2019-2020学年广东韶关高一上数学期末试卷

2019-2020学年广东韶关高一上数学期末试卷
一、选择题
1. 已知集合A ={−2,0, 1
2,−3}，B ={x|x ≥−2}，则A ∩B =( ) A.{0,1
2} B.{−2,0,1
2}
C.{−3,−2,0,1
2}
D.{1
2}
2. 函数f(x)=√x−3
lg x−1
的定义域是( ) A.[3, +∞) B.(10, +∞) C.(3, 10)∪(10, +∞) D.[3, 10)∪(10, +∞)
3. 下列说法正确的是( ) A.多面体至少有3个面
B.有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形
4. 如图，在三棱锥 P −ABQ 中，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH ，则AB 与GH 的位置关系是( )
A.平行
B.垂直
C.异面
D.平行或垂直
5. 已知函数f(x)=4x 2−kx −8在区间[5, 20]上单调递增，则实数k 的取值范围是( ) A.{40} B.[40, 160]
C.(−∞, 40]
D.[160, +∞)
6. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M ，N 分别为棱AA 1，BB 1的中点，过MN 作一平面分别交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )
A.MF//NE
B.四边形MNEF 为梯形
C.四边形MNEF 为平行四边形
D.A 1B 1//NE
7. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A.若α⊥β，m ⊂α，n//β，则m ⊥n B.若α // β，m ⊂α，n ⊂β，则m // n C.若m ⊥n ，m//α，n ⊂β，则α⊥β D.若m ⊥α，m // n ，n // β，则α⊥β
8. 已知定义在R 上的偶函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，且f(2)=0，则满足不等式f(x)x
>0的x 的取值范围为
( )
A.(0, 2)
B.(2, +∞)
C.(−∞, −2)∪(0, 2)
D.(−∞, −2)∪(2, +∞)
9. 如图，平面四边形ABCD 中，E ，F 是AD ，BD 中点，AB =AD =CD =2，BD =2
√2，∠BDC =90∘，将△ABD 沿对角线BD 折起至△A′BD ，使平面A′BD ⊥平面BCD.
则四面体A′BCD 中，下列结论不正确的是( ) A.EF//平面A′BC B.平面A ′CD ⊥平面A ′BD
C.异面直线EF 与A ′C 所成的角为90∘
D.四面体 A ′BCD 的体积为4
10. 已知函数f (x )={|log 2x|+1,x >0,
x +4,x ≤0,则y =f(f (x ))−3的零点个数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
二、填空题
若幂函数f(x)=x α的图象经过点(3, 81)，则实数α的值为________. 三、解答题
按要求完成下列各题. (1)计算： (278)
−1
3
+160.25−(√2÷√33
)6
；
(2)解不等式 log 2(x +2)<3．
如图是一个搭建在空地上的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO ，正六棱锥的高为 PO 1 ，且 PO =3PO 1,A 1B 1=2PO 1=4m ．
(1)求帐篷的表面积（不包括底面）；
(2)求帐篷的容积（材料厚度忽略不计）．
已知函数 f(x)=ax
x 2−1(a ∈R ，且a ≠0)的定义域为 [−12,1
2]． (1)判断f(x)的奇偶性；
(2)当 a >0 时，求证： f (x ) 在定义域内单调递减．
如图，在多面体ABCDEF 中， AF ⊥ 平面ABCD ，四边形ADEF 为菱形，四边形ABCD 为梯形，且AD//BC ，∠BAD =90∘，AB =AD =1，BC =2，M 为线段BD 的中点.
(1)求证：CE//平面AMF ；
(2)求平面AFM 将多面体ABCDEF 分成的两个部分的体积之比.
已知函数f(x)=log 2(x +2)，g(x)=−x 2−2x +a . (1)解不等式f(x)<4；
(2)设函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，若ℎ(x)在[2,6]上有零点，求a 的取值范围.
如图，在四棱锥 P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形， ∠PDB =90∘⋅∠PDC 为锐角，平面PCD ⊥ 平面ABCD ，点M 为PC 上一点.
(1)若 PA// 平面MBD ，求证：点M 为PC 的中点；
(2)求证：平面MBD ⊥平面PCD.
参考答案与试题解析
2019-2020学年广东韶关高一上数学期末试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∴ A={−2,0,1
2
,−3}，B={x|x≥−2}，
∴A∩B={−2,0,1
2
} .
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】
解：函数f(x)=√x−3
lg x−1
中，
令{x−3≥0,
lg x−1≠0,
x>0,
解得x≥3且x≠10，
所以函数f(x)的定义域是[3, 10)∪(10, +∞)．
故选D.
3.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
棱柱的结构特征
【解析】
根据棱柱的概念，可判断A的正误；结合三棱柱的特征可判断B的正误，显然，正方体、长方体都是棱柱；D 选项，若侧棱不与底面垂直，显然不是长方体；于是可得答案．
【解答】解：一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项A错误；选项B错误，反例如图;
选项C错误，反例如图,
上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；
根据棱柱的定义，知选项D正确.
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EF//AB，DC//AB，
所以EF//DC.
又因为EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，
所以EF//平面PCD.
又因为EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，
所以EF//GH .
又因为EF//AB，
所以AB//GH．
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
【解析】
根据二次函数的性质知对称轴x=k
8，在[5, 8]上是单调函数则对称轴不能在这个区间上，k
8
≤5，或k
8
≥8，解
出不等式组求出交集．
【解答】
解：根据二次函数的性质知对称轴x=k
8
，
在[5, 20]上单调递增，
∴k
8
≤5，
得k≤40.
故选C．
6.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 在▱AA1B1B中，AM=MA1，BN=NB1，
∴ AM//BN，MN//AB.
又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴ MN//平面ABC.
又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC=EF，
∴ MN//EF，
∴ EF//AB，
显然在△ABC中，EF≠AB，
∴ EF≠MN，
∴ 四边形MNEF为梯形.
故选B．
7.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
空间中平面与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m // n，或m，n异面；由α // β，m⊂α，n⊂β，可得m // n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m // n，则n⊥α，再由n // β可得α⊥β．
【解答】
解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n//β，则m，n也有可能平行，故A错误；
选项B，若α // β，m⊂α，n⊂β，则m // n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m//α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；
选项D，若m⊥α，m // n，则n⊥α，再由n // β可得α⊥β，故D正确．
故选D.
8.
【答案】
C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
先确定函数f(x)在(−∞, 0)上单调递增，且f(−2)＝0，再将不等式等价变形，即可得到结论．【解答】
解：由题意得，函数f(x)在(−∞, 0)上时为单调增函数，且f(−2)=0，
则当x∈(−∞, −2)∪(2, +∞)时，f(x)<0；
当x∈(−2, 0)∪(0, 2)时，f(x)>0.
所以f(x)
x
>0⇔{
x>0,
f(x)>0,或{
x<0,
f(x)<0,
所以不等式的解集为(−∞, −2)∪(0, 2)．
故选C.
9.
【答案】
D
【考点】
空间中平面与平面之间的位置关系
异面直线及其所成的角
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A选项：因为E,F分别为A′D和BD两边中点，
所以EF//A′B，即EF//平面A′BC，A正确；
B选项：因为平面A′BD⊥平面BCD，
交线为BD，且CD⊥BD，所以CD⊥平面A′BD，
所以平面A′CD⊥平面A′BD，故B正确；
C选项：取CD边中点M，连接EM,FM，则EM//A′C，
所以∠FEM为异面直线EF与A′C所成角，
又EF=1，EM=√2，FM=√3，
即∠FEM=90∘，故C正确；
D选项：V=1
3
⋅1
2
⋅2⋅2√2⋅√2=4
3
，故D错误.
故选D.
10.
【答案】
C
【考点】
函数的零点与方程根的关系 函数的零点 函数的图象
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：y =f(f(x))−3的零点个数，即方程f(f (x ))=3的实数根的个数． 设t =f (x )，则f (t )=3． 作出f (x )的图象，如图所示，
结合图象可知，方程f (t )=3有三个实根t 1=−1，t 2=1
4，t 3=
4， 则f (x )=−1有一个解，f (x )=1
4有一个解，f (x )=4有三个解． 故方程f(f (x ))=3有5个解． 故选C ． 二、填空题
【答案】 4
【考点】 幂函数的图像 【解析】
将点的坐标代入函数解析式，求出f(x)，将x 用100代替，求出值． 【解答】
解：∵ 幂函数f(x)=x α的图象经过点(3, 81)， ∴ 81=3α， 解得α=4. 故答案为：4.
三、解答题 【答案】 解：(1)(27
8
)
−13
+160.25−(√2÷√33
)6
=(278)−13+1614−(√2)6÷(√33
)6
=23+2−89
=69+189−8
9
=
169
；
(2)log 2(x +2)<3，即log 2(x +2)<log 28， 所以 {x +2>0,x +2<8,解得 −2<x <6．
【考点】
对数的运算性质
根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)(278)
−1
3
+160.25−(√2÷√33
)6
=(278)−13+1614−(√2)6÷(√33
)6
=23+2−89
=69+189−89
=
169
；
(2)log 2(x +2)<3，即log 2(x +2)<log 28， 所以 {x +2>0,x +2<8,解得 −2<x <6．
【答案】
解：(1)连接 O 1A 1，O 1B 1，
由正六边形 A 1B 1C 1C 1D 1E 1F 1 ，可得 △O 1A 1B 1 为正三角形，
所以 O 1B 1=A 1B 1=4m .
取A 1B 1 的中点为Q ，连接 O 1Q ，PQ ， 易得 PQ ⊥A 1B 1，
所以 O 1Q =√O 1B 12
−B 1Q 2=√42−22=2√3(m )， PQ =√PO 12+O 1Q 2=√22+(2√3)2
=4(m ).
设帐篷上部的侧面积为 S 1 ,下部的侧面积为 S 2，
S 1=6×1
2A 1B 1⋅PQ =48(m 2) ，
S 2=6A 1B 1⋅OO 1=96(m 2)，
所以搭建帐篷的表面积为 S 1+S 2=48+96=144(m 2)；
(2)由(1)得 △O 1A 1B 1 的面积：
S △O 1A 1B 1=1
2×A 1B 1⋅O 1Q =1
2×4×2√3=4√3(m 2
)， 所以 S 六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1=6S △O 1A 1B 1=24√3(m 2)， 上部正六棱锥的体积 V 1=1
3×24√3×2=16√3(m 3)，
下部正六棱柱的体积 V 2=24√3×4=96√3(m 3)
，
所求帐篷容积为 V 1+V 2=112√3(m 3)． 【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)连接 O 1A 1，O 1B 1，
由正六边形 A 1B 1C 1C 1D 1E 1F 1 ，可得 △O 1A 1B 1 为正三角形，
所以 O 1B 1=A 1B 1=4m .
取A 1B 1 的中点为Q ，连接 O 1Q ，PQ ， 易得 PQ ⊥A 1B 1，
所以
O 1Q =√O 1B 12
−B 1Q 2=√42−22=2√3(m )， PQ =√PO 12+O 1Q 2=√22+(2√3)2
=4(m ).
设帐篷上部的侧面积为 S 1 ,下部的侧面积为 S 2， S 1=6×1
2A 1B 1⋅PQ =48(m 2) ，
S 2=6A 1B 1⋅OO 1=96(m 2)，
所以搭建帐篷的表面积为 S 1+S 2=48+96=144(m 2)； (2)由(1)得 △O 1A 1B 1 的面积：
S △O 1A 1B 1=12
×A 1B 1⋅O 1Q =1
2
×4×2√3=4√3(m 2)，
所以 S 六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1=6S △O 1A 1B 1=24√3(m 2)， 上部正六棱锥的体积 V 1=1
3×24√3×2=16√3(m 3)， 下部正六棱柱的体积 V 2=24√3×4=96√3(m 3)， 所求帐篷容积为 V 1+V 2=112√3(m 3)． 【答案】
(1)解：∵ f(−x)=−ax x 2−1=−f(x)，且定义域为[−12,1
2]，关于原点对称， ∴ f(x)为奇函数．
(2)证明：设−12
≤x 1<x 2≤1
2
，
则f(x 1)−f(x 2)=ax 1x 1
2−1−ax
2
x 2
2−1=
a(x 2−x 1)(x 1x 2+1)
(x 12−1)(x 2
2−1).
若a >0，则由于x 12−1<0,x 22
−1<0，x 2−x 1>0，x 1x 2+1>0． ∴ f (x 1)−f (x 2)>0， ∴ f (x 1)>f (x 2)．
即f (x )在[−12,1
2]上是减函数． 【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
【解析】
（1）利用定义f(−x)=−f(x)，可证明函数是奇函数 【解答】
(1)解：∵ f(−x)=−ax x 2−1=−f(x)，且定义域为[−12,1
2]，关于原点对称，
∴ f(x)为奇函数．
(2)证明：设−12≤x 1<x 2≤1
2，
则f(x 1)−f(x 2)=ax 1x 1
2−1−ax
2
x 2
2−1=
a(x 2−x 1)(x 1x 2+1)
(x 12−1)(x 2
2−1).
若a >0，则由于x 12−1<0,x 22
−1<0，x 2−x 1>0，x 1x 2+1>0． ∴ f (x 1)−f (x 2)>0， ∴ f (x 1)>f (x 2)．
即f (x )在[−12,1
2]上是减函数．
【答案】
(1)证明：延长AM 交BC 于点G ，连接FG.
由AD//BC ,M为BD中点，
易证△BGM≅△DAM，
所以BG=AD=1.
因为BC=2，所以GC=1.
由已知FE=AD=1，FE//AD，
又AD//GC，
所以FE//GC，FE=GC，
所以四边形GCEF为平行四边形，
所以CE//GF.
因为CE⊄平面AMF，GF⊂平面AMF，
∴CE//平面AMF.
(2)解：由(1)可得，多面体ABCDEF被平面分成的两个部分是三棱锥F−ABG和三棱柱CDE−GAF，
因为AF⊥平面ABCD,又BD⊂平面ABCD,
所以AF⊥BD，又易得BD⊥AG ,
所以BD⊥平面AFG,
所以DM即为三棱柱CDE−GAF的高．
所以三棱柱CDE−GAF的体积V1=1
2×√2×1×√2
2
=1
2
,
又易得三棱锥F−ABG的体积V2=1
3×1
2
×1×1=1
6
,
所以多面体ABCDEF被分成的两个部分体积比为1
3
. 【考点】
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：延长AM交BC于点G，连接FG.
由AD//BC ,M为BD中点，
易证△BGM≅△DAM，
所以BG=AD=1. 因为BC=2，所以GC=1.
由已知FE=AD=1，FE//AD，
又AD//GC，
所以FE//GC，FE=GC，
所以四边形GCEF为平行四边形，
所以CE//GF.
因为CE⊄平面AMF，GF⊂平面AMF，
∴CE//平面AMF.
(2)解：由(1)可得，多面体ABCDEF被平面分成的两个部分是三棱锥F−ABG和三棱柱CDE−GAF，
因为AF⊥平面ABCD,又BD⊂平面ABCD,
所以AF⊥BD，又易得BD⊥AG ,
所以BD⊥平面AFG,
所以DM即为三棱柱CDE−GAF的高．
所以三棱柱CDE−GAF的体积V1=1
2
×√2×1×√2
2
=1
2
,
又易得三棱锥F−ABG的体积V2=1
3
×1
2
×1×1=1
6
,
所以多面体ABCDEF被分成的两个部分体积比为1
3
.
【答案】
解：(1)因为f(x)<4，
所以log
2
(x+2)<4，即0<x+2<16，
解得−2<x<14，
故不等式f(x)<4的解集为(−2,14).
(2)ℎ(x)在[2,6]上有零点等价于ℎ(x)=0在[2,6]上有解，
即log
2
(x+2)+x2+2x=a在[2,6]上有解.
设F(x)=log
2
(x+2)+x2+2x(2≤x≤6)，
∵y=log
2
(x+2)与y=x2+2x在[2,6]上均为增函数，
∴F(x)在[2,6]上为增函数，
则F(x)min=log2(2+2)+22+2×2=10，
F(x)min=log
2
(6+2)+62+2×6=51，
从而10≤F(x)≤51，
故a的取值范围为[10,51].
【考点】
由函数零点求参数取值范围问题
对数及其运算
函数单调性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为f(x)<4，
所以log
2
(x+2)<4，即0<x+2<16，
解得−2<x<14，
故不等式f(x)<4的解集为(−2,14).
(2)ℎ(x)在[2,6]上有零点等价于ℎ(x)=0在[2,6]上有解，即log
2
(x+2)+x2+2x=a在[2,6]上有解.
设F(x)=log
2(x+2)+x2+2x(2≤x≤6)，
∵y=log
2(x+2)与y=x2+2x在[2,6]上均为增函数，
∴F(x)在[2,6]上为增函数，
则F(x)min=log2(2+2)+22+2×2=10，F(x)min=log
2
(6+2)+62+2×6=51，从而10≤F(x)≤51，
故a的取值范围为[10,51].
【答案】
证明：(1)如图，连接AC交BD于点O,连接OM.
因为PA//平面MBD,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面MBD=OM，所以PA//OM．
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是AC的中点，
所以M是PC的中点.
(2)如(1)中图，过P作PE⊥CD垂足为E．
因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
PE⊂平面PCD，所以PE⊥平面ABCD.
又BD⊂平面ABCD，所以PE⊥BD.
因为∠PDC为锐角，所以PD与PE不重合，则必相交于点P.
又BD⊥PD，PD，PE⊂平面PCD，所以BD⊥平面PCD，
因为BD⊂平面MBD，
所以平面MBD⊥平面PCD.
【考点】
平面与平面垂直的判定
直线与平面平行的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)如图，连接AC交BD于点O,连接OM.因为PA//平面MBD,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面MBD=OM，所以PA//OM．
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是AC的中点，
所以M是PC的中点.
(2)如(1)中图，过P作PE⊥CD垂足为E．
因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
PE⊂平面PCD，所以PE⊥平面ABCD.
又BD⊂平面ABCD，所以PE⊥BD.
因为∠PDC为锐角，所以PD与PE不重合，则必相交于点P.
又BD⊥PD，PD，PE⊂平面PCD，所以BD⊥平面PCD，
因为BD⊂平面MBD，
所以平面MBD⊥平面PCD.。