从力做的功到向量的数量积(师大附中)
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北师大版 必修四
第二章 平面向量
从力做的功到向量的数量积
实例分析
向量数量积的物理背景
F2FLeabharlann qF1S力 F 对物体做的功为 W = F S cosq
发现
00 ? q 900 q = 900
F 做正功 W > 0 F 不做功 W = 0
900 <q ? 1800 F 做负功 W < 0
问题提出
两个向量的夹角
B b
q
O
a
B b
OB1 = b cosq
q A B1 O
aA
b cosq 叫作向量 b 在 a 方向上的射影（也叫投影）
当θ为锐角时 b cosq ___＞__0
当θ为直角时 当θ为钝角时 b cosq ___=__0 b cosq __＜___0
基础问题
物理实例中，与位移 ︱Fr ︱cosθ ，即是力
(3)a (b c) a b a c.
思考：若a c b c，有a b吗？ 反之成立吗？
解答：不成立. 解答：成立.
例2 在Δ ABC中，设边BC，CA，AB
的长度分别为a，b，c，证明：
a²=b²+c²–2bccosA， b²=c²+a²–2cacosB， c²=a²+b²–2abcosC.
特别地:零向量与任一向量 的数量积为0.
例题讲解
例1 ⑴ 已知|a|=3，|b|=4，且 a 与 b 的夹角
θ =150°，求 a·b .
解：a· b =| a || b |cosθ =3×4×cos150°
=3×4×（-
3 2
）=－6 3..
⑵ 已知 a =(1,1), b =(2,0), a 与b 的夹角θ= 45°
O
可得
AC BD = (AD + AB) (AD - AB)
A
B
(AD)2 - (AB)2
2
2
= AD - AB
=0，
所以，AC BD.
即菱形的两条对角线互相垂直.
【提升总结】
证明线段垂直的方法： 1.取两个不共线的向量作基底. 2.将要证明的向量用这两个向量表示.
3.利用 a b a b 0 进行证明.
例4 已知单位向量 e1 , e2 的夹角为60°，求向量
a e1 e2 , b e2 2e1 的夹角.
解：由单位向量 e1,e2的夹角为60°，得
e1 e2
cos 60
1, 2
所以 a b (e1 e2) (e2 2e1) 2e1 e1 e1 e2 e2 e2
A
c
b
B
C
证明：设 AB c, BC a, AC b, 则
a
a2
a
2
2
BC
BC
BC
(AC - AB)
(AC - AB)
(b c) (b c)
b b c c 2b c
2
2
b c 2b
c cos A
=b²+c²–2 bccosA. 同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理.
计算向量的夹角时要 将两个向量起点放在
一起.
b
a
b
b
q
O
a
00 ＃q 1800
q
O
a
当 q = 00 时，a 与 b 同向，
当q = 900 时，a 与 b 垂直，
当q =1800时，a 与 b 反向，
b
q
O
a
由于零向量的方向是任意 的，为方便起见，
规定:零向量可与任一向量 垂直.
定义
B b
q O a B1 A
特别提醒： 1. a a a 2 2.若 e1, e2 是单位向量,则
e1 e2 e1 e2 cos cos
单位向量 是一种特 殊的向量 哟！
重要性质：
1.若 e是单位向量，则： e a a e a cos .
2. a b a b 0.
求 a· b.
解： | a| = 2 , | b|=2, θ=45°,
所以 a·b =| a || b |cosθ= 2 ×2×cos45°= 2.
数量积的几何意义是什么？
B
b
a b a b cos
O | b | cos
a
A
a b b a cos
ab ba
a与b的数量积等于a的长度 a 与b在a方向上射影 b cos的 乘积，或b的长度 b 与a在b方向上射影 a cos的乘积.
r s
r F
方向一致的分力
r
Fur1的长度为
在 s 方向上的射影.
ur
r
F2
F
θ
r ur s F1
平面向量的数量积的定义如何？
已知两个向量 a 与 b ，它们的夹角为θ ，我们把
|a||b|cosθ 叫作 a 与 b 的数量积（或内积）.记作a·b
a·b =| a ||b | cosθ
注意：向量的数 量积是一个数量.
2 1 1 3 .
①
2
2
2
2
2
2
又 a e1 e2 e1 2e1 e2 e2 3,
2
2
2
2
b e2 2e1 4 e1 4e1 e2 e2 3,
所以 a b 3.
②
设 a 与 b 的夹角为 ， 由①②可得
cos a b
3. a a a.
4. cos a b ( a b 0).
ab
5. a b a b .
当且仅当 a∥ b 时等号成立.
探究 向量的数量积的运算律 设 向 量 a, b, c和 实 数 ， 则 向 量 的 数 量 积 满 足 下 列 运 算 律 ：
(1)a b b a; (2)(a) b (a b) a (b);
3 2
1.
a b 3 3 2
又 0 , 所以 2 .
3
即向量 a 与 b 的夹角为
2 3
.
技巧点拨： 1.以 e1，e2 为基底,计算 e1 e2 的值. 2.利用向量的夹角公式计算.
本节课主要学习了： 1.向量的夹角. 2.向量的射影. 3.向量的数量积. 4.向量的数量积的几何意义和物理意义. 5.向量的数量积的性质和运算律.
向量法证明几何问题的步骤： 1.将三角形的边用有向线段表示. 2.根据向量的运算及向量的几何意义， 写出向量之间的关系. 3.通过平方和向量的数量积整理出所 要的结果.
例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.
D
证明：菱形ABCD中，AB=AD，由于
AC = AD + AB, BD = AD - AB
第二章 平面向量
从力做的功到向量的数量积
实例分析
向量数量积的物理背景
F2FLeabharlann qF1S力 F 对物体做的功为 W = F S cosq
发现
00 ? q 900 q = 900
F 做正功 W > 0 F 不做功 W = 0
900 <q ? 1800 F 做负功 W < 0
问题提出
两个向量的夹角
B b
q
O
a
B b
OB1 = b cosq
q A B1 O
aA
b cosq 叫作向量 b 在 a 方向上的射影（也叫投影）
当θ为锐角时 b cosq ___＞__0
当θ为直角时 当θ为钝角时 b cosq ___=__0 b cosq __＜___0
基础问题
物理实例中，与位移 ︱Fr ︱cosθ ，即是力
(3)a (b c) a b a c.
思考：若a c b c，有a b吗？ 反之成立吗？
解答：不成立. 解答：成立.
例2 在Δ ABC中，设边BC，CA，AB
的长度分别为a，b，c，证明：
a²=b²+c²–2bccosA， b²=c²+a²–2cacosB， c²=a²+b²–2abcosC.
特别地:零向量与任一向量 的数量积为0.
例题讲解
例1 ⑴ 已知|a|=3，|b|=4，且 a 与 b 的夹角
θ =150°，求 a·b .
解：a· b =| a || b |cosθ =3×4×cos150°
=3×4×（-
3 2
）=－6 3..
⑵ 已知 a =(1,1), b =(2,0), a 与b 的夹角θ= 45°
O
可得
AC BD = (AD + AB) (AD - AB)
A
B
(AD)2 - (AB)2
2
2
= AD - AB
=0，
所以，AC BD.
即菱形的两条对角线互相垂直.
【提升总结】
证明线段垂直的方法： 1.取两个不共线的向量作基底. 2.将要证明的向量用这两个向量表示.
3.利用 a b a b 0 进行证明.
例4 已知单位向量 e1 , e2 的夹角为60°，求向量
a e1 e2 , b e2 2e1 的夹角.
解：由单位向量 e1,e2的夹角为60°，得
e1 e2
cos 60
1, 2
所以 a b (e1 e2) (e2 2e1) 2e1 e1 e1 e2 e2 e2
A
c
b
B
C
证明：设 AB c, BC a, AC b, 则
a
a2
a
2
2
BC
BC
BC
(AC - AB)
(AC - AB)
(b c) (b c)
b b c c 2b c
2
2
b c 2b
c cos A
=b²+c²–2 bccosA. 同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理.
计算向量的夹角时要 将两个向量起点放在
一起.
b
a
b
b
q
O
a
00 ＃q 1800
q
O
a
当 q = 00 时，a 与 b 同向，
当q = 900 时，a 与 b 垂直，
当q =1800时，a 与 b 反向，
b
q
O
a
由于零向量的方向是任意 的，为方便起见，
规定:零向量可与任一向量 垂直.
定义
B b
q O a B1 A
特别提醒： 1. a a a 2 2.若 e1, e2 是单位向量,则
e1 e2 e1 e2 cos cos
单位向量 是一种特 殊的向量 哟！
重要性质：
1.若 e是单位向量，则： e a a e a cos .
2. a b a b 0.
求 a· b.
解： | a| = 2 , | b|=2, θ=45°,
所以 a·b =| a || b |cosθ= 2 ×2×cos45°= 2.
数量积的几何意义是什么？
B
b
a b a b cos
O | b | cos
a
A
a b b a cos
ab ba
a与b的数量积等于a的长度 a 与b在a方向上射影 b cos的 乘积，或b的长度 b 与a在b方向上射影 a cos的乘积.
r s
r F
方向一致的分力
r
Fur1的长度为
在 s 方向上的射影.
ur
r
F2
F
θ
r ur s F1
平面向量的数量积的定义如何？
已知两个向量 a 与 b ，它们的夹角为θ ，我们把
|a||b|cosθ 叫作 a 与 b 的数量积（或内积）.记作a·b
a·b =| a ||b | cosθ
注意：向量的数 量积是一个数量.
2 1 1 3 .
①
2
2
2
2
2
2
又 a e1 e2 e1 2e1 e2 e2 3,
2
2
2
2
b e2 2e1 4 e1 4e1 e2 e2 3,
所以 a b 3.
②
设 a 与 b 的夹角为 ， 由①②可得
cos a b
3. a a a.
4. cos a b ( a b 0).
ab
5. a b a b .
当且仅当 a∥ b 时等号成立.
探究 向量的数量积的运算律 设 向 量 a, b, c和 实 数 ， 则 向 量 的 数 量 积 满 足 下 列 运 算 律 ：
(1)a b b a; (2)(a) b (a b) a (b);
3 2
1.
a b 3 3 2
又 0 , 所以 2 .
3
即向量 a 与 b 的夹角为
2 3
.
技巧点拨： 1.以 e1，e2 为基底,计算 e1 e2 的值. 2.利用向量的夹角公式计算.
本节课主要学习了： 1.向量的夹角. 2.向量的射影. 3.向量的数量积. 4.向量的数量积的几何意义和物理意义. 5.向量的数量积的性质和运算律.
向量法证明几何问题的步骤： 1.将三角形的边用有向线段表示. 2.根据向量的运算及向量的几何意义， 写出向量之间的关系. 3.通过平方和向量的数量积整理出所 要的结果.
例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.
D
证明：菱形ABCD中，AB=AD，由于
AC = AD + AB, BD = AD - AB