九年级数学元旦竞赛试题及答案

九年级数学试题参考答案及评分建议
一.1.D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.B 7.D 8.A 9.B 10.D 11.B 12.C
二.13. 32 14. k ≤4且k ≠3 15. 30cm 16. 9
5 17. （3，2）或（－3，－2） 18. 9900 19. [52，135°] 20.22500
三.21.
222212121(1)(1)()242(2)(2)
1(2)(2)2(1)
2........................................41x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+-÷=÷+-++-++-=⨯++-=+ x 不能为2，-2，-1,其它都可 (6)
22. 根据题意25000(1)4050x -=.…………………………………………………3分 解得1 1.9x =（舍去），20.1x =，故楼价下降率为10%.………………………5分 23. （1）证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，
∴DE=DM ，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF 和△DMF 中，
DE DM EDF MDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DEF ≌△DMF （SAS ），∴EF=MF ；…（4分）
（2）设EF=MF==1，且BC=3， ∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x ，
∵EB=AB-AE=3-1=2， 在Rt △EBF 中，由勾股定理得EB 2+BF 2=EF 2，
即22+（4-x ）2=x 2，解得：x=
52 则EF=52
…………………………………………..8 24. 解：（1）证明：连接OT ，
∴∠DAT=∠OAT ，∴∠DAT=∠OTA .
∴OT∥AC .……………………………………………………3分
又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT，∴CT 为⊙O 的切线；……………5分
又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE 为矩形.…………7分
∵CT=，∴OE=， 又∵OA=2，∴在Rt△OAE 中，
∴AD=2AE=2．………………………… 8分
25. 解：(1)把A 点(1，4)分别代入反比例函数x
k y =，一次函数y ＝x ＋b ，得k ＝1×4， 1＋b ＝4，解得k ＝4，b ＝3，∴反比例函数的解析式是x y 4=
.………………4分 一次函数解析式是y ＝x ＋3.……………………………………………………………6分 如图当x ＝－4时，y ＝－1，B(－4，－1)，当y ＝0时，x ＋3＝0，x ＝－3，C(－3，0) S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝2
1513214321=⨯⨯+⨯⨯..............................................7分 (2)∵B(－4，－1)，A(1，4)，∴根据图象可知：当x ＞1或－4＜x ＜0时，反比例函数值小于一次函数值. (9)
26. 解：(1)由上述定义可知：① 4 ② 1 ③ 0 ④ 2 ----------------4
(2)由材料 ,x y x y x y M a a a a N
--÷==， log log log a a a M x y M N N
∴=-=-------------------------------6 可设312123,,,,n x x x x n a M a M a M a M ====，则
1122log ,log ,,log a a a n n M x M x M x ===
312312n n x x x x x x x x a a a a a ++++⋅⋅⋅
⋅=，12312n x x x x n a M M M ++++∴=⋅⋅⋅ 1212log a n n M M M x x x ∴⋅⋅⋅=+++，
因此1212log log log log a n a a a n M M M M M M ∴⋅⋅
⋅=+++ （其中12,,,n M M M 均为正数，0,1a a >≠） --------10
27. 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；------------------------3
∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．
如答图1，连接AC、B C．
由勾股定理得：AC=，BC=．
∵AC2+BC2=AB2=100，
∴∠ACB=90°，
∴AB为圆的直径．
由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，
∴D（0，4）．-------------------------------------------------------5
解法一：
设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），
∴，解得，
∴当的面积有最大值为36；----------------------8
解法二：
如答图2﹣2，过M作MN⊥y轴于点N．
设M（m，m2﹣m﹣4），
∵S△OBD=OB•OD==16，
S梯形OBMN=（MN+OB）•ON
=（m+8）[﹣（m2﹣m﹣4）]
=﹣m（m2﹣m﹣4）﹣4（m2﹣m﹣4），
S△MND=MN•DN
=m[4﹣（m2﹣m﹣4）]
=2m﹣m（m2﹣m﹣4），
∴S△BDM=S△OBD+S梯形OBMN﹣S△MND
=16﹣m（m2﹣m﹣4）﹣4（m2﹣m﹣4）﹣2m+m（m2﹣m﹣4）=16﹣4（m2﹣m﹣4）﹣2m
=﹣m2+4m+32
=﹣（m﹣2）2+36；
（2）如答图3，连接AD、B C．
由圆周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∴△AOD∽△COB，
∴=，
设A（x1，0），B（x2，0），
∵已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0），
∵OC=﹣c，x1x2=c，
∴=，
∴OD==1，
∴无论b，c取何值，点D均为定点，该定点坐标D（0，1）．---------------12
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