广西梧州高级中学高三数学上学期调研考试试题 理(扫描

广西梧州高级中学2016届高三数学上学期调研考试试题理（扫描
版）
高三调研考试（三） 数学（理科）参考答案
1. 【答案】B
【解析】因为{}
{}210||11N x x x x ≥=-=≤≤-，又12|M x x ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭
，所以
{}|1M N x x =≥-U .所以=⋃)(N M C R ｛x|x<-1｝.故选B.
2. 【答案】A
【解析】由题知i i i z z 31)2)(1(21+=++=⋅，对应点是(1,3)在第一象限. 故选A. 3. 【答案】C
【解析】根据命题的否定的定义知，命题“00
0,313
1
x
x x ∃+∈≤R ”的否定为“3131
,x x
x ∀+∈>R ”.故选C. 4. 【答案】C
【解析】()22'2x e f x a =+，则函数()22x
e f x x a
=+在点()()0,0f 处的切线方程为()220y x f a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即122y x a a ⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭
.因为切线过点()1,1，所以代入得1212a a -=+，
解得3a =-.
5. 【答案】D
【解析】设单位向量为(),x y b =，则2
2
1x y +=.由平面向量12,33⎛⎫
--
⎪⎝⎭
a =与
b 垂直，所以ab =0323),()32,31(=--=⋅--y
x y x ，化简得20x y +=.联立221,20,x y x y ⎧+=⎨
+=⎩可
得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或,5
5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭b =
或55⎛- ⎝⎭b =. 6. 【答案】D
【解析】()()()()20162014201200f f f f -=-=-=⋯==，
2
11111111222016201420122222228f f f f f ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎝⎭⎝⎭-=-=-=⋯=-=-=-=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以()111201620160288
f f ⎛
⎫-+-=+= ⎪⎝⎭. 7. 【答案】A
【解析】因为tan 50x y α--=可化为5tan tan x y αα=
-
，且0,4πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以()tan 0,1α∈.
所以
()11,tan α∈+∞.设直线tan 500,4x y παα⎛⎫
⎛⎫--=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的倾斜角为θ，则 ()1tan 1,tan θα=∈+∞.所以,42ππθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
8.【答案】A
【解析】当0x <时，若输出的1y =-，则cos 16x π
⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，得()26x k k πππ=+∈Z ，解
得()126x k k =+∈Z .观察四个选项，发现只有6-满足；当0x ≥时，若输出的1y =-，则
2log 1x =-，解得1
2
x =
.观察四个选项，没有符合的情况.故选A.
9. 【答案】A
【解析】画出约束条件13,1322
x x y y x ⎧⎪≥⎪
+≤⎨⎪⎪≥-⎩，表示的可行域如图阴影部分所示，
由2z x y =+，得2y x z =-+，表示斜率为－2，在y 轴上的截距为z 的直线系，平移直线
2y x z =-+，当其经过可行域内的点B 时，截距最小，z 最小，由11322
x y x =⎧⎪
⎨=-⎪⎩，得点()1,1B -，
则()min 2111z =⨯+-=.故选A.
10. 【答案】A
【解析】因为ABC ∆33，所以33a b c ++=.即233b c ++=.所以
31b c +=①.由余弦定理，得2
1
2222cos 222222=⋅⨯-+=-+=b c b ab c b a C ②，由①②，解
得1,3b c ==
故选A.
11. 【答案】B
【解析】因为3.14 3.15π<<，所以 3.14log 1a π=>； 因为12016
2016
1π
π>=
，1
013.15<<，所以1201613.15log 0π⎛⎫ ⎪⎭<⎝
.即0b <；
1
2016
12016
2016
1
c π
π
π
-
=
=
=，因为20161π>，所以2016
01π
<
<.即01c <<.
所以a c b >>.故选B.
12. 【答案】B
【解析】因为函数()()ln 22x a a x f x =+-∈R 在[]1,e 上单调递增.下面证明()f b b =.假设()f b c b =>，则()()()()f
f b f c f b c b >=>=，不满足()()f f b b =；同理假设
()f b c b =<，也不满足()()f f b b =.综上，()f b b =.令函数()ln 22x a x x f x =+-=，
得ln 2a x x =+.令()[],1e ln 2,x g x x x =+∈，得()'11
g x x
=
+，当[]1,e x ∈时，()1
'10x
g x =
+>恒成立，所以函数()ln 2g x x x =+在[]1,e 上单调递增，所以()()()1e g g x g ≤≤.即()1e 2e ln ln 2g x ≤≤++.即()1n 2e 1l ln 2g x ≤≤+++.即[]1,e l 1n 2ln 2a ∈+++.故选B.
13.【答案】4
π
【解析】由题意，()22k k πϕπ=+∈Z ，所以()24
k k ππ
ϕ=+∈Z .所以当0k =时，ϕ取得
最小正值4
π
.
14. 【答案】443+
【解析】由三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥与长方体的组合体，其直观图如下：
3,1的直角三角形，且有一条长为1的侧棱垂直于底面；
3,1,1，故该几何体的表面积为
11
11231313212244322
S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=+
15. 【答案】()0,8
【解析】以,A B 两点为直径的圆的方程为2
2
2
x y a +=，圆心为()0,0，半径为a .要使对圆
()()
22
684x y +++=上任意一点P ，都有APB ∠为锐角，则圆222x y a +=和圆
()()
22
684x y +++=
相离，所以2a >+，解得8a <.故正数a 的取值范围是
()0,8.
16. 【答案】98
-
【解析】由2
2
4z x xy y =-+，得314214422=-⋅≥-+=+-=x
y
y x x y y x xy y xy x xy z ，
当且仅当
4x y y x
=，即2x y =时等号成立，此时222222
44246z x xy y y y y y =-+=-+=. 所以2
2
212312311311139
222228
6x y z y y y y y y ⎛⎫⎛⎫-+=-+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
所以当
132y =，即23y =时，123x y z -+取得最小值9
8
-. 17.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q .
由3a 是24a +与414a +的等差中项，得3242414a a a =+++，
………………………………2分
即48418q q =
++，得22520q q ++=，解得2q =-或12
q =-. ………………………………4分
当2q =-时，数列{}n a 的通项公式为()
()
3
1
33422n n n n a a q ---==⨯-=-；
………………………………5分 错误!未找到引用源。

.
………………………………6分错误!未找到引用源。

（2）设数列{}n b 的公差为d .
由1n n T n b λ+=⋅，得122
3,
2,T b T b λλ=⎧⎨=⎩ ………………………………7分
得()1616,1616216,d d d λλ-=⎧⎪
⎨-+=+⎪⎩解得0,1d λ=⎧⎨=⎩（舍去）或8,1.2
d λ=⎧⎪⎨=⎪⎩
………………………………9分
此时数列{}n b 的通项公式为()()2216288n b b n d n n =+-=+-=， 则,8),1(811=+=+b n b n 数列{}n b 的前n 项和为),1(482
)
1(8+
=⋅-+⋅=n n n n n T n 而)1(4)1(82
1
1+=+⨯⋅
=⋅+n n n n b n n λ，满足1+⋅=n n b n T λ，符合题意， 所以数列{}n b 的通项公式为2
1
,8==λ且n b n .
………………………………12分
18.解：（1）男生的平均成绩为
45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.25+85×0.25+90×0.1=73;（2分） 由频率分布直方图知，女生成绩的中位数在[80,90]内，设为x ， 则（90－x ）×0.032+0.02×10=0.5，解得x =80.625，（4分）
（2）由频率分布直方图知女生成绩在[90,100]的人数为0.02×10×25=5， 男生成绩在[90,100]的人数为0.010×10×20=2，（5分） ∴X 的可能取值为1,2,3，
(1)P X ==125237C C C =17，(2)P X ==215237
C C C =47，(3)P X ==3537C C =2
7，
∴X 的分布列为
X 1 2 3
p 17 47 2
7
（10分）
142123777EX =⨯+⨯+⨯=15
7
.（12分）
19.（1）证明:连接AO .
因为1A 在底面ABC 内的射影是线段BC 的中点O ，所以1BC A O ⊥.
....................................1分 又因为1111,A AA O A AA BC =⋂⊥，所以BC ⊥平面1AA O . (2)
分
所以BC AO ⊥. ………………………………3分 在1Rt AOA ∆与Rt AOC ∆中，由勾股定理，得2
211
AA AO AO =
+，22
AC AO OC =+， 因为1A O OC =，所以1AA AC =. ………………………………4分
又O 是线段BC 的中点，所以AB AC =.所以1AB AA =. ………………………………5分 又因为四边形11ABB A 是平行四边形，
所以四边形11ABB A 是菱形. ………………………………6分
（2）解：（方法一）如图，分别以1OA OB OA ,,所在直线为,,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
若1
2AO OC ==，1AO =， 则点()()()()11,0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,2A B C A -. 则)0,2,1(11--==AC C A ，得点()11,2,2C --.
则)2,2,0(),0,4,0(),2,0,1(11--=-=-=C A BC CC . ………………………………8分 设平面11BB C C 的一个法向量为(),,x y z =n ，则
由,01
=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅n CC n 得⎩⎨⎧=-=-⋅=+-=-⋅,04)0,4,0(),,(,02)2,0,1(),,(y z y x z x z y x 得2,0,x z y =⎧⎨=⎩
取1z =，得平面11BB C C 的一个法向量为()2,0,1=n ； ………………………………10分 设直线1A C 与平面C C BB 11所成角的正弦值为θ，则
1010
2
25)2,2,0()1,0,2(cos sin =⋅--⋅=
=n θ.
即直线1A C 与平面C C BB 11所成角的正弦值为10
. ………………………………12分 （方法二）由（1）可知AB=AC ，BA 1=CA 1， 因为A 1O=OC=OB,所以1221221CA O A OB BA ==+=
在522=+=
∆OB AO AB AOB Rt 中，，522111=+==O A OA AA BB
………………………………8分
又由BC ⊥平面1AA O ，得1BC AA ⊥，又11AA BB ∥，所以BC BB ⊥1. 所以四边形B 1C 1CB 为矩形，所以四边形B 1C 1CB 的面积S 四边形B1C1CB =54. 设点1A 到平面B 1C 1CB 的距离为h ，
h h S V V CB C B ABC C B A CB C B A 3
5
4313821421323211111111=⋅==⨯⨯⨯⨯==--矩形棱柱所以，
解得552=h ，所以所求角的正弦值10
10
2255
2sin 1=
==C A h θ
即直线1A C 与平面C C BB 11. ………………………………12分 20.解: （1）设椭圆C 的半焦距为c .
因为直线l 的方程为20x y -+=，令0y =，得2x =-，则点()12,0F -.则2c =. ……………………………………1分 令0x =，得2y =，则点()0,2M . ……………………………………2分
由2
OM OA =，得2
2OA =，解得OA =所以b =
.
……………………………………3分
所以a ……………………………………4分
所以椭圆C 的方程为22
162
x y +=. ……………………………………5分
（2）存在点P ，满足123PF PF =. ……………………………………6分
因为直线:20l x y -+=与直线()':00l x y m m -+=<
，
4
=
，解得12m =-或9
2m =.
因为0m <，所以92
m =
舍去.故1
2m =-. ……………………………………7分
故直线'l 的方程为1
':02
l x y --=. ……………………………………8分
设直线'l 上存在点(),P x y 满足123PF PF =，且点()()122,0,2,0F F -，
=
整理得2
2
5924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭，它表示圆心在5',02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径32r =的圆.
……………………………………10分
因为圆心5',02C ⎛⎫
⎪⎝⎭
到1':02l x y --=
的距离为32d r =
=<=， 所以直线'l 与圆'C 相交. ……………………………………11分 所以在直线'l 上存在两个不同点P ，满足123PF PF =.
……………………………………12分
21. 解:（
1）函数(
)2ln ln f x x a a x
=-
+-的定义域是()0,+∞. ………………………………1分
当1=k
时，(
)2ln ln f x x a =-，（x>0）
则(
)2
22212'ax f x x a x ax +-⎫=--==
⎪⎭
2
2
x ax
=-
. ………………………………2分
因为0a >，0x >，所以()'0f x ≤恒成立，且()'f x 不恒为0，
所以函数()f x 在()+∞,0上单调递减. ………………………………4分
（2）(
)
1
12
2ln ln ln g x f
a x x a -===+-（a 为
常数且0a >），其定义域是()0,+∞. ………………………………5分
则(
)13
221'g x x x x --==
………………………………6分 令()'0g x =
，得()00kx a k -+=<，
=
=0k <
0<，
=. 则()
02
1a
x =
+
. ………………………………8分
且令()'0g x <，得00x x <<；令()'0g x >，得0x x >，
所以函数()g x 在()0,0x 上是减函数，在()+∞,0x 上是增函数. ………………………………9分
所以函数()g x 的极小值是()0g x . 即()(
)00ln
x g x g x a ==-极小值………………………………10分 而
()
02
1
1x a =+是与a 无关的常数，
所以函数()g x 的极小值是一个与a 无关的常数. ………………………………12分 22. 解：(1)因为OC 为圆的直径，,B D 为两圆的交点， 所以OD CD ⊥，AB BC ⊥……2分
因为AB 为圆的直径，O 为AB 的中点，所以OA=OD,
所以OAD ODA ∠=∠，因为OCD ∆～OCB ∆，所以DOC BOC ∠=∠，……4分 由于DOC BOC AOD OAD ODA AOD ∠+∠+∠=∠+∠+∠=180°, 所以OAD BOC ∠=∠，所以//AD OC .……6分
(2)由（1）易知 DAO ∠=DOC ∠，所以BAD Rt ∆～COD Rt ∆，……8分
所以
AD AB
OD OC
=
，8AD OC AB OD ⋅=⋅=.……10分 23. 解：（1） 曲线C 的极坐标方程
为2sin()2=04
π
ρθ-+
-可化为
22sin 2cos 2=0ρρθρθ---，
∴曲线C 的直角坐标方程为2
2
2220x y x y +---=，
曲线D 的参数方程化为普通方程为4)2()1(2
2
=+++y x . 5分
(2)由（1）知曲线C 是圆心为C （1，1）半径为2的圆，曲线D 是圆心为D （-1，-2），半径为2的圆，
圆心间的距离||CD ==2+2=4， ∴圆C 与圆D 相交，
∴圆C 与圆D 公共弦所在的直线方程为4630x y ++=，
∴圆心（1,1）到公共弦的距离2
13643642
2=
+++=
d ， ∴公共弦长为3)2
13(
222
2=-. 10分 24.解：（1）当0x <时，不等式可化为()()31210x x ----+<，解得7
2
x >-
.所以7
02
x -<<； ……………………………………2分 当103x ≤≤
时，不等式可化为()31210x x ---+<，解得74x >-.所以1
03
x ≤≤；
……………………………………3分 当1
3
x >
时，不等式可化为()31210x x --+<，解得92x <.所以1932x <<.
……………………………………4分 综上，不等式的解集为79,22⎛⎫
-
⎪⎝
⎭. ……………………………………5分 （2）()2f x x a -≤即为3122x x x a --+-≤，即3132x x a --≤-. 即3132x x a --≤-. ……………………………………7分
因为3133131x x x x --≤--=， ……………………………………8分 所以要对任意的实数x ，使得()2f x x a -≤成立，需使12a ≤-，解得3a ≥.
即实数a 的取值范围是[)3,+∞.
……………………………………10分。