四川省乐山市甘江镇中学2018年高三数学理模拟试卷含解析

四川省乐山市甘江镇中学2018年高三数学理模拟试卷
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知是奇函数，当时，，则（）
A. 2
B. 1
C.
D.
参考答案：
B
2. 函数的定义域为（）
A．{|0≤≤1} B．{|≥0} C．{|≤1} D．{|≥1或≤0}
参考答案：
A
3. 已知点在第三象限，则角的终边在
A. 第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D.第四象限
参考答案：
B
略
4. 已知方程的取值范
围（）
A． B． C．
D．
参考答案：
A
5. 已知i是虚数单位，若复数为纯虚数（a，b∈R)，则|z| =
A. 1
B.
C.2
D.3
参考答案：
A
由题意得为纯虚数，所以，故。

所以。

选A。

6. 随机抽取某中学甲乙两班各名同学,测量他们的身高(单位:厘米),获得身高数据的
茎叶图如图所示,则甲乙两班各名同学身高的中位数之和为
A． B． C． D．
参考答案：
B
7. 若函数的递减区间为，则的取值范围是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
A
考点：利用导数研究函数的单调性.
8. 已知集合，，则=（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
略
9. 函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
参考答案：
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：由函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象，
可得A=2，∵，∴T=π，ω=2，f（x）=2cos（2x+φ），
将代入得，∵﹣π＜φ＜0，
∴．
故可将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到l的图象，即可得到g（x）=Asinωx的图象，
故选：B．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
10. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）
A． B.
C． D．
参考答案：
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，且满足
，则该双曲线C的离心率为。

参考答案：
略
12. 已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，满足
，，，且
，则的值为
参考答案：
3
13. 已知的三边长成公比为的等比数列，则该三角形的形状为
参考答案：
钝角三角形
14. 计算： = （i是虚数单位）
参考答案：
i
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】i2017=（i4）504?i=i，可得原式=，再利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：i2017=（i4）504?i=i，
原式====i，
故答案为：i．
15. 若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为，则称该三角形为“完美三角形”．有关“完美三角形”有以下命题：
（1）存在直角三角形是“完美三角形”
（2）不存在面积是整数的“完美三角形”
（3）周长为12的“完美三角形”中面积最大为；
（4）若两个“完美三角形”有两边对应相等，且它们面积相等，则这两个“完美三角形”全等．
以上真命题有______．（写出所有真命题的序号）．
参考答案：
（3）（4）．
试题分析：：（1）若中，则三边之比为：，因此不存在直角三角形是“完美三角形，因此（1）是假命题；
（2）由，若面积是整数，则存在正整数，使得，由于都为整数，此式不成立，因此不存在面积都是整数的“完美三角形”，（2）是假命题；
（3）设，则
，可得，
化为，解得，即，当且仅当时取等号，
可得周长为12的“完美三角”中面积最大为，是真命题；
（4）设，①若夹角的两条边分别相等，满足条件，则此两个三角形全等；
②若夹角其中一条边相等，由于面积相等，夹角另一条边必然相等，可得：此两个三角形全等．因此是真命题．以上真命题有（3）（4）．
故答案为：（3）（4）．
考点：命题真假判断，合情推理
【名师点睛】本题考查了解三角形、余弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、新定义、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16. 设、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，且，到直线的距离等于双曲线的实轴长，该双曲线的渐近线方程为．
参考答案：
略
17. 三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，
，则球O的表面积为
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）已知函数，函数
．
( I)试求f (x)的单调区间。

(II)若f (x)在区间上是单调递增函数，试求实数a的取值范围：
(III)设数列是公差为1．首项为l的等差数列，数列的前n项和为，
求证：当时，.
参考答案：
（Ⅰ）=，所以，,
因为，，所以，令，，
所以的单调递增区间是；的单调递减区间是；………4分（Ⅱ）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立即，因为，所以
. …………….7分
（Ⅲ）设数列是公差为1首项为1的等差数列，所以，=1++…+，当时，由（Ⅱ）知：=+在上为增函数，
=-1，当时，，所以+，即
所以;
令，则有，当，有
则,即,所以时,
所以不等式成立.
令且时，
将所得各不等式相加，得
即
（且
）．……………13分
19. （本小题满分12分）已知圆心为F1的圆的方程为，F2（2，0），C是圆F1上的动点，F2C的垂直平分线交F1C于M．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设N（0，2），过点P（－1，－2）作直线l，交M的轨迹于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值．
参考答案：
20. 已知集合A={x|x 2﹣5x+6=0}，B={x|mx+1=0}，且A∪B=A，求实数m 的值组成的集合．
参考答案：
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】条件A∪B=A 的理解在于：B 是A 的子集，其中B 也可能是空集． 【解答】解：A={x|x 2
﹣5x+6=0}={2，3}， ∵A∪B=A，∴B?A． ①m=0时，B=?，B?A ；
②m≠0时，由mx+1=0，得x=﹣． ∵B?A，∴﹣∈A，
∴﹣=2或﹣=3，得m=﹣或﹣． 所以适合题意的m 的集合为{0，﹣，﹣}．
【点评】本题主要考查集合的运算性质A∪B=A，一般A∪B=A转化成B?A来解决．若是
A∩B=A，一般A∩B=A转化成A?B来解决．
21. 在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐
标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=1．
（1）求直线l与圆C的公共点个数；
（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M （x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程、圆C的极坐标方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离d与圆半径r的关系，判定直线l与圆C的公共点个数；
（Ⅱ）由圆C的参数方程求出曲线C′的参数方程，代入4x2+xy+y2中，求出4x2+xy+y2取得最大值时对应的M点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y﹣=0，
圆C的极坐标方程ρ=1化为普通方程是x2+y2=1；
∵圆心（0，0）到直线l的距离为d==1，等于圆的半径r，∴直线l与圆C的公共点的个数是1；
（Ⅱ）圆C的参数方程是，（0≤θ＜2π）；
∴曲线C′的参数方程是，（0≤θ＜2π）；
∴4x2+xy+y2=4cos2θ+cosθ?2sinθ+4sin2θ=4+sin2θ；
当θ=或θ=时，4x2+xy+y2取得最大值5，
此时M的坐标为（，）或（﹣，﹣）．
【点评】本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时可以把参数方程、极坐标方程化为普通方程，以便正确解答问题，是基础题．
22. （本小题满分10分）
求圆是参数）截得的弦长。

参考答案：
略。