福建省福州市高三数学毕业班综合练习(福州5月质检) 理 新人教A版

数学(理科)试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）
1．已知全集U =R ，集合2
{0}M x x x =->，则U
M =
A ．{|01}x x <<
B ．{|01}x x ≤≤
C ．{|01}x x x <>或
D ．{|01}x x x ≤≥或
2．如图，在复平面内，若复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则复
数12z z +所对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“32S S >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．若一个几何体的三视图，其正视图和侧视图均为矩形、俯视图为正三角形，尺寸如图所示，则该几何体的体积为
A ．
23
3
B ．
33
2
C ．3
D ．23
5．如图，执行程序框图后，输出的结果为
A ．8
B ．10
C ．12
D ．32
样本数据1x ，2x ，
，n x 的标准差
()()()22
2
121n s x x x x x x n ⎡⎤=
-+-++-⎣
⎦
其中x 为样本平均数 柱体体积公式
V Sh =
其中S 为底面面积，h 为高
锥体体积公式：
1
3
V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高
球的表面积、体积公式
24S R =π，34
3
V R =π
其中R 为球的半径
y
x
B
A
O
第4题图
D 1
C 1
B 1
A 1C A
B
P
D
6．下列函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增的奇函数是
A ．sin 2y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
B ．cos 22y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
C ．sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．cos 22y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
7．已知0AB BC ⋅=，1AB =，2BC =，0AD DC ⋅=，则BD 的最大值为
A. 2
55
B. 2
C. 5
D. 25
8．若从区间(0,)e 内随机取两个数，则这两个数之积不小于．．．e 的概率为
A ．1
1e - B. 21e - C. 1e
D. 2e
9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，若平面11A BCD 上一动点
P 到1AB 和BC 的距离相等，则点P 的轨迹为
A ．椭圆的一部分
B ．圆的一部分
C ．一条线段
D ．抛物线的一部分
10．将方程tan 0x x +=的正根从小到大地依次排列为12,,,,
n a a a ，给出以下不
等式：
①102
n n a a π
+<-<
；
②
12
n n a a π
π+<-<； ③122n n n a a a ++>+；
④122n n n a a a ++<+； 其中，正确的判断是
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
11．已知函数,0
()2,0
x x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()1f f -= .
12．已知双曲线22
1(0,0)x y m n m n
-=>>的离心率为2，
有一个焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则n =__________.
13．已知等差数列{}n a 的公差不为零，12513a a a ++>，且1a 、2a 、
5a 成等比数列，则1a 的取值范围为 .
14．已知三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示， 则
(3)
(1)
f f '-=' ★★★ ． 15．假定平面内的一条直线将该平面内的一个区域分成面积相等的两个区域，则称这条直线平分这个区域．如图，ℵ是平面α内的任意一个封闭区域.现给出如下结论：
① 过平面内的任意一点至少存在一条直线平分区域ℵ；
第9题图
第5题图
第14题图
x
y
C B
N M T
O
A
第15题图
② 过平面内的任意一点至多存在一条直线平分区域ℵ； ③ 区域ℵ内的任意一点至少存在两条直线平分区域ℵ； ④ 平面内存在互相垂直的两条直线平分区域ℵ成四份． 其中正确结论的序号是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
招聘会上，某公司决定先试用后再聘用小强，该公司的甲、乙两个部门各有4个不同岗位．
（Ⅰ）公司随机安排小强在这两个部门中的3个岗位上进行试用，求小强试用的3个岗位中恰有2个在甲部门的概率；
（Ⅱ）经试用，甲、乙两个部门都愿意聘用他．据估计，小强可能获得的岗位月工资及相应概率如下表所示：
求甲、乙两部门月岗位工资的期望与方差，据此请帮助小强选择一个部门，并说明理由． 17．（本小题满分13分）
如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，
2,6AB AC ==, 点D 在线段1BB 上，且11
3
BD BB =，1
1AC AC E =． （Ⅰ）求证：直线DE 与平面ABC 不平行；
（Ⅱ）设平面1ADC 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，若7
cos θ=
1AA 的长； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面1ADC 平面ABC l =，求直线l 与DE 所成的角的余弦值．
18．（本小题满分13分）
如图，圆C 与y 轴相切于点()0,2T ，与x 轴正半轴相交于两点 ,M N （点M 在点N 的左侧），且3MN =．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）过点M 任作一条直线与椭圆22
:148
x y
Γ+=相交于两点
A B 、，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠．
19．（本小题满分13分） 已知函数()ln(1)1
ax
f x x x =++
+()a ∈R ． 甲部门不同岗位月工资1X （元） 2200 2400 2600 2800 获得相应岗位的概率1P 0.4 0.3 0.2 0.1
乙部门不同岗位月工资2X （元） 2000 2400 2800 3200 获得相应岗位的概率2P 0.4 0.3 0.2 0.1
第17题图
第18题图
（Ⅰ）当2a =时，求函数()x f y =的图象在0x =处的切线方程； （Ⅱ）判断函数()f x 的单调性；
（Ⅲ）求证：2111
ln 1n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭
（*n N ∈）．
20．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点． （Ⅰ）如果3tan 4α=
，B 点的横坐标为5
13
，求()cos αβ+的值； （Ⅱ）若角αβ+的终边与单位圆交于C 点，设角α、β、αβ+的正弦线分别为MA 、NB 、PC ，求证：线段MA 、NB 、PC 能构成一个三角形；
（III ）探究第（Ⅱ）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？ 若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
设矩阵M 是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标保持不变的伸缩变换．
（Ⅰ）求矩阵M ；
（Ⅱ）求矩阵M 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． （2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已
知点A 、B 的极坐标分别为(1,)3π
、2(3,)3π，曲线C 的参数方程为cos ,(sin x r y r ααα=⎧⎨=⎩
为
参数）．
（Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线AB 和曲线C 只有一个交点，求r 的值． （3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲
已知关于x 21x x m -+<对于任意的[1,2]x ∈-恒成立 （Ⅰ）求m 的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数()2
1
(2)f m m m =+-的最小值．
2012年福州市高中毕业班综合练习
第20题图
理科数学试卷参考答案及评分参考
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.B
2.A
3.C
4.D
5.B
6.D
7. C
8. B
9.D 10. D 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分) 11. 2 12. 12 13. (1,)+∞ 14. 5- 15. ①④ 三、解答题(本大题共6小题，共80分) 16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）记事件“小强试用的3个岗位中恰有2个在甲部门的概率”为A ，则
()21
44383
7
C C P A C ⋅==． ················· 6分
（Ⅱ）22000.424000.326000.228000.12400E =⨯+⨯+⨯+⨯=甲（元）， ··· 7分 20000.424000.328000.232000.12400E =⨯+⨯+⨯+⨯=乙（元）
． ······ 8分 ()()()()()2
2
2
2
220024000.4240024000.3260024000.2280024000.1
D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯甲 40000=， ··························· 9分
()()()()()2
2
2
2
200024000.4240024000.3280024000.2320024000.1
D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯乙 160000=． ························· 10分 选择甲部门：因为()()X X D X D X =<甲乙甲乙，，说明甲部门各岗位的工资待遇波动比乙部门小，竞争压力没有乙部门大，比较安稳． ············· 13分
选择乙部门：因为()()X X D X D X =<甲乙甲乙，，说明乙部门各岗位的工资待遇波动比甲部门大，岗位工资拉的比较开，工作比较有挑战性，能更好地体现工作价值． 13分
17．（本小题满分13分）
解：依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1AA h =，则 ()()()()112,0,0,0,6,0,2,0,,0,0,,0,6,,0,3,32h h B C D A h C h E ⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭．2分
（Ⅰ）证明：由1AA ⊥平面ABC 可知()10,0,1n =为平面ABC 的一个法向量．
∴ ()12,3,0,0,1066h h DE n ⎛
⎫⋅=-⋅=≠ ⎪⎝⎭
． ······ 3分
∴ 直线DE 与平面ABC 不平行． ······ 4分 （Ⅱ）设平面1ADC 的法向量为()2,,n x y z =，则
()()()22
1,,2,0,2033,,0,6,60
h h n AD x y z x z n AC x y z h y hz ⎧⎛
⎫⋅=⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎨
⎪⋅=⋅=+=⎩， ··· 5分
取6z =-，则x y h ==，故()2,,6n h h =-． ··· 6分
∴12
1212cos cos ,1
n n n n n n θ⋅=<
>==⨯＝ ··········· 7分
解得h =．
∴ 1AA = ··························· 8分 （Ⅲ）在平面11BCC B 内，分别延长1CB C D 、，交于点F ，连结AF ，则直线AF 为平面1ADC 与平面ABC 的交线． ······················ 9分
∵ 1//BD CC ，1111
==33BD BB CC ，
∴
11
3
BF BD FC CC ==． ∴ 1
2
BF CB =，
∴ ()()
()11
2,0,02,6,03,3,022
AF AB BF AB CB =+=+=+-=-． ····· 11分
由（Ⅱ）知，h =，故(
2,3,6h DE ⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，
∴ cos ,3AF DE
AF DE AF DE
⋅<
>=
=
= ··········· 12分 ∴ 直线l 与DE 所成的角的余弦值为= ········· 13分 18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设圆C 的半径为r （0r >），依题意，圆心坐标为(,2)r ． ····· 1分 ∵ 3
MN =
∴ 2
2
2322r ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，解得2254r =． ··················· 3分
∴ 圆C 的方程为()2
2525224x y ⎛
⎫-+-= ⎪⎝⎭． ··············· 5分
（Ⅱ）把0y =代入方程()2
2525224x y ⎛
⎫-+-= ⎪⎝⎭
，解得1x =，或4x =，
即点()1,0M ，()4,0N ． ······················· 6分 （1）当AB x ⊥轴时，由椭圆对称性可知ANM BNM ∠=∠． ········ 7分 （2）当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为()1y k x =-．
联立方程()
22
128
y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，消去y 得，()
22222280k x k x k +-+-=． ····· 8分 设直线AB 交椭圆Γ于()()1122,,A x y B x y 、两点，则
2122
22k x x k +=+，21228
2
k x x k -⋅=+． ··················· 9分 ∵ ()()11222,2y k x y k x =-=-， ∴ ()()1212
1212114444
AN BN k x k x y y k k x x x x --+=+=+---- ()()()()
()()
122112141444k x x k x x x x --+--=
--． ················· 10分
∵()()()()()()
22
1221121222281014142588022
k k x x x x x x x x k k ---+--=-++=
-+=++， ································· 11分 ∴ 0AN BN k k +=，ANM BNM ∠=∠． ················ 12分 综上所述，ANM BNM ∠=∠． ···················· 13分 19．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当2a =时，2()ln(1)1
x
f x x x =+++， ∴22
123
()1(1)(1)x f x x x x +'=
+=
+++， ··················· 1分 ∴ (0)3f '=，所以所求的切线的斜率为3. ··············· 2分 又∵()00f =，所以切点为()0,0. ··················· 3分 故所求的切线方程为：3y x =. ···················· 4分 （Ⅱ）∵()ln(1)1
ax
f x x x =+++(1)x >-， ∴22
1(1)1()1(1)(1)a x ax x a
f x x x x +-++'=
+=
+++． ················ 5分 ①当0a ≥时，∵1x >-，∴()0f x '>； ················· 6分 ②当0a <时，
由()01f x x '<⎧⎨>-⎩，得11x a -<<--；由()0
1f x x '>⎧⎨>-⎩
，得1x a >--； ······· 7分
综上，当0a ≥时，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增；
当0a <时，函数()f x 在(1,1)a ---单调递减，在(1,)a --+∞上单调递增． ·· 8分 （Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当1a =-时，
()()ln 11
x
f x x x =+-
+在()0,+∞上单调递增． ·············· 9分
∴ 当0x >时，()()00f x f >=，即()ln 11
x
x x +>
+． ········· 10分 令1x n =
（*n ∈N ），则111ln 1111n
n n n
⎛⎫
+>=
⎪+⎝⎭+． ············ 11分 另一方面，∵()2111n n n <+，即2111
1n n n
-<+,
∴
2111
1n n n
>-+． ························ 12分 ∴ 2111
ln 1n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭
（*n ∈N ）． ·················· 13分
方法二：构造函数2
()ln(1)F x x x x =+-+，(01)x ≤≤ ·········· 9分
∴1(21)
'()1211
x x F x x x x +=
-+=
++， ················ 10分 ∴当01x <≤时,'()0F x >；
∴函数()F x 在(0,1]单调递增． ··················· 11分 ∴函数()(0)F x F > ，即()0F x >
∴(0,1]x ∀∈，2
ln(1)0x x x +-+>，即2
ln(1)x x x +>- ········ 12分 令1x n =
（*n ∈N ），则有2111ln 1n n n
⎛⎫+>- ⎪⎝⎭． ············· 13分 20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）已知α是锐角，根据三角函数的定义，得3sin 5α=，4cos 5α=，
··· 1分 又5cos 13β=
，且β是锐角，所以12
sin 13
β=． ·············· 2分 所以4531216
cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-． ······ 4分
（Ⅱ）证明：依题意得，sin MA α=，sin NB β=，sin()PC αβ=+ 因为0παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，2，所以cos (0,1)α∈，cos (0,1)β∈，于是有
sin()sin cos cos sin sin sin αβαβαβαβ+=+<+，① ··········· 6分
又∵()0,,1cos()1αβπαβ∈∴-<<++，
sin sin(())sin()cos cos()sin sin()sin ααββαββαββαββ=+-=+⋅-+⋅<++，②
···································· 7分 同理，sin sin()sin βαβα<++，③ 由①，②，③可得，
线段MA 、NB 、PC 能构成一个三角形. ·················· 8分
（III ）第（Ⅱ）小题中的三角形的外接圆面积是定值，且定值为4
π. 不妨设A B C '''∆的边长分别为()sin sin sin αβαβ+、
、，其中角A '、B '、C '的对边分别为()sin sin sin αββα+、
、.则由余弦定理，得： 222sin sin sin ()
cos 2sin sin A αβαβαβ
+-+'=
⋅ ················· 9分
222222sin sin sin cos cos sin 2sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβαβαβ
αβ+---=
⋅ 2222sin sin sin sin 2sin cos cos sin 2sin sin αββααβαβ
αβ
⋅+-=
⋅ sin sin cos cos αβαβ=⋅-
cos()αβ=-+ ························ 11分 因为0παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，2，所以(0,)αβπ+∈，所以sin sin()A αβ'=+， ····· 12分
设A B C '''∆的外接圆半径为R ， 由正弦定理，得sin()21sin sin()B C R A αβαβ''+=
=='+，∴1
2
R =， ········· 13分 所以A B C '''∆的外接圆的面积为
4
π
. ················· 14分 21．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 解：（Ⅰ）由条件得矩阵1002M ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
． ················ 2分 （Ⅱ）因为矩阵1
00
2M ⎛⎫
=
⎪
⎝⎭的特征多项式为10()(1)(2)02
f λλλλλ-==---， 令()0f λ=，解得特征值为11λ=，22λ=， ··············· 4分 设属于特征值1λ的矩阵M 的一个特征向量为1x e y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12x x M e y y ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得
0y =，取1x =，得110e ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， ······················· 5分
同理，对于特征值2λ，解得0x =，取1y =，得201e ⎛⎫
= ⎪⎝⎭， ········· 6分
所以110e ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵M 属于特征值11λ=的一个特征向量，201e ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是矩阵M 属于特征
值22λ= 的一个特征向量． ························ 7分
（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程 解：（Ⅰ）∵点A 、B 的极坐标分别为(1,)3
π
、2(3,
)3
π
， ∴点A 、B
的直角坐标分别为1(
,2
、3(,2-， ········· 2分 ∴直线AB
的直角坐标方程为40y +-=． ··········· 4分 （Ⅱ）由曲线C 的参数方程cos ,
(sin x r y r ααα
=⎧⎨
=⎩为参数）
化为普通方程为222x y r +=， ···································· 5分
∵直线AB 和曲线C 只有一个交点，
∴半径r =
=．
·················· 7分 （3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲
解：（Ⅰ）∵关于x
m <对于任意的[1,2]x ∈-恒成立
max m ⇔> ······················· 1分
根据柯西不等式，有
222222(11[11]]6=≤+⋅+=
1
2
x =
时等号成立，故m ． ····· 3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得20m ->，则()22
1111
(2)(2)2(2)22(2)f m m m m m m =+=-+-++--
∴(
)22f m ≥= ··········· 5分 当且仅当2
11
(2)2(2)
m m -=-
，即2m => ········ 6分 所以函数()2
1(2)f m m m =+-
2． ············ 7分。