画出了当抽样频率f s>2 （不混叠时）f s<2 （混叠时）两种情况下冲激抽样信号的频谱。
t f(t)0F()t 0m ωm ω-(a)连续信号的频谱Ts t 0f s (t)F()t0m ωm ω-s ω-s ω（）(b)高抽样频率时的抽样信号及频谱 不混叠图5-2 冲激抽样信号的频谱实验中f s >2 、f s =2 、f s <2 三种抽样频率对连续信号进行抽样，以验证抽样定理——要使信号采样后能不失真地还原，抽样频率f s 必须大于信号频率中最高频率的两倍。
信号的抽样与恢复(抽样定理)
信号的抽样与恢复（抽样定理）信号的抽样和恢复是数字信号处理中的基本操作。
它是将连续时间信号（模拟信号）转化为离散时间信号（数字信号）的过程，也是将数字信号转化为连续时间信号的过程。
抽样定理是信号的抽样和恢复中一个十分重要的定理，它的证明也是数字信号处理中的一个重要课题。
一、信号的抽样在信号处理中，可以通过对连续时间信号进行离散化处理，使其转化为离散时间信号，便于数字处理。
抽样是指在每隔一定的时间间隔内对连续时间信号进行采样，得到一系列离散的采样值。
抽样操作可以用如下公式进行表示：x(nT) = x(t)|t=nT其中，x(t)是原始连续时间信号，x(nT)是在时刻nT处采样得到的值，T为采样周期。
具体来说，采样过程可以通过模拟信号经过一个采样和保持电路，将连续时间信号转换为离散信号的形式。
这里的采样周期越小，采样得到的离散信号的数量就越多，离散信号在时间轴的表示就越密集。
抽样后得到的信号形式如下：二、抽样定理抽样定理又称为奈奎斯特定理，是数字信号处理中的基础理论之一。
它指出，如果连续时间信号x(t)的带宽为B，则在抽样周期为T时，可以恰好通过抽样重建出原始信号x(t)，当且仅当：T ≤ 1/(2B)即抽样周期T应小于等于原始信号的最大频率的倒数的一半。
这个定理的物理意义是，需要对至少每个周期内的信号进行采样，才能够恢复出连续信号。
如果采样周期过大，将会丢失信号的高频成分，从而无法准确重建原始信号。
抽样定理说明了作为采样频率的一个下限值2B，因为将采样频率设置为低于此值会失去信号的唯一信息（高频成分）。
当采样频率等于2B时，可以从这些采样值恢复出信号的完整频率谱，即避免了信息损失。
三、信号的恢复当原始信号被采样后，需要对采样得到的离散信号进行恢复，以便生成一个趋近于原始信号的连续信号。
采样定理的证明告诉了我们如何确保在扫描连续信号的采样点时，可以正确地还原其原始形式。
例如，可以通过插值的方式将采样点之间的值计算出来，从而恢复出连续时间信号。
信号与系统 §4.9 取样定理
1
o Ts fs(t)
o Ts
F(j ) A
t (a)
－ m o
m
( )
t
－
(b)
o
A Fs(j ) Ts
t
－
－ m o
m
(c)
■
第5页
时域理想抽样的傅立叶变换
f (t)
FT
F( j )
FT
相乘
Fs (
j )
1 TS
F[ j(
n
n )]
1
2
相卷积
TS (t) (t nTS ) n
fs (t) f (t) s(t)
f(t)
• 我们一般研究均匀取样：
各脉冲间隔的时间相同，
称为均匀取样。
• Ts 称为取样周期。
0
t
• fs 称为取样频率。
• 取样信号的频谱：
Fs
j
1
2
F j
S j
■
第3页
取样
量化 编码
信道 解码 保持 滤波
连续 信号
离散 信号
数字 信号
■
第4页
f (t)
时域卷积定理：
fs (t) f (nTs ) (t nTs )
n
h(t )
m
Sa(mt )
f (t ) f s (t ) * h(t )
m n
f
(nTs )Sa[m (t
nTs )]
■
第9页
f s (t )
FT
Fs ( j ) 主频带
0 Ts
t
s m
m s
h(t) m
FT
Ts 0 Ts
信号的取样取样定理信号的恢复
T
2
T
…
延拓分量 频谱混叠
h
s， 2
o o
s s
SXˆ(ja( j) )
2 2
s s
s为折叠频率 抽样后不失真2还原出原信号，抽
2 T
… 样频率必须大于等于两倍原信号
o
ss
XXˆˆ aa (( jj ))
2 ss … …
最高h 频 率2 s分，量。即 s 2h
s为折叠频率 2
o
s
2 s
h Nyquist频率
2
Tk ( k s) sk ( k s)
8
P (t)
...
...
…
P( j)
s
2 T
s
…
0T t
2s s
0
s 2s
9
X ˆa(j )21 Xa(j )P(j )
1
2
2
T
( ks ) X a ( j)
k
1
T
X a ( j ) ( ks )d
k
1
T k
X a ( j ) ( ks )d
根据冲激函数的性质： X ˆa(j )T 1k Xa(jjk s)
结论：连续时间信号的取样，频谱幅度乘以 1
并且周期延拓其周期为
2
T
s
T
，
10
－ s
…
－ －
s s
… － ss
… …
－ s
…
2
T
三、香农取样定理
o
s
2 s
S(j )
2Xa(j )
1 fs T
p(t)
T
2
2.实际抽样与理想抽样 xa(t)xˆa(t)
2-2 连续时间信号取样及取样定理
m(t)
抽样的原理图：
× ms(t)
δT(t)
时域上： 波形和冲激序列相乘，得到一系列时间上离散的抽样点。
x'(t) xa (t) p(t)
因为 p (t) (t nT ) n
所以
x'(t) xa (t) p(t) xa (t) (t nT ) n
(t
n
nT )
1 T
e
m
jm 2 .t T
它的频域表达式为：
P ( j) F[ p (t)]
p
(t)e jt dt
1 T
m
ms
频谱图：
接下来分析理想取样信号x‘（t）的频谱： 即x‘（t）的傅里叶变换：
xa (nt) (t nT ) n
频域上：先看冲激函数序列pδ(t)的时域表达式
pδ(t)的傅氏级数展开：
jm 2 .t
p (t) (t nT ) Cme T
n
m
其中fs=1/T为取样频率；Ωs=2π/T为取样角频率 由傅氏级数定义得：
3、抽样定理的证明
Xa(t)
× X’（t）…… X’（t） LPF
Xa(t)
pδ(t)
h（t） H(ω)
发端
收 端？
入端抽样的时、频域图形
X(f)xa(t)δT(t) t0Ts 2Ts 3Ts
x‘(t)
-fH δT(f)
0 fH
－fS
0
fS
X’(f)
t
0
§3.6 信号抽样与抽样定理(信号抽样,时域抽样定理,连续时间信号的重建 )
一、信号抽样
信号抽样也称为取样或采样，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号 f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号 称为抽样信号，用 fs (t) 表示。
f (t)
o
t
p(t)
o TS
t
fs (t)
o TS
t
一、信号抽样
抽样的原理方框图:
Pn
E
Ts
Sa( ns
2
)
则抽样信号的频谱为
Fs ()
E
Ts
Sa( ns
n
2
)F (
ns )
在矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复，但在重复过
程中，幅度不再是等幅的，而是受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系
数 的加权。
一、信号抽样
f (t)
o
p(t)
t
E
o Ts
t
fs (t)
相
乘
o Ts
一、信号抽样
假设原连续信号 f (t)的频谱为 F(ω)，即 f (t) F ()
抽样脉冲 p (t) 是一个周期信号，它的频谱为
p(t) Pne jns t P() 2 Pn ( ns )
n
n
其中，s
2
Ts
为抽样角频率，Ts
为抽样间隔 ，
f频 谱s 谱以T是抽1s 原样为连角抽续频样信率频为号率的间，频隔
会相互重叠。这样，抽样信号 fs (t) 保留了原连续信号f (t)的全部信息， 完全可以用 fs (t) 唯一地表示 f (t) ，或者说， f (t)完全可以由恢复出 fs (t) 。 如果 s 2m ，那么原连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频
信号抽样及抽样定理
（一）信号抽样信号抽样是利用抽样脉冲序列)(t p 从连续信号)(t f 中抽取一系列的离散值，通过抽样过程得到的离散值信号称为抽样信号，记为)(t f s 。
从数学上讲，抽样过程就是信号相乘的过程，即)()()(t p t f t f s ∙=因此，可以使用傅里叶变换的频域卷积性质来求抽样信号)(t f s 的频谱。
常用的抽样脉冲序列有周期矩形脉冲序列和周期冲激脉冲序列。
上式表明，信号在时域被抽样后，它的频谱是原连续信号频谱以抽样角频率为间隔周期的延拓，即信号在时域抽样或离散化，相当于频域周期化。
在频谱的周期重复过程中，其频谱幅度受抽样脉冲序列的傅里叶系数加权，即被n P 加权。
可以看出，)(ωs F 是以s ω为周期等幅地重复。
（二）抽样定理 如果)(t f 是带限信号，带宽为m ω，则信号)(t f 可以用等间隔的抽样值来唯一表示。
)(t f 经过抽样后的频谱()ωs F 就是将)(t f 的频谱()ωF 在频率轴上以抽样频率s ω为间隔进行周期延拓。
因此，当m s ωω2≥时，周期延拓后频谱()ωs F 不会产生频率混叠；当m s ωω2<时，周期延拓后频谱()ωs F 将产生频率混叠。
通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率)2,2(2πωπωm m s s m s f f f f ===称为奈奎斯特频率，把最大允许的抽样间隔ms s f f T 211==称为奈奎斯特间隔。
（三）信号重建 抽样定理表明，当抽样定理小于奈奎斯特间隔时，可以使用抽样信号唯一表示原信号，即信号的重建。
为了从频谱中无失真的恢复原信号，可以采用截止频率为m c ωω≥的理想低通滤波器。
上式表明连续信号可展开为抽样函数()t Sa 的无穷级数，该级数的系数为抽样值。
利用MATLAB 中的函数tt t c ππ)sin()(sin =来表示()t Sa ，所以可获得由()s nT f 重建()t f 的表达式，即()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+∞=-∞=s c n n s c s nT t c nT f T t f πωπωsin。
交流信号的取样和处理原理
交流信号的取样和处理原理交流信号的取样和处理原理是指对交流信号进行适当的取样和处理，以便进行数字化处理或其他相关应用。
交流信号是一种变化频率和振幅的信号，比如音频信号和电力系统中的电压信号。
为了进行数字化处理，需要将交流信号转换成离散的数字信号，并进行相应的处理。
下面就交流信号的取样和处理原理进行详细的解释。
1. 取样原理：取样原理是指将连续的交流信号转换为离散的数字信号。
取样是通过周期性地采集信号的数值来进行的。
根据奈奎斯特定理，采样频率必须是信号中最高频率的两倍以上，才能保证完整地还原出原始信号。
取样过程中，将连续的信号在一定的时间间隔内测量取样，形成离散的样本序列。
2. 取样定理：取样定理是取样原理的数学表述，也称为奈奎斯特定理。
奈奎斯特定理规定，对于一个具有有限带宽的连续信号，如果采样频率高于信号带宽的两倍以上，那么从离散样本中可以恢复出完整的原始信号。
具体而言，取样定理表述为，信号的最高频率为fm，采样频率为fs，则fs >= 2 * fm。
3. 取样率的选择：取样率的选择是根据信号的频率内容来确定的。
如果信号的频率范围较广，包含较高的频率分量，就需要选择较高的取样率，以充分采样信号的高频成分。
否则，高频部分将发生失真，无法准确还原原始信号。
因此，取样率的选择需要根据实际情况进行权衡。
4. 取样频率与抽样定理：取样频率是指每秒钟进行的采样次数，与抽样定理有密切关系。
抽样定理是对取样定理的进一步解释，它表明采样频率应满足"取样频率= 信号频率×采样时间"。
如果取样频率低于抽样频率，将导致采样信号中缺失频率成分，从而无法准确恢复原始信号。
5. 信号处理原理：在取样完成后，需要对采样信号进行处理。
信号处理的目的是为了提取出信号中所需要的信息，或者对信号进行进一步的处理和分析。
信号处理包括滤波、采样值的编码、压缩、频谱分析等步骤。
其中，滤波是为了去除掉信号中不需要的频率成分，使得待处理的信号更加纯净。
4_9抽样定理
注
[注] 注 a. 定理指的是理想状态: 定理指的是理想状态: 理想低通滤波器. 1. 理想低通滤波器. 实际采样时会有误差. 2. 实际采样时会有误差. 3. f (t ) = Ts
ωc
π
n = ∞
有无穷项. ∑ f (nT ) Sa[ω (t nT ) ] 有无穷项.
三,频域取样定理
频域取样定理: 一个在时域区间( tm,tm )以外为0的有限时间信号f ( t )的 频谱函数F ( jω ),可唯一地由其在均匀频率间隔f s ( f s < 上的样点值F ( jnω s ) 确定. nπ 1 F ( jω ) = ∑ F j Sa (ω tm nπ ),式中tm = tm 2 fs n =∞
则h ( t ) =
ωc Sa (ω c t ) Ts g 2ω (ω ) π
t ga = gab(t ) b
π ωc ω s t ω t Sa = Sa s ωc π 2 2
∞ n =∞ s
fs (t ) = f (t ) s (t ) = f (t )
∑ δ ( t nT ) = ∑ f ( nT ) δ ( t nT )
f (t )
fs (t )
A/ D
量化编码
p(t )
f (n)
数字 滤波器
g(n)
D/ A
g(t )
一,信号的取样 二,时域取样定理
一,信号的取样
乘法器
f (t )
f S (t )
s ( t ):取样脉冲序列
fs(t) 取样信号 T 取样周期 s 1 fs = 取样率 T s ωs 取样角频率
信号取样平均实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解信号取样平均原理，掌握信号取样平均方法。
2. 分析信号取样平均对信号的影响，了解其优缺点。
3. 通过实验验证信号取样平均的可行性。
二、实验原理信号取样平均是一种信号处理技术，通过对连续信号进行取样、平均处理，实现对信号的平滑处理。
其原理如下：1. 信号取样：将连续信号在一定时间间隔内进行取样，得到一系列离散的采样值。
2. 信号平均：对采样得到的离散信号进行平均处理，得到平滑后的信号。
信号取样平均的方法有：1. 简单平均法：将连续信号在一定时间间隔内进行取样，得到一系列离散的采样值，然后对采样值进行平均。
2. 加权平均法：对采样值进行加权处理，然后对加权后的采样值进行平均。
三、实验器材1. 信号发生器2. 示波器3. 信号分析仪4. 计算机及信号处理软件四、实验步骤1. 将信号发生器输出信号连接到示波器上，观察信号波形。
2. 将信号发生器输出信号连接到信号分析仪上，观察信号频谱。
3. 设置信号发生器输出信号为正弦波，频率为f0，幅度为A。
4. 将信号发生器输出信号连接到计算机信号处理软件上，进行信号取样平均处理。
5. 观察信号处理软件中处理后的信号波形和频谱。
6. 对比分析处理前后的信号波形和频谱，分析信号取样平均对信号的影响。
五、实验结果与分析1. 信号波形分析实验结果表明，经过信号取样平均处理后，信号波形变得更加平滑，波动幅度减小。
这是因为取样平均可以消除信号中的高频噪声，使信号更加平稳。
2. 信号频谱分析实验结果表明，经过信号取样平均处理后，信号频谱中的高频成分减小，低频成分增大。
这是因为取样平均可以消除信号中的高频噪声，使信号频谱更加集中。
3. 信号取样平均的优缺点优点：（1）可以消除信号中的高频噪声，使信号更加平稳；（2）可以降低信号处理复杂度。
缺点：（1）会降低信号采样频率，增加信号处理时间；（2）对信号进行平均处理，可能损失部分信号信息。
六、实验结论1. 信号取样平均是一种有效的信号处理技术，可以消除信号中的高频噪声，使信号更加平稳。
信号抽样与抽样定理
（1）信号在时域周期化，周期为 T ，则频谱离散化，
抽样间隔为 ω0＝2π/T。 （2）信号在时域抽样，抽样间隔为 TS ，则频谱周期化，
重复周期为 ωS＝2π/TS 。
四、频域抽样与频域抽样定理
矩形单脉冲信号的频谱 F ( ) E Sa 0
2
m0 Sa 2 m
( ns m0 )
四、频域抽样与频域抽样定理
f 0 t
E
F0 ( )
E
2
0
a
E
2
t
2
0
2
f1 t
b
F1
E 0
T 0
2
T
c
E
2
t
2
0
2
d
f s t
E 0 Ts
T
Fs
二、时域抽样定理
时域抽样定理：一个频谱受限的信号 f (t) ，如果频谱只占据 , m m
的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的抽样值
样间隔 Ts 不大于 2f
1
m
f (nTs ) 唯一地表示，只要抽
，其中 f m为信号的最高频率，
或者说，抽样频率 f s 满足条件
通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率 f s 2 f m 称为奈奎斯特频率， 1 1 把最大允许的抽样间隔 Ts 称为奈奎斯特间隔 。 fs 2 fm
如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失
真地由抽样信号恢复原连续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精 辟的回答。
抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十 分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、 数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么 可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。
信号与系统-取样定理..
2018/10/8
信号信息与处理 取样定理
22
连续时间信号的离散时间处理
设计一个连续时间带限微分器的离散时间实现
d t h t 微分器单位冲激响应： dt j , c 微分器频率响应： H c j 0 , c
c
Hd e
关键问题
一种解决思路
利用零阶保持电路替代冲激串，即在t=nT取 样后，该幅度一直保持到t=(n+1)T 必须解决零阶取样保持电路的恢复问题
信号信息与处理 取样定理 10
2018/10/8
零阶保持取样
傅立叶变换过程分析
x t
x t
零阶 保持
x0 t
x0 t
x t
若x(t)是一个带限信号，满足| ω |>ωM时， X(jω)=0.则当ωs>2ωM，其中ωs=2π/T，则 x(t)可以唯一的用样本x(nT)所确定,n取遍 所有的整数。 2ωM称为奈奎斯特频率 构造方法： 产生一个周期脉冲串，冲激串幅度 为取样样本值；将冲激串序列通过一个 幅度为T,截止频率大于ωM，小于2ωM 低通滤波器，该滤波器输出就是x(t)
c
p t
xp t p t x t
xd [n]
0 T 2T
xp t p t x t
xd [n]
0 T 2T
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信号信息与处理 取样定理
18
连续时间信号的离散化处理频谱变换
1
X c j
xp t
n
x nT t nT
n c
jn
§4.9 取样定理
1 , tm 2 fs
▲
■
第 11 页
信号的数字处理
信号的取样是对信号进行数字处理的第一个环节。 1、数字处理过程：
f (t )
fs (t )
A/D
f (k )
量化编码
数字 滤波器
y (k )
D/ A
y (t )
脉冲序列
s(t )
原理 2、量化编码过程：脉冲编码调制PCM 优缺点
▲ ■ 第 12 页
▲ ■ 第 10 页
频域取样定理
根据时域与频域的对偶性，可推出频域取样定理: 一个在时域区间（-tm，tm)以外为0的时限信号f(t) 的频谱函数F(j)，可唯一地由其在均匀频率间隔fs [fs≤1/(2tm)]上的样值点F(jns)确定。
n F (j ) F (j ) Sa( t m n ) tm n
连续信号
f t
T t
S
取样信号
f s t
f(t)←→F(jω) (–ωm< ω<ωm)
s(t)←→S(jω) fs(t)←→Fs (jω)
s s s
取样脉冲
s(t ) TS (t )
n
(t nT ) S (j) ( n )
理想低通滤波器：
Ts 频域： H j 0
c c
时域： ht Ts
c
π
Sa c t
t
推导
c f t f s (t ) ht f (nTs ) (t nTs ) Ts Sa c n π
一个频谱在区间（-m，m)以外为0的带限信号 f(t)，可唯一地由其在均匀间隔Ts [Ts≤1/(2fm)] 上的样 点值f(kTs)确定。
信号采样公式
信号采样公式信号采样是数字信号处理中的一个重要概念，它指的是将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。
在实际应用中，我们需要将模拟信号转换为数字信号进行处理，而采样是这个过程中的第一步。
本文将介绍信号采样的基本概念、采样定理以及采样公式等内容。
一、信号采样的基本概念信号采样是指在时间轴上对连续时间信号进行离散化处理，将连续时间信号转换为离散时间信号。
在采样过程中，我们需要按照一定的时间间隔对连续时间信号进行取样，得到一系列离散时间信号点。
这些离散时间信号点可以用来表示原始连续时间信号的近似值。
二、采样定理在进行信号采样时，我们需要遵循一定的采样定理，以保证采样后的数字信号能够准确地表示原始模拟信号。
著名的采样定理是奈奎斯特采样定理，它指出：如果一个连续时间信号的带宽为B，则在进行采样时，采样率应当不小于2B。
也就是说，采样频率应当大于等于信号最高频率的两倍。
三、采样公式在进行信号采样时，我们需要按照一定的时间间隔对连续时间信号进行取样。
这个时间间隔称为采样周期，用Ts表示。
采样周期与采样频率之间有如下关系：Fs = 1/Ts其中Fs表示采样频率。
在进行离散化处理时，我们需要对连续时间信号在每个采样周期内进行取样，并将取样结果转换为数字信号。
这个过程可以用如下公式表示：x(n) = x(nTs)其中x(n)表示第n个采样周期内得到的数字信号值，x(t)表示原始连续时间信号在时刻t的取值。
四、总结信号采样是数字信号处理中的一个重要概念，它将连续时间信号转换为离散时间信号，为后续数字信号处理提供了基础。
在进行信号采样时，我们需要遵循一定的采样定理以及采样公式，以保证采样后的数字信号能够准确地表示原始模拟信号。
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ω
E Fs(jω)
Ts
0 图4-1
t 脉冲取样的时域波形
ω 图4-2 脉冲取样的频谱
取样信号的频谱Fs(jω)与连续信号的频谱F(jω) 的关 系为 ：
Fs ( j) PnF[ j( ns )] n
上式表明，取样信号的频谱Fs(jω)是被取样信号的频谱
F(jω) 以取样频率ωs为间隔周期延拓而得到的，在周期延 拓过程中幅度被P(n)加权。当取样脉冲p(t)是周期矩形脉冲
(2)、将取样频率调为6KHZ，其他条件不变，观察恢复 后的波形；
(3)、将取样频率调为12KHZ，其他条件不变，观察恢复 后的波形；
将原理图中的开关K1，K2接2，然后重复(1)至(3)的操 作。
六、实验设备：
1、双踪示波器
1台
2、函数发生器
1台
3、稳压电源
1台
4、实验板
1块
七、实验报告要求：
时，取样信号的频谱为：
Fs (
j)
E
Ts
n
Sa( n
2
)F[
j(
ns )]
2、取样信号在一定的条件下可以恢复出原信号。由取
样定理可知，要恢复出原信号首先必须满足fs≥2fm，其中fs 为取样频率，fm为原信号的最高频率分量；在满足取样定理 的前提下，用一截止频率为fc的低通滤波器滤除取样信号中 的高频分量则可得到原信号。
fs(t)=f(t)*p(t)
若取样脉冲序列 p(t)是以Ts为周期的窄脉冲串，称为脉
冲取样，Ts的倒数fs为取样频率。 则f(t),p(t),fs(t)的波
形及其频谱图分别如图4-1,4-2所示：
1 F(jω)
f(t)
0 p(t)
τ
ω
t
-ωm ωm
Eτωs
p(jω)
…
0
Ts
fs(t)
…
t
-ωs ωs
四、实验原理图：
稳压电源
+15v -15v f(t)
FO[f’(t)]
K2
信 号
3
fs(t)
p(t) 8
5 6
2 L2 2
C/2
C/2
示 波 器
源
CH
Gnd
Gnd
五、实验内容：
1、观察取样信号的波形：
(1)、将信号源的一路输出调为三角波作为被取样信号， 频率调为500HZ，另一路调为窄脉冲，频率调为1KHZ；
(2)、按原理图将两路信号分别加到实验板上的f(t)及 p(t) 端，用示波器同使观察f(t),fs(t)的波形；
(3)、将窄脉冲的频率（取样频率）改变为3KHZ，6KHZ 再次观察f(t),fs(t)的波形。
2 、验证取样定理与信号恢复： 首先将原理图中的开关K1，K2接1，然后进行下面的操作；
(1)、将信号源输出的三角波频率调为1KHZ，取样频率 调为3KHZ，并将取样信号fs(t)接低通滤波器的输入端 (LPFi), 示波器接LPFO端，观察恢复后的波形；
实验四：信号的取样和取样定理
一、实验目的：
1、掌握对连续时间信号进行取样的方法，了解取样信 号的频谱的特点；
2、验证取样定理。
二、实验原理：
1、所谓取样信号是对连续时间信号每隔一定的时间抽 取一次函数值而得到的一离散时间信号，取样信号fs(t)可 以表示成连续时间信号f(t)与取样脉冲序列p(t)的乘积，即
3、为了实现对连续信号的取样和取样信号的复原，可 以采用图4-4的方案。
f(t) 前置低通滤 波器
取样器
fs(t)
恢复滤 波器
f′(t)
图4-4
p(t)
信号的取样与恢复
前置低通滤波器用来防止原信号频谱过宽而造成取样后
信号频谱的混叠，如果实验中采用的信号的频带较窄，则可
不用此滤波器；取样器有多种实现电路，本实验中采用运算
其中：fm≤fc≤fs-fm 当取样频率不满足取样定理，即fs≤2fm时，取样信号的 频谱会发生混叠，如图4-3所示：
Fs(jω)
-ω．s． ．ω．s
ω
-ωm ωm
图4-3 频谱的混叠
此时，原信号无法恢复。 然而，仅包含有限频率的信号极少，而包含较多频率的
信号即使在满足取样定理时，恢复后发生失真亦是难免的。
放大器组成模拟乘法器；恢复滤波器为一低通滤波器，可用
有源的也可用无源的，本实验中采用简单的π型ＬＣ低通滤
波器，如图4-5所示：
其截止频率
fc
1 LC
，标称特性阻抗
RLd
L ，若给定 C
RLd和 fc 就可按下式计算出元件的数值。
L RLd
fc
C 1
fc RLd
L
C/2
C/2
图4-5 π型低通滤波器
1、绘出实验内容（1）中的f(t)和fs(t)的波形； 2、绘出实验内容（2）中三种不同取样频率下的f(t)和 f’(t)的波形；比较后得出结论。
三、实验前预习内容：
1、若连续时间信号为5KHZ的正弦波，取样脉冲p(t)为 Ts=40us的窄脉冲，试求出取样信号fs(t)的频谱；
2、设计一π型低通滤波器，截止频率为5KHZ,RLd为2KΩ； 3、若连续时间信号取频率为1kHZ的三角波，计算其有效 的频带宽度。该信号经重复频率为fs的周期脉冲取样后，若 希望通过低通滤波器后的信号失真较小，则取样频率和低通 滤波器的截止频率应分别取多少？试设计一满足上述要求的 低通滤波器。