人教版数学高二-人教A版选修4-5 评估验收卷(三)

评估验收卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设xy ＞0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4y 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y 2＋1x 2的最小值为( )
A ．－9
B ．9
C ．10
D ．0
解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2
y 2
⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y 2≥⎝
⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋2y ·y 2＝9. 答案：B
2．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5 元、3 元、2 元的奖品，则至少要花( )
A ．300 元
B ．360 元
C ．320 元
D ．340 元 解析：由排序原理，反序和最小．
所以最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元)． 答案：C
3．设a 1，a 2，a 3是数1，2，3的任一排列，b 1，b 2，b 3是数4，5，6的任一排列，则a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3的取值范围是( )
A ．[28，32]
B ．[28，44]
C ．[32，44]
D ．[44，56]
解析：1，2，3与4，5，6反序和是28.顺序和是32，故a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3最小是反序和28，最大是顺序和32.选A.
答案：A
4．设α，β均为锐角，则1sin 2α＋4
cos 2αsin 22β的最小值为( )
A ．2 2 B. 2 C ．1 D ．9
解析：(sin 2
α＋cos 2
α)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2α＋4cos 2αsin 22β＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋2sin 2β2
，
因为β为锐角，
所以当sin 2β＝1时取最小值32＝9.选D. 答案：D
5．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 解析：2x ＋y ＝2×2x ＋1·y ≤（2）2＋12·
（2x ）2＋y 2
＝3×
2x 2＋y 2＝ 3.
当且仅当⎩⎨⎧2x ＝2y ，2x 2＋y 2＝1
即x ＝y ＝3
3
时，等号成立．
答案：C
6．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z 的值是( )
A.2147
B.3147
C.4147
D.
147
解析：由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14，因此x ＋2y ＋3z ≤14.因为x ＋2y ＋3z ＝14，所以x ＝y 2＝z
3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147
.
7．已知a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2
n ＝1，则a 1x 1＋
a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( )
A ．1
B ．2 C.1
2 D ．4
解
析
：
a 1x 1
＋
a 2x 2
＋
…
＋
a n x n
≤
a 21＋a 22＋…＋a 2n ·x 21＋x 22＋…＋x 2
n ＝1.故应选A.
答案：A
8．已知x 21＋x 22＋x 23＝1，y 21＋y 22＋y 2
3＝2，则x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3的最
大值是( )
A ．2
B ．3 C. 2 D. 3
解析：因为x 21＋x 22＋x 23＝1，y 21＋y 22＋y 23＝2，
所以(x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3)2≤(x 21＋x 22＋x 23)(y 21＋y 22＋y 23)＝1×2＝2，
所以x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3≤ 2.
当x 1y 1＝x 2y 2＝x 3y 3＝2
2时，取“＝”，故选C. 答案：C
9．已知x ，y ，z ＞0，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z
3的最小值是( )
A ．5
B ．6
C ．8
D ．9
解析：x ＋y 2＋z 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋3z ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1
x
·x ＋2y ·y 2
＋3z ·z 32
＝9. 所以⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3min ＝9.故应选D.
10．设a 1，a 2，a 3为正数，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1
a 2
与a 1＋a 2＋a 3大小为( )
A ．＞
B ．≥
C ．＜
D ．≤
解析：不妨设a 1≥a 2≥a 3＞0，于是1a 1≤1a 2≤1
a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，
由排序不等式：顺序和≥乱序和，得
a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1
a 1·a 1a 2＝a 3＋a 1＋a 2. 即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. 答案：B
11．若a ，b ，c 为正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b a ＋
c b ＋a c 的最小值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．9
解析：由柯西不等式可知⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫
b a ＋
c b ＋a c ≥
⎝
⎛
⎭
⎪⎫
a b ·b a ＋b c ·c b ＋c a ·a c 2
＝32＝9. 答案：D
12．设x 1，x 2，…，x n 取不同的正整数，则m ＝x 112＋x 222＋…＋x n
n 2的
最小值是( )
A ．1
B ．2
C ．1＋12＋13
＋…＋1
n
D ．1＋122＋132＋…＋1
n
2
解析：设a 1，a 2，…，a n 是x 1，x 2，…，x n 的一个排列，且满足
a 1＜a 2＜…＜a n ，故a 1≥1，a 2≥2，…，a n ≥n .
又因为1＞122＞132＞…＞1n 2，所以x 11＋x 222＋x 332＋…＋x n
n 2≥a 1＋a 222＋a 332
＋…＋a n
n 2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n ·1n 2＝1＋12＋13＋…＋1n .故应选
C.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．函数y ＝22－x ＋2x －3的最大值是________． 解析：y ＝2·4－2x ＋
2x －3≤
[（2）2＋1]（4－2x ＋2x －3）＝ 3. 当且仅当x ＝5
3时，等号成立．
答案：3
14．设a ，b ＞0，若a 2＋b 2＝5，则a ＋2b 的最大值为________． 解析：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，即25≥(a ＋2b )2. 所以(a ＋2b )max ＝5. 答案：5
15．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，x ＋y ＋z ＝9，则x ＋y ＋z 的最大值是________．
解析：(x ＋y ＋z )2≤(12＋12＋12)·(x ＋y ＋z )＝3×9＝27.所以x ＋y ＋z ≤3 3. 答案：3 3
16．边长为a ，b ，c 的三角形，其面积为1
4，外接圆半径为1，
若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1
c
，则s 与t 的大小关系是___________．
解析：S △＝abc 4R ＝abc 4＝1
4，
即abc ＝1，
所以t ＝ab ＋bc ＋ca ，
t 2
＝(ab ＋bc ＋ca )⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ＋1b ＋1c ≥(a ＋b ＋c )2＝s 2，
又a ，b ，c ＞0， 所以s ≤t .
a ＝
b ＝
c ＝1时，等号成立． 但此时S △＝3
4≠1，矛盾．
故等号不成立，即s ＜t . 答案：s ＜t
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设a ＝(1，0，－2)，b ＝(x ，y ，z )，若x 2
＋y 2＋z 2＝16，求a ·b 的最大值．
解：因为a ＝(1，0，－2)，b ＝(x ，y ，z )， 所以a ·b ＝x －2z .
由柯西不等式[12＋0＋(－2)2](x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋0－2z )2⇒5×16
≥(x －2z )2⇒－45≤x －2z ≤45⇒－45≤a ·b ≤45，
故a ·b 的最大值为4 5.
18．(本小题满分12分)已知0＜a ≤b ≤c ，求证c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋
a 2
b ＋
c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a
. 证明：因为0＜a ≤b ≤c ， 所以0＜a ＋b ≤c ＋a ≤b ＋c ， 所以1a ＋b ≥1c ＋a ≥1b ＋c ＞0，
又0＜a 2≤b 2≤c 2，
所以c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c 是顺序和，a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2
c ＋a 是乱序和，
由排序原理可知顺序和大于等于乱序和，
即不等式c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2
c ＋a 成立．
19．(本小题满分12分)已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，x ＋y ＋z ＝3. (1)求1x ＋1y ＋1
z 的最小值；
(2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2＜9.
(1)解：因为x ＋y ＋z ≥33
xyz ＞0， 1x ＋1y ＋1z ≥33
xyz
＞0，
所以(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≥9，即1x ＋1y ＋1
z ≥3，
当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，1x ＋1y ＋1
z 取得最小值3.
(2)证明：x 2＋y 2＋z 2＝
x 2＋y 2＋z 2＋（x 2＋y 2）＋（y 2＋z 2）＋（z 2＋x 2）
3≥
x 2＋y 2＋z 2＋2（xy ＋yz ＋zx ）3＝（x ＋y ＋z ）2
3
＝3.
又x 2＋y 2＋z 2－9＝x 2＋y 2＋z 2－(x ＋y ＋z )2＝－2(xy ＋yz ＋zx )＜0， 所以3≤x 2＋y 2＋z 2＜9.
20．(本小题满分12分)设不等式|x －2|＞1的解集与关于x 的不等式x 2－ax ＋b ＞0的解集相同．
(1)求a ，b 的值；
(2)求函数f (x )＝a x －3＋b 5－x 的最大值，以及取得最大值时x 的值．
解：(1)不等式|x －2|＞1的解集为{x |x ＜1或x ＞3}， 所以，不等式x 2－ax ＋b ＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞3}， 所以a ＝4，b ＝3.
(2)函数的定义域为[3，5]，显然有f (x )＞0，由柯西不等式可得： f (x )＝4x －3＋35－x ≤
42＋32·
（
x －3）2＋（
5－x ）2＝52， 当且仅当4
5－x ＝3
x －3时等号成立，
即x ＝107
25
时，函数取得最大值5 2.
21．(本小题满分12分)(1)关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a 的解集不是空集，求a 的取值范围；
(2)设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 2
4＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．
解：(1)因为|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1，且|x －3|＋|x －4|＜a 的解集不是空集，
所以a ＞1，即a 的取值范围是(1，＋∞)． (2)由柯西不等式，得
[42＋(5)2＋22]·
⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫4·x 4
＋5·y 5＋2·z 22
＝(x ＋y ＋z )2， 即25×1≥(x ＋y ＋z )2.
所以5≥|x ＋y ＋z |，所以－5≤x ＋y ＋z ≤5. 所以x ＋y ＋z 的取值范围是[－5，5]．
22．(本小题满分12分)设x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n
1＋x n ≥1n ＋1
.
证明：因为x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，
所以n ＋1＝(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )．
又⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2
n 1＋x n (n ＋1)＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2
n 1＋x n [(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )]≥(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，
当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＝1
n 时，等号成立．
所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n
1＋x n ≥1n ＋1.。