2019届高考数学大一轮复习 第十一章 统计与统计案例 11.1学案 理 北师大版

§11.1随机抽样
最新考纲
考情考向分析
1.理解随机抽样的必要性和重要性．
2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样的方法. 在抽样方法的考查中，系统抽样，分层抽样是考查的重点，题型主要以选择题和填空题为主，属于中低档题.
1．抽样调查
(1)抽样调查
通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查．
(2)总体和样本
调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．
(3)抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点：
①迅速、及时；
②节约人力、物力和财力．
2．简单随机抽样
(1)简单随机抽样时，要保证每个个体被抽到的概率相同．
(2)通常采用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．
3．分层抽样
(1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
4．系统抽样
系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样．
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．( √)
(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( ×)
(3)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．( ×)
(4)系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样．( √)
(5)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．( ×)
(6)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( ×)
题组二教材改编
2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( ) A．总体B．个体
C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本
答案 A
解析由题目条件知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.
3．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为( )
A．33,34,33 B．25,56,19
C．20,40,30 D．30,50,20
答案 B
解析因为125∶280∶95＝25∶56∶19，
所以抽取人数分别为25,56,19.
4．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是( )
A．10 B．11 C．12 D．16
答案 D
解析从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，故选D.
题组三易错自纠
5．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( ) A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32
答案 B
解析间隔距离为10，故可能的编号是3,13,23,33,43.
6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．
答案 1 800
解析分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1 800件.
题型一简单随机抽样
1．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生，6名女生，则下列命题正确的是( )
A．这次抽样中可能采用的是简单随机抽样
B．这次抽样一定没有采用系统抽样
C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率
D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率
答案 A
解析利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D 均错误，故选A.
2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
78166572080263140702436997280198
32049234493582003623486969387481
A.08 B ．07 C ．02 D ．01 答案 D
解析 由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.
3．利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为1
3，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A.14
B.1
3 C.51
4 D.1027
答案 C 解析 由题意知9n －1＝13，得n ＝28，所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为1028＝5
14
，故选C.
思维升华 应用简单随机抽样应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
题型二 系统抽样
典例 (1)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示： 13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9 14 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 15 0
1
2
2
3
3
3
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 B
解析 由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]内的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．故选B.
(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14 答案 B
解析 由84042＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为
720－480
20＝240
20＝12. 引申探究
1．若本例(2)中条件不变，若号码“5”被抽到，那么号码“55”________被抽到．(填“能”或“不能”) 答案 不能
解析 若55被抽到，则55＝5＋20n ，n ＝2.5，n 不是整数．故不能被抽到．
2．若本例(2)中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________． 答案 28
解析 因为在编号[481,720]中共有720－480＝240人，又在[481,720]中抽取8人， 所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为
84030＝28.
思维升华 (1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．
(2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．
(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定． 跟踪训练 将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为( ) A ．26,16,8 B ．25,17,8 C ．25,16,9 D ．24,17,9
答案 B
解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N ＋)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤103
4，
因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得103
4<k ≤42，因此第Ⅱ营区
被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.
题型三 分层抽样
命题点1 求总体或样本容量
典例 (1)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．12 D ．13 答案 D
解析 ∵360＝n 120＋80＋60
，∴n ＝13.
(2)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n 等于( ) A ．54 B ．90 C ．45 D ．126 答案 B
解析 依题意得3
3＋5＋7×n ＝18，解得n ＝90，即样本容量为90.
命题点2 求某层入样的个体数
典例 (1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师的人数为( )
A.90 B ．100 C ．180 D ．300 答案 C
解析 由题意得抽样比为3201 600＝15
，
∴该样本中的老年教师的人数为900×1
5
＝180.
(2)(2017·重庆一诊)我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( ) A ．104人 B ．108人 C ．112人
D ．120人
答案 B
解析 由题意可知，这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×8 1008 100＋7 488＋6 912＝300×8 100
22 500＝108，故选B.
思维升华 分层抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
(3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．
跟踪训练 (1)(2017·南昌一模)某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人，高二1 200人，高三n 人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n 等于( ) A ．860 B ．720 C ．1 020 D ．1 040
答案 D
解析 分层抽样是按比例抽样的，
所以81× 1 2001 000＋1 200＋n
＝30，解得n ＝1 040.
(2)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________．
答案 200,20
解析 该地区中小学生总人数为 3 500＋2 000＋4 500＝10 000，
则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20.
五审图表找规律
典例 (12分)某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
人数管理技术开发营销生产共计
老年40404080200
中年80120160240600
青年40160280720 1 200
共计160320480 1 040 2 000
(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
(3)若要抽20人调查对天津全运会举办情况的了解，则应怎样抽样？
抽取40人调查身体状况
↓(观察图表中的人数分类统计情况)
样本人群应受年龄影响
↓(表中老、中、青分类清楚，人数确定)
要以老、中、青分层，用分层抽样
↓
要开一个25人的座谈会
↓(讨论单位发展与薪金调整)
样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响
↓(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚，人数确定)
要以管理、技术开发、营销、生产人员分层，用分层抽样
↓
要抽20人调查对天津全运会举办情况的了解
↓ 可认为全运会是大众体育盛会，一个单位人员对情况了解相当)
将单位人员看作一个整体
↓(从表中数据看总人数为2 000)
人员较多，可采用系统抽样
规范解答
解(1)按老年、中年、青年分层用分层抽样法抽取，[1分]
抽取比例为402 000＝1
50
.[2分]
故老年人、中年人、青年人各抽取4人，12人，24人．[4分] (2)按管理、技术开发、营销、生产分层用分层抽样法抽取，[5分] 抽取比例为252 000＝1
80
，[6分]
故管理、技术开发、营销、生产各部门分别抽取2人，4人，6人，13人．[8分] (3)用系统抽样，
对全部2 000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1 900，共20人组成一个样本．
[12分]
1．(2018·广东茂名月考)在一个容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为
p 1，p 2，p 3，则( )
A ．p 1＝p 2<p 3
B ．p 2＝p 3<p 1
C ．p 1＝p 3<p 2
D ．p 1＝p 2＝p 3
答案 D
解析 由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D. 2．打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本，则这种抽样方法是( ) A ．系统抽样 B ．分层抽样
C ．简单随机抽样
D ．非以上三种抽样方法 答案 A
解析 符合系统抽样的特点，故选A.
3．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( ) A.110，110 B.310，15 C.15，310 D.310，310 答案 A
解析 在抽样过程中，个体a 每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体
a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为1
10
，故选A.
4．将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个样本编号为( ) A ．700 B ．669 C ．695 D ．676 答案 C
解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号为015，
分段间隔数k ＝N n ＝1 000
50
＝20，由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差
数列，则抽取的第35个样本编号为15＋(35－1)×20＝695.
5．某工厂的一、二、三车间在11月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等差数列，则二车间生产的产品数为( ) A ．800 B ．1 000 C ．1 200 D ．1 500
答案 C
解析 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的13，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占产品总数的1
3，所以二车间生产
的产品数为3 600×1
3
＝1 200.故选C.
6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．15 答案 C
解析 由系统抽样的特点知，抽取号码的间隔为960
32＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，
939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人． 7．(2018·湖南怀化模拟)某电视台为了调查“爸爸去哪儿”节目的收视率，现用分层抽样
的方法从4 300人中抽取一个样本，这4 300人中青年人1 600人，且中年人人数是老年人人数的2倍，现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中青年人有320人，则抽取的样本中老年人的人数为( ) A ．90 B ．180 C ．270 D ．360 答案 B
解析 设老年人有x 人，从中抽取y 人，则1 600＋3x ＝4 300，得x ＝900，即老年人有900人，则9001 600＝y 320，
得y ＝180.故选B.
8．(2017·雅礼中学月考)某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1 000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将1 000名学生从1到1000进行编号，求得间隔数k ＝20，即分50组每组20人．在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应抽取的号码是( ) A ．177 B ．157 C ．417 D ．367 答案 B
解析 根据系统抽样的特点可知，抽取出的编号成首项为17，公差为20的等差数列，所以第8组应抽取的号码是17＋(8－1)×20＝157.
9．(2017·江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件． 答案 18
解析 ∵样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝350，
∴应从丙种型号的产品中抽取3
50
×300＝18(件)．
10．(2017·潍坊模拟)某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：
其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的2
5.为了了解学生对本次活动的满
意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人
数为________． 答案 36
解析 根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×3
5＝120，所以从高二年级参与跑步的
学生中应抽取的人数为120×3
2＋3＋5
＝36.
11.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．
答案 37 20
解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件得，200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x 人，则40200＝x
100
，解得x ＝20.
12．某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取__________名学生． 答案 60
解析 根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为
4
4＋5＋5＋6
×300＝60.
13．(2017·宁夏中卫二模)某市教育主管部门为了全面了解2017届高三学生的学习情况，决定对该市参加2017年高三第一次全省统一考试(后称统考)的32所学校进行抽样调查．将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小编号是( ) A ．3 B ．1 C ．4 D ．2 答案 A
解析 根据系统抽样的特点可知，总体分成8组，组距为32
8＝4，若抽到的最大编号为31，
则最小编号是3.
14．某校共有学生2 000名，各年级男、女学生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.
一年级 二年级 三年级
女生 373 x
y 男生
377
370
z
答案 16
解析 由题意可知二年级女生有380人，那么三年级的学生人数应该是2 000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×2
8
＝16.
15．(2018·泉州质检)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( ) A ．36人 B ．30人 C ．24人 D ．18人 答案 A
解析 设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x ，x,3x ，由题意可得3x －x ＝12，x ＝6，
∴持“喜欢”态度的有6x ＝36(人)．
16．(2017·开封模拟)某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1人，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n .
解 总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量为n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n
，
分层抽样的比例是n 36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n
3，技工人数
为n 36×18＝n
2
，
所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18. 当样本容量为(n ＋1)时，总体容量剔除以后是35人，
系统抽样的间隔为35
n＋1，因为
35
n＋1
必须是整数，
所以n只能取6，即样本容量n＝6.。