2020高考数学刷题首秧第八章概率与统计考点测试58不等式选讲文含解析20210506460

考点测试58 不等式选讲
（高|考）概览
本考点是（高|考）必考知识点 题型为解答题 分值10分 中等难度
考纲研读
1．理解绝|对值的几何意义 ,并了解以下不等式成立的几何意义及取等号的条件： |a ＋b |≤|a |＋|b |(a ,b ∈R )； |a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ,b ∈R )
2．会利用绝|对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax ＋b |≤c ； |ax ＋b |≥c ； |x －c |＋|x －b |≥a
3．通过一些简单问题了解证明不等式的根本方法：比拟法、综合法、分析法
一、根底小题
1．不等式1<|x ＋1|<3的解集为( ) A ．(0 ,2) B ．(－2 ,0)∪(2 ,4) C ．(－4 ,0) D ．(－4 ,－2)∪(0 ,2) 答案 D
解析 由－3<x ＋1<－1或1<x ＋1<3 ,得－4<x <－2或0<x <2．应选D ． 2．不等式⎪⎪
⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x
的解集是( )
A ．(0 ,2)
B ．(－∞ ,0)
C ．(2 ,＋∞) D．(－∞ ,0)∪(0 ,＋∞) 答案 A
解析 由|t |>t 知t <0 ,故
x －2
x
<0 ,其解集为0<x <2．应选A ． 3．设ab >0 ,下面四个不等式中 ,正确的选项是( )
①|a ＋b |>|a |；②|a ＋b |<|b |；③|a ＋b |<|a －b |；④|a ＋b |>|a |－|b |． A ．①和② B ．①和③ C ．①和④ D ．②和④
答案 C
解析 ∵ab >0 ,即a ,b 同号 ,那么|a ＋b |＝|a |＋|b | , ∴①④正确 ,②③错误．选C ．
4．假设|mx －1|<3的解集为(－1 ,2) ,那么m 的值是( ) A ．2或－4 B ．2或－1 C ．2或－4或－1 D ．2 答案 D
解析 由方程的思想 ,知－1和2是方程|mx －1|＝3的两个根 ,∴|m ×(－1)－1|＝3 ,解得m ＝2或m ＝－4；
|2m －1|＝3 ,解得m ＝2或m ＝－1 ,故m ＝2．选D ． 5．不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0的解集为________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫14 ＋∞
解析 |2x ＋1|－2|x －1|>0⇔|2x ＋1|>2|x －1| ⇔(2x ＋1)2>4(x －1)2
⇔12x >3⇔x >14 ,
∴原不等式的解集为xx >1
4
．
6．假设不等式|x －1|＋|x ＋3|>a 对任意实数x 恒成立 ,那么实数a 的取值范围为________．
答案 (－∞ ,4)
解析 由题意知(|x －1|＋|x ＋3|)min >a ．因为|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4(当－3≤x ≤1时取等号) ,所以a <4．
二、（高|考）小题
7．(2021·山东（高|考）)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞ ,4) B ．(－∞ ,1) C ．(1 ,4) D ．(1 ,5) 答案 A
解析 ①当x <1时 ,原不等式等价于1－x －(5－x )<2 ,即－4<2 ,∴x <1； ②当1≤x ≤5时 ,原不等式等价于x －1－(5－x )<2 ,即x <4 ,∴1≤x <4； ③当x >5时 ,原不等式等价于x －1－(x －5)<2 ,即4<2 ,无解． 综合①②③知x <4．选A ．
8．(2021·重庆（高|考）)假设函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最|小值为5 ,那么实数
a ＝________．
答案 －6或4
解析 当a ≤－1时 ,f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－3x ＋2a －1(x ≤a ) x －2a －1(a <x ≤－1)
3x －2a ＋1(x >－1)
∴f (x )min ＝－a －1 ,∴－a －1＝5 ,∴a ＝－6； 当a >－1时 ,f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－3x ＋2a －1(x ≤－1)
－x ＋2a ＋1(－1<x ≤a )
3x －2a ＋1(x >a )
∴f (x )min ＝a ＋1 ,∴a ＋1＝5 ,∴a ＝4． 综上 ,a ＝－6或a ＝4． 三、模拟小题
9．(2021·山东德州模拟)假设关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋3|<a 的解集为∅ ,那么实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞ ,1]
B ．(－∞ ,1)
C ．(－∞ ,5]
D ．(－∞ ,5) 答案 C
解析 因为|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5 ,又关于x 的不等式无解 ,所以
a ≤5．选C ．
10．(2021·重庆统考)设正数x ,y ,z 满足2x ＋2y ＋z ＝1 ,那么3xy ＋yz ＋zx 的最|大值为________．
答案 1
5
解析 3xy ＋yz ＋zx ＝3xy ＋(x ＋y )z ＝3xy ＋(x ＋y )·[1－2(x ＋y )]＝3xy ＋(x ＋y )－2(x ＋y )2≤34(x ＋y )2＋(x ＋y )－2(x ＋y )2＝－54(x ＋y )2
＋(x ＋y )＝－54⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋y )－252＋15≤15．当
且仅当x ＝y ＝z ＝15时等号成立 ,即3xy ＋yz ＋zx 取得最|大值1
5
．
一、（高|考）大题
1．(2021·全国卷Ⅰ)f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|． (1)当a ＝1时 ,求不等式f (x )>1的解集；
(2)假设x ∈(0 ,1)时不等式f (x )>x 成立 ,求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时 ,f (x )＝|x ＋1|－|x －1| ,
即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－2
x ≤－1 2x
－1<x <1
2 x ≥1.
故不等式f (x )>1的解集为xx >1
2
．
(2)当x ∈(0 ,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0 ,1)时|ax －1|<1成立． 假设a ≤0 ,那么当x ∈(0 ,1)时 ,|ax －1|≥1 ,不符合题意； 假设a >0 ,|ax －1|<1的解集为0<x <2
a
,
所以2
a
≥1 ,故0<a ≤2．
综上 ,a 的取值范围为(0 ,2]．
2．(2021·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|． (1)当a ＝1时 ,求不等式f (x )≥0的解集； (2)假设f (x )≤1 ,求a 的取值范围．
解 (1)当a ＝1时 ,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋4
x ≤－1 2
－1<x ≤2
－2x ＋6 x >2.
可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4．
而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2| ,且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4． 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2 ,所以a 的取值范围是(－∞ ,－6]∪[2 ,＋∞)． 3．(2021·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|． (1)画出y ＝f (x )的图象；
(2)当x ∈[0 ,＋∞) ,f (x )≤ax ＋b ,求a ＋b 的最|小值．
解 (1)f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
－3x
x <－1
2
x ＋2
－1
2≤x <1 3x x ≥1.
y ＝f (x )的图象如下图．
(2)由(1)知 ,y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2 ,且各局部所在直线斜率的最|大值为3 ,故当且仅当a ≥3且b ≥2时 ,f (x )≤ax ＋b 在x ∈[0 ,＋∞)上成立 ,因此a ＋b 的最|小值为5．
4．(2021·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝－x 2
＋ax ＋4 ,g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|． (1)当a ＝1时 ,求不等式f (x )≥g (x )的解集；
(2)假设不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1 ,1] ,求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时 ,不等式f (x )≥g (x )等价于
x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0．①
当x ＜－1时 ,①式化为x 2
－3x －4≤0 ,无解； 当－1≤x ≤1时 ,①式化为x 2－x －2≤0 , 从而－1≤x ≤1；
当x ＞1时 ,①式化为x 2
＋x －4≤0 , 从而1＜x ≤－1＋17
2
．
所以f (x )≥g (x )的解集为x －1≤x ≤－1＋17
2．
(2)当x ∈[－1 ,1]时 ,g (x )＝2 ,
所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1 ,1]等价于当x ∈[－1 ,1]时 ,f (x )≥2． 又f (x )在[－1 ,1]的最|小值必为f (－1)与f (1)之一 , 所以f (－1)≥2且f (1)≥2 ,得－1≤a ≤1． 所以a 的取值范围为[－1 ,1]．
5．(2021·全国卷Ⅱ)a >0 ,b >0 ,a 3
＋b 3
＝2．证明： (1)(a ＋b )(a 5
＋b 5
)≥4； (2)a ＋b ≤2．
证明 (1)(a ＋b )(a 5
＋b 5
)＝a 6
＋ab 5
＋a 5
b ＋b 6
＝(a 3
＋b 3)2
－2a 3b 3
＋ab (a 4
＋b 4
) ＝4＋ab (a 2
－b 2)2
≥4．
(2)因为(a ＋b )3
＝a 3
＋3a 2
b ＋3ab 2
＋b 3
＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3(a ＋b )2
4(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )3
4 ,
所以(a ＋b )3≤8 ,因此a ＋b ≤2． 二、模拟大题
6．(2021·河南豫南九校联考)函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|． (1)假设关于x 的不等式f (x )<a 有解 ,求实数a 的取值范围； (2)假设关于x 的不等式f (x )<a 的解集为b ,7
2 ,求a ＋b 的值．
解 (1)解法一：不等式等价于a >f (x )min ,
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －2
x >3 4
－1≤x ≤3
2－2x x ＜－1
绘制函数f (x )的图象如下图 ,观察函数的图象 ,可
得实数a 的取值范围是(4 ,＋∞)．
解法二：f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4 ,当且仅当－1≤x ≤3时 ,f (x )取得最|小值4．
关于x 的不等式f (x )<a 有解 ,那么a >4 ,即实数a 的取值范围是(4 ,＋∞)． (2)由题意可得x ＝72是方程|x ＋1|＋|x －3|＝a 的解 ,据此有a ＝72＋1＋7
2－3＝5 ,求解
绝|对值不等式|x ＋1|＋|x －3|<5可得－32<x <7
2
．
故b ＝－32 ,a ＋b ＝5－32＝7
2
．
7．(2021·河北石家庄二模)设函数f (x )＝|x －1|－|2x ＋1|的最|大值为m ． (1)作出函数f (x )的图象；
(2)假设a 2
＋2c 2
＋3b 2
＝m ,求ab ＋2bc 的最|大值． 解 (1)因为f (x )＝|x －1|－|2x ＋1| ,
所以f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
x ＋2
x ≤－12 －3x
－1
2＜x ＜1 －x －2 x ≥1
画出图象如图．
(2)由(1)可知m ＝3
2
．
因为32＝m ＝a 2＋2c 2＋3b 2＝(a 2＋b 2)＋2(c 2＋b 2
)≥2ab ＋4bc ,
所以ab ＋2bc ≤34 ,当且仅当a ＝b ＝c ＝1
2时 ,等号成立．
所以ab ＋2bc 的最|大值为3
4
．
8．(2021·河北唐山一模)设函数f (x )＝|x ＋1|－|x |的最|大值为m ． (1)求m 的值；
(2)假设正实数a ,b 满足a ＋b ＝m ,求
a 2
b ＋1＋
b 2
a ＋1
的最|小值．
解 (1)|x ＋1|－|x |≤|x ＋1－x |＝1 , ∴f (x )的最|大值为1 ,∴m ＝1． (2)由(1)可知 ,a ＋b ＝1 ,
∴a 2b ＋1＋b 2
a ＋1＝13a 2
b ＋1＋b
2
a ＋1
[(a ＋1)＋(b ＋1)] ＝13a 2
(a ＋1)b ＋1＋b 2
(b ＋1)a ＋1＋a 2＋b 2≥13(2ab ＋a 2＋b 2)＝13(a ＋b )2＝13 , 当且仅当a ＝b ＝1
2时取等号 ,
∴
a 2
b ＋1＋b 2
a ＋1的最|小值为1
3
． 9．(2021·山西晋中二模)函数f (x )＝|x ＋1|．
(1)假设∃x 0∈R ,使不等式f (x 0－2)－f (x 0－3)≥u 成立 ,求满足条件的实数u 的集合M ； (2)t 为集合M 中的最|大正整数 ,假设a >1 ,b >1 ,c >1 ,且(a －1)(b －1)(c －1)＝t ,求证：abc ≥8．
解 (1)由得f (x －2)－f (x －3)＝|x －1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧
－1
x ≤1
2x －3
1＜x ＜2
1 x ≥2
那么－
1≤f (x )≤1 ,
由于∃x 0∈R ,使不等式|x 0－1|－|x 0－2|≥u 成立 ,所以u ≤1 ,即M ＝{u |u ≤1}．
(2)证明：由(1)知t ＝1 ,那么(a －1)(b －1)(c －1)＝1 ,
因为a >1 ,b >1 ,c >1 ,所以a －1>0 ,b －1>0 ,c －1>0 , 那么a ＝(a －1)＋1≥2a －1>0(当且仅当a ＝2时等号成立) ,
b ＝(b －1)＋1≥2b －1>0(当且仅当b ＝2时等号成立) ,
c ＝(c －1)＋1≥2c －1>0(当且仅当c ＝2时等号成立) ,
那么abc ≥8(a －1)(b －1)(c －1)＝8(当且仅当a ＝b ＝c ＝2时等号成立)． 10．(2021·河南郑州二模)函数f (x )＝|2x ＋1| ,g (x )＝|x |＋a ． (1)当a ＝0时 ,解不等式f (x )≥g (x )；
(2)假设存在x ∈R ,使得f (x )≤g (x )成立 ,求实数a 的取值范围．
解 (1)当a ＝0时 ,由f (x )≥g (x )得|2x ＋1|≥|x | ,两边平方整理得3x 2
＋4x ＋1≥0 , 解得x ≤－1或x ≥－1
3
,
∴原不等式的解集为(－∞ ,－1]∪－1
3 ,＋∞．
(2)由f (x )≤g (x )得a ≥|2x ＋1|－|x | , 令h (x )＝|2x ＋1|－|x | ,
那么h (x )＝⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧
－x －1
x ≤－12 3x ＋1
－12<x <0 x ＋1.x ≥0
故h (x )min ＝h －12＝－1
2
,
所以实数a 的取值范围为a ≥－1
2．。