湖南省长沙市一中2011届高三第三次月考理科数学试题

f (x) | x | 1 ．则方程 f (x) log4 | x | 在区间[10,10] 内的解个数是（ C ）
A．20
B．12
y
C．11
D．10
4
【解析】（数形结合）在同一直角坐标内作
出函数 f (x) 和 y log4 | x | 的图象如右图， 由图易知， y f (x) 与 y log4 | x | 的图象 在[10, 0] 有两个交点，在 (0,10] 内有 9 个 交点，故方程 f (x) log4 x 在区间[10,10] 内共有 11 个解．
[a, b] 上 的 图 像 如 图 所 示 ， 且 a x0 b ， 那 么
（B）
A． F '(x0 ) 0, x x0 是 F (x) 的极大值点
B． F '(x0 ) = 0, x x0 是 F (x) 的极小值点
C． F '(x0 ) 0, x x0 不是 F (x) 极值点
（2）若 BC 边上的中线 AM 的长为 7 ，求△ABC 的面积．
18．（本小题满分 12 分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处，
已知 AB=AC=6km，现计划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个变电站．记 P 到三个
村庄的距离之和为 y.
A
（1）设 PBO ，求 y 关于 的函数关系式；
．
13．设有算法如右图：如果输入 A=144, B=39,则输出的结
果是
.
14． 设 函 数 f (x) x2 ax a 3 , g(x) ax 2a ． 若
x0 R ，使得 f (x0 ) 0 与 g(x0 ) 0 同时成立，则实数 a 的取值范围是
．
15．当 n 为正整数时，定义函数 N (n)表示 n 的最大奇因数．如 N (3) = 3，N (10) = 5，…． 记 S(n) N (1) N (2) N (3) N (2n ) ．
（1）求证：数列 b1,b2 ,,bn 成等比数列；
n
（2）若 ak 2k 1(k 1, 2,, n) ，求和 akbk . k 1
21．（ 本 小 题 满 分 13 分 ） 已 知 函 数 f (x) 的 图 象 在 [a,b] 上 连 续 不 断 ， 定 义 ：
f1(x) min{ f (t) | a t x} (x [a,b]) ， f2 (x) max{ f (t) | a t x} (x [a,b]) ． 其 中 ， min{ f (x) | x D} 表示函数 f (x) 在 D 上的最小值， max{ f (x) | x D} 表示函数 f (x) 在
3
【解析】由已知得，

2, 所以f
(x)

sin(2x

),当x 3

3
时，f
(x)
=
0，故点

3
,
0

是它的一
个对称中心．
4．如右图，设 e1, e2 为互相垂直的单位向量，则向量 a b 可表示为（ A ）
A． e1 3e2
B． 2e1 4e2
C． 3e2 e1
D 上的最大值．若存在最小正整数 k ，使得 f2 (x) f1(x) k(x a) 对任意的 x [a,b] 成
立，则称函数 f (x) 为[a,b] 上的“ k 阶收缩函数”．
（1）已知函数
f
(x)

2 sin
x,
x [0, ] ，试写出 2
f1 ( x)
，
f2 (x)
的表达式，并判断
20．（本小题满分 13 分）设数列{an} 是有穷等差数列，给出下面数表：
a1
a2
a3 …… an1
an
a1 a2 a2 a3 ……
an1 an
…
… …
第1行 第 2 行
…
…
…
第 n 行
上表共有 n 行，其中第 1 行的 n 个数为 a1, a2 , a3,, an ，从第二行起，每行中的每一个数 都等于它肩上两数之和.记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为 b1,b2 ,,bn ．
（）
A． F '(x0 ) 0, x x0 是 F (x) 的极大值点
B． F '(x0 ) = 0, x x0 是 F (x) 的极小值点
C． F '(x0 ) 0, x x0 不是 F (x) 极值点
D． F '(x0 ) 0, x x0 是 F (xC 内一点，若 k R ，有 | OA OB k BC | | OA OC | ，则△ ABC 的形状
A． P Q
B． P Q R
C． P Q
D． Q P
2．若函数 f (x) 的定义域为 R, 则“函数 f (x) 为奇函数”是“函数 f (x) 奇函数”的
（）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
3．已知函数 f (x) sin( x )( 0) 的最小正周期为 ，则该函数图象（
D． 3e1 e2
5．设数列an ，bn 分别为等差数列与等比数列，且 a1 b1 4, a4 b4 1，则以下结论
正确的是（ A ）
A. a2 b2
B. a3 b3
C. a5 b5
D. a6 b6
【解析】设等差数列的公差为d，等比数列公比为q, 由a1 b1 4, a4 b4 1，
D． F '(x0 ) 0, x x0 是 F (x) 极值点
7．设 O 为△ ABC 内一点，若 k R ，有 | OA OB k BC | | OA OC | ，则△ ABC 的形状
一定是（ B ）
A．锐角三角形 B． 直角三角形
C．钝角三角形 D．不 能确定
【解析】由题设得， | BA k BC | | AC | ，再由向量的几何意义易知， AC BC ，故选 B．
8．已知函数 f (x) 满足：①定义域为 R；② x R ，有 f (x 2) 2 f (x) ；③当 x [1,1] 时，
22
（1）若 AC BC ，求角 的值；
（2）若
AC
ABC

1
，求
tan(


)
的值．
4
17．(本小题满分 12 分)在△ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 sin A sin B cos C ， （1）求角 A，B，C 的大小；
．
1 i
10．计算 2 sin x 2dx 2
．
11．已知{ an }是各项均为正数的等比数列， a1a2a3 =5， a7a8a9 =10，则 a4a5a6 =
．
12．已知函数
f
(x)

2 cos
3
x
x 2000
，
x 100 x 2000
则 f [ f (2010)]
）
A．20
B．12
y
C．11
D．10
4
2
y log4 | x |
11
2
3 2 1 0 1 2 3 4 5
y log4 | x |
x
选择题答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上．
9．复数 z 1 i 的实部与虚部之和为
f
(x)
是否
为[0, ] 上的“ k 阶收缩函数”，如果是，请求对应的 k 的值；如果不是，请说明理由； 2
（2）已知 b 0 ，函数 g(x) x3 3x2 是 [0,b] 上的 2 阶收缩函数，求 b 的取值范围.
理科数学教师用卷
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
5．设数列an ，bn 分别为等差数列与等比数列，且 a1 b1 4, a4 b4 1，则以下结论
正确的是（
）
A. a2 b2
B. a3 b3
C. a5 b5
D. a6 b6
6. 函数 y f '(x) 是函数 y f (x) 的导函数，且函数 y f (x) 在点 p(x0 , f (x0 )) 处的切线为 l : y g(x) f '(x0 )(x x0 ) f (x0 ), F (x) f (x) g(x) ，如果函数 y f (x) 在区间 [a, b] 上 的 图 像 如 图 所 示 ， 且 a x0 b ， 那 么
2
y log4 | x |
11
2
3 2 1 0 1 2 3 4 5
长沙市一中 2011 届高三第三次月考试卷
理科数学
命题人：长沙市一中高三数学备课组
时量：120 分钟
满分：150 分
（集合、逻辑、算法、复数、函数、导数、三角函数、平面向量、数列）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．设集合 P {x x 1} ， Q {x x2 x 0 }，则下列结论正确的是 （ ）
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
3．已知函数 f (x) sin( x )( 0) 的最小正周期为 ，则该函数图象（ D ） 3
A．关于直线 x 对称 6
B．关于直线 x 对称 3
C．关于点( ，0)对称
6
D．关于点( ，0)对称
得d 1,
q

32 2
，于是 a2
3
b2

23
2, 故选
A
6. 函数 y f '(x) 是函数 y f (x) 的导函数，且函数 y f (x) 在点 p(x0 , f (x0 )) 处的切线为 l : y g(x) f '(x0 )(x x0 ) f (x0 ), F (x) f (x) g(x) ，如果函数 y f (x) 在区间
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？
P
B
O
C
（第 18 题图）
19．（本小题满分 13 分）已知 x
2
是函数
f
(x)

(x2 bx,

2ax)ex ,
x x

0 0
的极值点．
（1）当 b 0 时，讨论函数 f (x) 的单调性；
（2）当 b R 时，函数 y f (x) m 有两个零点，求实数 m 的取值范围.
则（1） S(4) 86 ．（2） S(n)
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分 12 分）已知 A,B,C 三点的坐标分别为 A(3,0) ， B(0,3) ， C(cos ,sin ) ，
其中

(
,
3
)
．
1．设集合 P {x x 1} ， Q {x x2 x 0 }，则下列结论正确的是 （ C ）
A． P Q
B． P Q R
C． P Q
D． Q P
2．若函数 f (x) 的定义域为 R, 则“函数 f (x) 为奇函数”是“函数 f (x) 奇函数”的
（C） A．充分非必要条件
）
3
A．关于直线 x 对称 6
B．关于直线 x 对称 3
C．关于点( ，0)对称 6
D．关于点( ，0)对称 3
4．如右图，设 e1, e2 为互相垂直的单位向量，则向量 a b 可表示为（ ）
A． e1 3e2
B． 2e1 4e2
C． 3e2 e1
D． 3e1 e2
一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
8．已知函数 f (x) 满足：①定义域为 R；② x R ，有 f (x 2) 2 f (x) ；③当 x [1,1] 时，
f (x) | x | 1 ．则方程 f (x) log4 | x | 在区间[10,10] 内的解个数是（