广东省中山市2019-2020学年度第一学期高三期末统一考试(理科)数学试题及参考答案

中山市高三级2019-2020学年度第一学期期末统一考试
数学•理
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。

1. 集合{}
2560A x x x =-+≥,{}210B x x =->，则A B ⋂==（）
A.(][),23,-∞⋃+∞
B.1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.1,32⎛⎤
⎥⎝⎦ D.
[)1,23,2⎛⎤
⋃+∞ ⎥⎝⎦
2. 已知i 是虚数单位，复数z 满足
132z i
i i
-=-+，则3z +=（）
B. D.5 3. 计算sin133cos197cos 47cos73+的结果为（ ）
A.12
B.1
2
- C.2 D.
2
-
4. 如图，在下列四个正方体中，A,B 为正方体的两个顶点，M, N, Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是（ ）
5.61014log 3,log 5,log 7a b c ===，则（）
A. a b c >>
B. b c a >>
C. a c b >>
D.
c b a >>
6. 已知,x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-≤⎩
，则
的最小值为()
A. 2
B.
2
D.1 7. 电路从A 到B 上共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率为1
3，整个电路的连
通与否取决于
A.
1027 B.448729 C.100243
D.4081
8.有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的 站法有()
A. 8 种
B. 16 种
C.32 种
D.48 种
9. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>><< ⎪⎝⎭
的最小正周期是π，若()1f α=，
则32f πα⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
( ) A.12 B.1
2- C. 1 D. -1
10. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥,若当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -,的外接球体积为() '
A.
D.
11. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若
，则423a a +的最小值为（）
A. 9
B. 12
C. 16
D. 18
12. 若关于x 的方程0x
x x
x e m e x e +
+=-有三个不相等的实数解123,,x x x ，且1230x x x <<<，其中, 2.718m R e ∈=为自然对数的底数,则3122
312111x x x x
x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值为（ ）
A. e
B. 1m -
C. 1 m +
D. 1
二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置, 书写不清，模棱两可均不得分。

13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若410,a a 是方程2810x x -+=的两根，则：
13S = .
14.已知向量a 与b 的夹角是
56
π
,且a a b =+，则向量a 与a b +的夹角是 。

15. 已知()()()()()9
2
11
2012111211...1x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则12311...a a a a ++++的值为_ 。

16. 已知函数()2x x
x x e e f x e e
---=++，若有()()24f a f a +->，则的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）
设S n 为数列{}n a 的前n 项和,已知213,2 1n n a n a +==+
（1） 证明1n a +｛｝为等比数列
（2）.判断,,n n n a S 是否成等差数列？并说明理由 18. （本小题满分12分）
已知△ ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为,, a b c ⑴若 227cos A cosB cosC =：：：：,求 sinB ；
（2）若 227sinA cosB tanA =：：：：,试判断 ABC ∆ 的形状
19. (本小题满分12分)
如图，在三棱台ABC DEF -中，二面角B AD C --是直二面角，AB AC ⊥，AB=3,
1
1
2
AD DF FC AC ===
=. (1) 求证：AB ⊥平面ACFD ；
(2)
求二面角F BE D --的平面角的余弦值.
20. (本小题满分12分)
已知函数()2()x f x e ex ax a R =-+∈
⑴若()f x 在(0,1)上单调，求a 的取值范围。

(2)若()ln y f x ex x =+的图像恒在x 轴上方，求a 的取值范围。

21. (本小题满分12分)
某种零件的质量指标值为整数，指标值为8时称为合格品，指标值为7或者9时称为准合格品，指标 值为6或10时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为了了解机器性能，随机抽取了该机器制造的100个零件，不同的质量指标值对应的零件个数如下表所示；
使用该售给批发
商，准合格品与废品无法岀售
(1) 估计该机器制造零件的质量指标值的平均数；
(2)
若该单位接到一张订单，需要该零件2100个，为使此次交易获利达到1400
元，估计x 的最小值；
(3)
该单位引进了一台加工设备，每个零件花费2元可以被加工一次，加工结果
会等可能出现以下三种情况：①质量指标值增加1,②质量指标值不变，③质量指标值减少1.己知每个零件最多可被加工一次，且该单位计划将所有准合格品逐一加工，在(2)的条件下，估计x 的最小值(精确到0.01) .
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线
经过伸缩变换'2'x x
y y =⎧⎨=⎩
后得到曲线2C ,以坐标原点
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-
(1) 求出曲线23C C 、的参数方程；
(2) 若P Q 、分别是曲线23C C 、上的动点，求PQ 的最大值.
23. (本题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知 3a b c ++=,且a b c 、、都是正数. (1) 求证；222+3a b c +≥； (2) 求证：
1113
2
a b b c c a ++>+++
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数学•理参考答案
一、选择题
序号123456789101112选项D A B D D D B B D B D D。