安徽省宿州市高三数学第二次素质测试试题(文科)

安徽省宿州市2008-2009学年度高三第二次素质测试
数 学 试 卷（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.请将答案涂在答题卡相应的位置。

) 1. 已知集合{})90sin(,0cos 0-= A ，{}
02=+=x x x B ，则B A ⋂为（C ） {}1,0.-A {}1,1.-B {}1.-C {}0.D
2 . 某校举行青年教师师德演讲比赛共有12名选手参赛，请了8名评委。

如图的茎叶图是8名评委给参加最后决赛的两位选手甲，乙评定的成绩，则甲选手成绩的中位数及乙选手成绩中众数出现的频率分别是( )
A.84.5 0.375
B.83.5 0.325
C.84 0.50
D.85 0.25
3.设m,n ，l 表示不同直线,γ,β,α表示三个不同平面,则下列命题正确是 （ B ） A. 若m ⊥l ，n ⊥l ，则m ∥n B. 若m ⊥β,m ∥α，则α⊥β C. 若α⊥γ, β⊥γ，则α∥β D. 若α γ=m ，β γ=n ，m ∥n,则α∥β
4. 设x 0是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则x 0属于区间( B ) A. （3，4） B. （2，3） C. （1，2） D. （0，1）
5. 已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在（-∞，]0上是减函数，若)2()(f a f ≥，则实数a 的取值
范围是（ B ）
A ．a ≤2
B ．a ≤-2或a ≥2
C ．a ≥-2
D ．-2≤a ≤2 6．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是( C )
A ．2
2
a b < B ．
2b a a b +> C ．220a b -< D ． 11a b
> 7.△ABC 中，AB=AC ，BC=2,则=⋅（A ）
2.-A 2.B 1.-C .D 不确定
8．已知函数x x x f sin cos )(=)(R x ∈，给出下列四个命题：其中真命题是 （ D ） ①若)()(21x f x f -=，则21x x -= ②)(x f 的最小正周期是π2 ③在区间]4,4[π
π-
上是增函数 ④)(x f 的图象关于直线4
3π
=x 对称
7
A ．①②④
B ．①③
C ．②③
D ．③④
9. 探索右图规律：则根据规律，从2004到2006，箭头的方 向依次是( A )
A.向下再向右
B.向右再向上
C.向上再向右
D.向右再向下
10.若函数f （x ）的导数是f /(x )=－x (a x +1)(a<0),则函数f (x )的单调减区间是（ C ）
A. [
]0,1
a B. (1,0],[,)a -∞+∞ C. [a 1,0-] D.( 1
,0],[,)a
-∞-+∞
11.右面给出一个程序框图，则输出x 的值是 （ D ） A. 42 B. 43 C. 88 D. 89
12. 椭圆
13
122
2=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1在y 轴上，且|PF 1|=t|PF 2|,则t 的值为（ D ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置。

13. 记等比数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公比q 是 2
± 14 . 圆x 2+y 2-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得弦长等于 15. 半径为R 的球放在房屋的墙角处，球与围成墙角的三个互相垂直的面都相切，若球心到墙角的距离是
3，则球的表面积是__π4 _____。

16. 给出下列四个命题：其中正确命题序号为 （1）存在x ∈N +
,使x 为29的约数
（2）“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件 (3)“全等三角形的面积相等”的否命题
(4)对于线性相关的两个变量而言，若相关系数的绝对值越接近于1，则两个变量的 相关程度就越大。

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
1
2
6
7 9
10
11 …… ， 3 4 0 8
已知：复数1cos () z b C a c i =++,2(2)cos 4 z a c B i =-+,且12z z =，其中B 、C 为△ABC 的内角，a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边． （Ⅰ）求角B 的大小；
(Ⅱ)
若b =ABC 的面积．
17.解：（Ⅰ）∵12z z = ∴cos (2)cos b C a c B =-----①,4a c +=----② 由①得2cos cos cos a B b C c B =+------③
在△ABC 中,由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+
2sin cos sin()sin()sin A B B C A A π=+=-=
∵ 0A π<< ∴sin 0A > ∴1cos 2B =
,∵0B π<< ∴3
B π
= …………6分 (Ⅱ)
∵b =由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-⇒228a c ac +-=,--④
由②得22
216a c ac ++=-⑤ 由④⑤得83
ac =
，∴1sin 2ABC S ac B ∆=
=1823⨯=……………………………12分 18.已知集合{2,0,1,3},A =-在平面直角坐标系中，点M(x,y)的坐标,x A y A ∈∈。

（1）请列出点M 的所有坐标； （2）求点M 不在y 轴上的概率；
（3）求点M 正好落在区域50
00x y x y +-<⎧⎪
>⎨⎪>⎩
上的概率。

解：（1）
集合A ＝{-2,0,1,3},点M(x,y)的坐标,x A y A ∈∈，
∴点M 的坐标共有：4416⨯=个，分别是：
（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（0,-2），（0,0），（0,1），（0,3）；
（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）…………………….4分 （2）点M 不在y 轴上的坐标共有12种：
（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）； （3,-2），（3,0），（3,1），（3,3） 所以点M 不在y 轴上的概率是1123
164
P =
=………………………………………..8分
（3）点M 正好落在区域5000x y x y +-<⎧⎪
>⎨⎪>⎩
上的坐标共有3种：（1,1），（1,3），（3,1）
故M 正好落在该区域上的概率为23
16
P =…………………………………………………12分 19.(本小题满分12分)
一个多面体的直观图如图所示（其中N M ,分别为BC AF ,的中点） （1）求证：//MN 平面CDEF （2）求多面体CDEF A -的体积
D
F
B
A
19 .由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱BCF ADE -，且2===BF BC AB ，
22==CF DE ，2
π
=
∠∴CBF
)1(取BF 的中点G ，连NG MG ,，由N M ,分别为BC AF ,中点可得EF MG CF NG //,//，
∴平面//MNG 平面CDEF ，∴//MN 平面CDEF 。

)2(取DE 中点H ，,AE AD = ,DE AH ⊥∴在直三棱柱BCF ADE -中，平面⊥ADE 平面
CDEF ，面 A D E 面DE CDEF =，⊥∴AH 面CDEF ，∴多面体CDEF A -是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥，在ADE ∆中，,24,2=⋅==EF DE S AH CD EF 矩形∴棱锥CDEF A -的体积
3
1=
V 3822431=⨯⨯=⋅AH S CDEF 矩形。

19． （本小题满分12分）
已知函数.2
1)(2
3
c bx x x x f ++-
= （1）若)(x f 有极值，求b 的取值范围；
（2） 若)(x f 在1=x 处取得极值时，当2)(,
]2,1[c x f x <-∈时恒成立，求c 的取值范围；
俯视图
左视图
主视图
2
2
2
222
2
（3）若)(x f 在1=x 处取得极值时，证明：对[－1，2]内的任意两个值12,,x x 都有127
|()()|2
f x f x -≤． 19．（1）()'23f x x x b =-+，
（1分） 令()0'=x f ，
（2分） 由0∆>得1-12b>0即112
b <
（4分）
（2）
()()'110f x x f =∴=在处取得极值，∴3-1+b=0，得b=-2， （5分）
令()0'=x f ，得3
2
1-
=x ，12=x ， （6分） 可以计算得到()c x f +=2max ，
（7分） 所以2
2c c <+，得到2>c 或1-<c
（8分） （3）可以计算得到()c x f +=2max ， ()c x f +-=2
3
min ，
（10分）
∴对[－1，2]内的任意两个值12,,x x 都有()()2
7
23221=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+≤-c c x f x f （12分）
21．（本小题满分12分）
已知定点)01
(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是1
2
-
，求直线AB 的方程； （Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)y k x =+，
将(1)y k x =+代入5322=+y x ， 消去y 整理得 2222(31)6350.k x k x k +++-= .. 2分
设1122() () A x y B x y ，，，， 则4222
122364(31)(35)0 (1) 6. (2)
31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪
⎨+=-⎪+⎩
，….. 4分 由线段AB 中点的横坐标是12-， 得
212231
2312
x x k k +=-=-+，
解得3
k =±
，适合(1). ………….. 5分
所以直线AB 的方程为
10x +=，或
10x +=. ………….. 6分 （Ⅱ）解：假设在x 轴上存在点(,0)M m ，使MB MA ⋅为常数.
①当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A B ，
的坐标分别为11⎛⎛
-- ⎝⎝、， 当73m =-
时，有4
.9
MA MB ⋅= …………7分 ②当直线AB 与x 轴不垂直时，由（Ⅰ）知 2212122
2635
. (3)3131
k k x x x x k k -+=-=++， 所以212121212()()()()(1)(1)MA MB x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+++ 22221212(1)()().k x x k m x x k m =++-+++ ………….. 8分
将(3)代入，整理得 22
2222114(2)(31)2(61)5333131
m k m m k MA MB m m k k -+--
--⋅=+=+++ 2
21614
2.33(31)
m m m k +=+-
-+ 注意到⋅是与k 无关的常数， 从而有761403
m m +==-，， 此时4
.9
MA MB ⋅=
.. 12分 综上，在x 轴上存在定点703M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，，使MB MA ⋅为常数49
. 22 .(本小题满分14) 定义n x x x ...,21的“倒平均数”为
n
x x x n ⋅⋅⋅++21（*
N n ∈）已知数列{}n a 的前n 项的“倒平均数”为421+n
（1） 求：数列{}n a 的通项公式
（2） 设函数5
()(0,1
(1)(1)2
x
g x a a a g g =>≠+-=），且，数列{}b n 满足 n b (n)g =、13b >b 记n n n c =a b ⋅，求数列{}c n 的前n 项的和n T
（3） 已知函数01
4)(2
≤+-+-=n a x x x f n
对任意*N n ∈恒成立，求：实数x 的取值范围 18解：（1）由
4
2121+=+⋅⋅⋅++n a a a n n 得：n a a a +⋅⋅⋅++21=n n 422
+
则2
121)1(2-=+⋅⋅⋅++-n a a a n +4(n-1),两式相减得24+=n a n （n ≥2）
又1a =6适合上式，所以24+=n a n ，（n ∈N *
） 4分
（2） 1n 11
n 13n 55111f 1f 1a+a a b 2b >b ,b 22222
---=∴=∴=由（
）+（-）=得解=2或或（），又（） n n n 1c a b (42)2n n ∴=⋅=+（） 1212n 231111c +c +c (412)(422)(42)222
1111(412)(422)(42)2222
n
n n n T n T n +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯++⨯++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯+=⨯++⨯++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯+（）（）（）
（）（）（）
两式相减得：231
11111(1)34(42)5(25)2
2
22
22
n n n
n T n n ⎡⎤-=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⨯+=-+⎢⎥
⎣⎦
（）（）（）（）（） 1
110(25)2
n n T n -∴=-+（） 8分
（3）由14)(2
+-
+-=n a x x x f n ≤0对任意*N n ∈恒成立，则1
42+≤+-n a x x n 对任意*
N n ∈都成立，而
12
41241+-=++=+n n n n a n 为单调增的1+∴n a n 的最小值为1
11+a =3， 令342
≤+-x x 得：x ≥3或x ≤1 12分
1
2
6
7 9
10
11 …… ， 3 4 0 8。