【doc】循环群的子群交与子群并的构造

循环群的子群交与子群并的构造
第2期长沙大学
1997年6JOURNALOFCHANGSHAUNIVERSITY
No.2
Jun.1997
.=2
循环群的子群交与子群并的构造
刊,宗明F2√
(泰安师范专科学校.泰安271000)
李振国梅门昌
(内蒙河套大学,临河015000)(泰安教育学院,泰安271ooo)
摘要本文络出搞环群的子群克与子群并的构造.
关键词.
±壁塞j群_
分类号0152.1
循环群是构造最简单的群.本文研究循环群的子群交与子群并的构造.
引理1循环群G=妇)的子群H是循环群.若H≠{},则H=《d),其中n是H中d
的最小正指数幂.当G是无限群时.H也是无限群.当G是n阶群时,m/..H是q=阶群,
且H是G中唯一的g阶子群.此时
H={n.,,n,……n}
证明见[i]P31定理5.证完.
引理2无限循环群妇)的子群《)一()甘r=士j;n阶循环群(口)的子群(口)一(d), (口)一(口)甘(r,n)=(.n),其中(r,)是r与n的最大公园数.
证明1)无限群妇)的子群()=(口')甘r士s,见[13P31定理6的前半段.
2)n阶群(d)的元素口的阶为一户,(d)为阶群;d(r,ml的阶也为?(口")也是户阶
群;由于(,,")Ir.所以E-(口.>.从而,易得(d>=(d).
3)由2)即得(>=()甘(r.,)一(.n).证完.
下面均假定循环群妇)的子群H≠{}.且H一(),口是H中口的最小正指数幂.
引理3循环群《口)的子群()()甘lr.
证明.()(口'>,d∈(),口一()=.当(d)是无限群时,r=;当《d)是"阶群
时,由上面的约定,也有r=础}总之.
.Ir.记r=st.口一=(口)∈《d>,从而,《)(口').证完.
定理1循环群(口>的子群交
《口)n(d)一(aE),
其中.]是r.的最小公倍数.
收稿日期:1~'97—05--31
总第32期孙宗明等:循环群的子群交与子群并的构造
证明先证明(d[,_0)(》n(》.
根据引理3,由rl[r,j]得《d>《d,》,由5l[,,s]得《d[,_0>(口》.从而<口》<口>
<》n》.
再证明()n(dI》(d[,_)
对任意XE(d>n(>,则X=a.,由d.∈(》得,a=(d),卅=,pI由d_∈<dJ》得a= (d),Ⅲ=田.从而rIm,
定理3若循环群(d》的子群并'd>U(}是(d}的子群,则(r,s)=r或s,(d}>U(吐I》>
一《d>,其中(r,5)是r,5的最大公园数.
证明根据引理4,(4》(dJ》或(d》<dr).根据引理3,SIR或刚S.从而得证.证完.
定理4循环群(d)的子群并
《d1》U<口>U……U(d》
是《4>的子群,则(,I,r2……,^)等于n,……,^之一,
'4r1)U'口)U……U'n)='n''_._.').
证明根括}f理4与定理3,对子群的个数用数学归纳法即得.证完
参考文献
1焦全淹.近世代数.上捧科学技术出版社,1978.
2张禾璃.近世代数基础.高等教育出版挂,1978. THESTRUCTUREOFTHESUBGR0UPlNTERSECTIONAND SUBGROUPUNIONINCYCLICGROUP
3u.Zongming,1.2Zhenguo,MeiMenchang AbstractThispapergivesthestructureofthesubgroupintersectionandsubgro upU nionincyclicgroup. KeywordssubgroupintersectionSUbgroupunioncyclicgroup。