安徽省合肥168中学14—15学年上学期高二期中考试数学(理)(附答案)

合肥一六八中学2014-2015学年第一学期高二年级期中考试
数学(理科)试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题卷的表格里。

） 1. 下列命题正确的是( )
A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
D ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 答案：D
2. 设βα、是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( ) A ．若βαα⊥⊥,l ，则β⊂l B ．若βαα//,//l ，则β⊂l C ．若βαα//,⊥l ，则β⊥l D ．若βαα⊥,//l ，则β⊥l 答案：C
3. 已知直线l ：01=++ny mx 平行于直线m ：0534=++y x ，且l 在y 轴上的截距为13，
则n m ,的值分别为( )
A ．4,3
B ．－4,3
C ．－4，－3
D ．4，－3 答案：C
4. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( ) A ．28＋65 B ．30＋6 5 C ．56＋12 5 D ．60＋ 125
答案：B
5.经过点P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为
( )
A.x ＋2y －6＝0
B.2x ＋y －6＝0
C.x －2y ＋7＝0
D.x －2y －7＝0
答案 B
A
E
B C
F A'B'
C'V V 1
2
第12题
6. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为( ) A.
π344 B. π9484 C. π4
81 D. π16 答案：B
7.已知10<<x ，10<<y ，则
22222222)1()1()1()1(y x y x y x y x -+-++-+-+++的最小值为( )
A.22
B. 2
C. 2
D.8
答案：A
8．如图，在三棱柱'''ABC A B C -中，若E 、F 分别 为AB 、AC 的中点，平面''EB C F 将三棱柱分成体积 为1V 、2V 的两部分，那么12:V V 为（ ） A ．3：2 B ．7：5 C ．8：5 D ．9：5 答案：B
9.设R m ∈，过定点A 的动直线0=+my x 和过定点B 的动直线03=+--m y mx 交于点),(y x P ，则||||PB PA +的取值范围是( ) A ．]52,5[ B ．]52,10[
C ．]54,10[
D ．]54,52[
答案：B
10．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a 、b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根，且0≤c≤1
8，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )
A.12，24
B.2，
22 C.2，1
2
D.22，1
2
答案：D
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

请将正确答案填在答题卷的相应位置。

）
11.直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________________. 答案 (－∞，－1
2)∪(0，＋∞)
12.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，
BC ，AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2，则原平面图形的面积为________________. 答案： 8 cm 2
13.已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示，其中四
边形ABCD 是边长为2 cm 的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为________cm 2. 答案：2 2
14.如图所示，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，则三棱锥D -ABC 的体积的最大值是________．
(第14题图) 答案：215
15.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点； ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；
④如果k与b都是有理数,则直线y kx b
=+经过无穷多个整点；
⑤存在恰经过一个整点的直线.
【答案】①③⑤
三、解答题(本大题共6题，计75分。

请将正确答案写在答题卷的相应位置)
16.(本题12分).已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH∥BD.
证明：,
EH FG EH ⊄面BCD，FG⊂面BCD
EH
∴面BCD
又EH ⊂面BCD，面
BCD面ABD BD
=，
EH BD ∴
H
G
F
E
D
B
A
C
17.(本题12分) 在ABC ∆中，BC 边上的高所在的直线的方程为210x y -+=，A ∠的平分线所在直线的方程为0y =，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．
17. 解：解直线210x y -+=和直线0y =的交点得(1,0)-，即 的坐标为 (1,0)-，
∴ 20
111
AB k -=
=+ ，又∵ x 轴为 BAC ∠的平分线， ∴ 1AC AB k k =-=- ，又∵直线210x y -+=为BC 边上的高，由垂直得， 2BC k =- ，设C 的坐标为(,)a b ，则
21,211
b b a a -=-=-+-， 解得 5,6a b ==- ，即 C 的坐标为 (5,6)-．
18.(本题12分)如图，在锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的菱形，且60∠=DAB ，
PA PD ==2,PB =,E F 分别是,BC PC 的中点.
（1） 证明：AD DEF ⊥平面 （2）求二面角P AD B --的余弦值.
解答：（1）证明：取AD 的中点G ，连结PG 、BG.
PA=PD ，∴AD ⊥PG.
在∆ABG 中， ∠GAB=060,AG=2
1，AB=1, ∴∠AGB=090,即AD ⊥GB.
又PG GB=G ，∴AD ⊥平面PGB ，从而AD ⊥PB.
,E F 分别是,BC PC 的中点，∴EF//PB ，从而AD ⊥EF.
又DE//GB ，AD ⊥GB ，∴AD ⊥DE,
DE EF=E, ∴AD DEF ⊥平面.
（2）由（1）知∠PGB 是所求二面角的平面角.在∆PGB 中，PG 2=4
7)2
1()2(22=-,BG=1⨯sin600=2
3,PB=2.
由余弦定理得cos ∠PGB=PB BG PG -+2
22=
7213
7244347-=⨯
⨯-+,
即所求二面角P-AD-B
的余弦值为7
-
19. (本题12分) 已知直线l ：33+=x y . (1)求点)3,5(P 关于直线l 的对称点'P 的坐标；
(2)求直线021=--y x l ：关于直线l 的对称直线2l 的方程。

(3)已知点)6,2(M ，试在直线l 上求一点N 使得||||NM NP +的值最小。

19. （1）设点P 的对称点为
),(b a P '，则
⎪⎩⎪⎨⎧++⋅=+-=⋅--3253231353
a b a b ，解得：⎩⎨
⎧=-=64b a ，即点P '的坐标为
)6,4(- （2）解方程组⎩⎨
⎧=+-=--03302y x y x 得
⎪⎩⎪⎨⎧
-=-=29
2
5y x ，即两直线
1
l 与
l 的交点坐标为
)29
,25(--
因为直线1
l 与2l 关于直线l 对称，所以直线2l 必过点
)29,25(-- 又由（1）可知，点
)
3,5(P 恰好在直线
1
l 上，且其关于直线
l 的对称点为
)6,4(-'P ，
所以直线2l 必过点
)6,4(-'P ，这样由两点式可得：
2
5425
29629+
-+
=++x y
即0227=++y x (3) )6,1(N
20. (本题13分)如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，
AC ，BC ，PB 的中点. (1)求证：DE ∥平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形；
(3)是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由. 20.解答
(1)证明 因为D ，E 分别是AP ，AC 的中点， 所以DE ∥PC.
又因为DE ⊄平面BCP ， 所以DE ∥平面BCP.
[3分]
(2)证明 因为D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点， 所以DE ∥PC ∥FG ， DG ∥AB ∥EF.
所以四边形DEFG 为平行四边形. 又因为PC ⊥AB ， 所以DE ⊥DG.
所以四边形DEFG 为矩形.
[7分] (3)解 存在点Q 满足条件，理由如下：
[8分]
连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点， 由(2)知，DF∩EG ＝Q ，
且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝1
2
EG .
分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN. 与(2)同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线交点为EG 的中点Q ， 且QM ＝QN ＝1
2
EG ，
所以Q 为满足条件的点.[13分]
21．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中,
PA ⊥ 底面,ABCD ,,60,AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=︒
,PA AB BC ==E 是PC 的中点．
（1）证明CD AE ⊥； （2）证明PD ⊥平面ABE ；
（3）求二面角A PD C --的正切值．
21. （1）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ∴PA ⊥CD
又AC ⊥CD ，AC ⋂PA=A
∴CD ⊥平面PAC ，又AE ⊂平面PAC
∴CD ⊥AE ………………（3分）） （2）证明：
∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ∴PA ⊥AB
又AD ⊥AB ，AD ⋂PA=A
∴AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ∴AB ⊥PD
由PA=AB=BC ，∠ABC=60o 则△ABC 是正三角形 ∴AC=AB ∴PA=PC
A
P
E
B
C
D
∵E 是PC 中点 ∴AE ⊥PC
由（1）知AE ⊥CD ，又CD ⋂PC=C ∴AE ⊥平面PCD ∴AE ⊥PD
又AB ⊥PD ，AB ⋂AE=A
∴PD ⊥平面ABE ………………（8分） （3）过E 点作EM ⊥PD 于M 点连结AM 由（2）知AE ⊥平面PCD ∴AM ⊥PD
∠AME 是二面角A-PD-C 的正切值 设
AC=a
AD PA a
PD ===
=在Rt ⊿AEM 中
PA AD AM PD AE EM ⋅=
===
==
==
tan AE AME EM ∠==== ………………14分。