高数一总复习资料

第一章函数及其图形
例1：（）.
A. {x | x>3}
B. {x | x<-2}
C. {x |-2< x ≤1}
D. {x | x ≤1}
注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。

例2：函数的定义域为（）.
解：由于对数函数lnx 的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx ≠ 0，即x≠1。

由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1 与同时成立，从而其定义域为，
即应选C。

例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）
解： A 中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1 时，两函数取得不同的值。

B 中的函数是相同的。

因为对一切实数x 都成立，故应选B。

C 中的两个函数是不同的。

因为的定义域为x≠-1 ，而y=x 的定义域为（- ∞，+∞）。

D 中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（- ∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。

例4：设
解：在令t=cosx-1 ，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2 ≤cosx-1 ≤0，即-2 ≤t ≤0，从而有f（2）没有定义。

注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中例6：函数是（）。

A．偶函数B ．有界函数C ．单调函数D．周期函数
解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）
不正确。

由函数在x=0，1，2 点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。

，可得，从而有。

可见，对事实上，对任意的x，由
于任意的x，有
因此，所给函数是有界的，即应选择 B
例 7：若函数 f(x) 满足 f(x+y)=f(x)+f(y), 则 f(x) 是( )。

A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数 Ｄ．奇偶性不确定
解：因为 f(x+y)=f(x)+f(y) ，故 f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) ，可知 f(0)=0 。

在 f(x+y)=f(x)+f(y) 中令 y = -x ，得 0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)
所以有 f(-x) = - f(x) ，即 f(x) 为奇函数，故应选 A 。

例 8 ：函数 的反函数是(
B ．
D ．
于是， 是所给函数的反函数，即应选 C 。

例 9 ： 下列函数能复合成一个函数的是( )。

A ．
B ．
C ．
D ．
解：在 (A)、(B)中，均有 u=g(x) ≤0，不在 f (u) 的定义域内，不能复合。

在
(D)中， u=g(x)=3
也不满足 f(u) 的定义域 ，也不能复合。

只有 (C)中
的定 义域内，可以复合成一个函数，故应选 C 。

例 10 ：函数 可以看成哪些简单函数复合而成： A ． C ． 解：
解： ，三个简单函数复合而成
第二章 极限与连续
例 1：下列数列中，收敛的数列是（ ）
A. B. C. D.
解：（ A ）中数列为 0，1，0，1，⋯⋯其下标为奇数的项均为 0，而下标为偶数的项均为 1，即奇偶数项分别趋于不同的常数值，从而可知该数列没有极限，是发散的。

由于 ，故（ B ）中数列发散。

由于正弦函数是一个周期为 的周期函数，当 时， 并不能无限趋近 于一个确定的值，因而（ C ）中数列也发散。

由于 ，故（ D ）中数列收敛。

例 2：设 ，则 a=（ ）
解：假设 =0，则所给极限为 母趋于有限值 3，所以极限为∞，不是 1/5 ，因而 ≠0。

当 ≠ 0 时，所给极限为
式，那么，当 时，A.0 B.1 C.3 D.1/3
，其分子趋于∞，而分 ，故应选 C 。

般地，如果有理函数 ， 其中 、 分别为 n 的 k 次、l 次多项
当k=l 时，f (n) 的极限为、的最高次项的系数之比；
当k<l 时， f (n) 的极限为零；
当k>l 时， f (n) 的极限为∞。

对于当x→∞(或+∞，－∞)时x 的有理分式函数的极限，也有类似的结果。

例 3.
A. 0
B. 1
C. π
D. n
解利用重要极限
，故应选C。

注：第一重要极限的本质是，这里的可以想象为一个空的筐
子，里面可以填入任意以零为极限的表达式(三个填入的内容要相同)。

类似地，第二重要极限可以看作是，其中可以同时填入相同的任意趋于无穷大的表达式。

例 4. 求
解法1
例 5.
A. 0
B. 1
C. 1/2
D. 1/4
注意 本题属于“∞ - ∞”型，是个未定式，不能简单地认为它等于 0 或认为是∞，对于此类 问题一般需要将函数进行通分，然后设法进行化简，进而求出其极限值。

例 7. 当 x → 0 时，
A. 同阶无穷小量
B. 解：由于
可知 是 x 的同阶无穷小量，所以应选 A 。

例 8. 当 等价的无穷小量是 ( )
解：由于
解法 3
解：由于 , 故应选 D 。

的( )。

高阶无穷小量 C. 低价无穷小量 D. 较低阶的无穷小量
A. B.
C. D.
可知的高阶无穷小量，同时等价的无穷小量，所以选D。

例9. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的是( )
A. B.
C. D.
解：由于
所以应选 A.
例 10．要使函数 在 x=0处连续， f (0)应该补充定义的数值是 ( )
A.1/2
B.2
C.1
D.0
要使函数 f (x)在 x=0 处连续，必须有
因此要令 f(0)=1.
故应选 C 。

求 k ，使 f (x)连续
解：由于函数 f (x)在(- ∞， 0)和( 0，+∞)两区间内均由初等函数表示，而且在这两 个区
间内均有定义，因此在这两个区间内是连续的。

函数是否连续取决于它在 x=0 处是否连 续。

要让 f (x)在 x=0 处连续，必须
解：
例 11． 设
例 12．证明方程
在区间（ 1，2）内必有一根。

上连续，另外 f （1）=-1<1 ，f （2）=13>0， f （x ）在［1，2］上连续，故由零点 在区间（ 1,2 ）内必有 一个根
第三章 导数和微分 例 1：讨论函数
由于
=
又由
可知
证：令
，由于 f （x ）是初等函数，它在区间（ - ∞， +∞ 存在定理知，存在
例 2 ：
例3：分段函数处是否连续？是否可导？为什么？例 4 ：
例 5 ：例 6 ：
例7：例
8 ：
例9 ：例10 ：
例11 ：证明曲线xy=1 （x>0 ，y>0）上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是个常数.
例12 ：
例13 ：
第四章中值定理与导数应用
例1：下列各函数中，在区间[-1 ，1] 上满足罗尔定理所有条件的是( )
例 2 ：
例 3 ：
例
4 ：
例 5 ：
例6：下列极限中能用罗必达法则的有( )
X
IIm --- = 1
XT 如 l÷χj
极限可用罗必达法则求岀
(C)由于
V (X-Sin X )1 i . I- COSX IIm --------- = Ilm -----------------, XT 如(X + Sin X )1 XT 如 1 + cosx 不存在,因此，(C)中极限不能用罗必达法则求岀
(D)由于IIm √=∞,而IIm XSinX 不存在，因此，(D)中极限IIm 竺工 XT→∙HD XT 如 X→∙RO χ/
不能用罗必达法则求岀•故应选3)
注意:不能罗必达法则计算的极限,未必就不存在,本例的三个不能用罗 必达法则计算的极限可用其他方法计算:
X 2 Sin — I (A)Iim —:—— =IIm -^lιm XSIn — = l×0 = 0 ,其中.倒数笫二步的根据是 XTO SIn X XTO S in X KTo X
无穷小量乘以有界变量仍是无穷小量。

Sin X
1 _ --
V X-SinX V X λ
(C) IIm ----- = IIm --- J = 1
XT 如 X + sin X XT 如［十 SInX
(A) IIm ----------- “° Sin X 3) Iim x(—— arctan x) XT 如 2 (C) Ilm X ~Sln X XTW X + sin X 解：(4)由于
(D) 1. XSinX Ilm ——7—
(X Sin —)' Ilm ----------- --- = IIm XTo (Sin Xy KTo 2xsm —- COS - X X COS X 热COS 护存在，因此，对⑺中极限不能用罗必达法则 3)由于 π —-ar ct an X _ arctan X)=Ilm 2 xr→∙Ho IIm XT 如
l÷x T 而不存在 XT91 + C0S
X XT 如
Z))I IIrl^=I Im^= I Im l SInX =O xr→-to χ2X,→-Hx> X XT咼X (
例
7
：
列表
即(- ∞,-2) 及(0,+ ∞)为递增区间，( -2 ，-1 )及( -1 ，0)为递减区间；当x=-2 时取极大值f(-2)=-4 ，当x=0 时取极小值f(0)=0
例9：讨论曲线y=x 4-2x 3+1 的凹向与拐点
解：yˊ =4x3-6x 2
y ″ =12x2-12x=12x(x-1)
当x=0,x=1 时y ″ =0
x=0 与x=1 把定义域( - ∞，+∞)分成三个区间，
列表
X
即（-∞,0）及（1,+∞）上凹；（0，1）下凹，两个拐点（0，1）和（1，0）
例10 ：
例11 ：
例12 ：
例13：某种商品需求函数为，求当P=4时的需求弹性。

例14 ：
第五章积分
例1：若h(x) 是g(x) 的一个原函数，则下列表达式中正确的一个是( )。

解：因为各备选答案中的右端均含有积分常数C，故只须验证各备选答案中右端的导数是否等于其左端积分的被积函数。

事实上，由于g(x) 未必可导，故可知( A)、( D)不正确；由题意h(x) 是g(x) 的一个原函数，即h'(x)=g(x) ，故( B)正确而( C)不正确，因此，应选(B)。

例 2 ：
例 3 ：
例
5
：
例 6 ：例
8 ：
例10 ：
例11 ：
例12 ：
（图8-1）
例13 ：
例14 ：例
15 ：
例
16 ：
例
17 ：
例18 ：
例
19 ：例20：例
21 ：
例
22 ：
试判断下列广义积分的敛散性。

例23 ：试判断下列广义积分的敛散性。

例25 ：
例26 ：例27 ：
第六章无穷级数例 1 ：
例 2 ：
例 3 ：
例4 ：
例5 ：例
6 ：
例7 ：
例8：
第一步，根据级数收敛必要性粗略观察是否有若有,则得出级数
发散结论，否则进行下一步。

的敛散性，若收敛
，指出是条件收敛还是绝对收敛例9 ：判断交错级
数
例 11 ：
例10：
例 12
：
例13 ：例14 ：
第七章多元函数微积分
例1．下列平面方程中，过点（1，1，-1 ）的方程是（）
（A）x+y+Z=0 （B）x+y+Z=1 （C）x+y-Z=1 （D）x+y-Z=0 解：判断一个点是否在平面上，只需将点的坐标代入，看看是否满足相应的平面方程即可。

易见应选（B）。

例2．指出下列平面的特殊位置
（1）x+2z=1；（2）x-2y=0 ；（3）x-2y+3z=0 ；（4）z-5=0.
解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0
（1）方程中y的系数为B=0，故该平面平行于oy 轴（垂直于zox 平面）；
（2）方程中z 的系数C=0且D=0，故平面过oz 轴；
（3）方程中常数D=0，故该平面过原点；
（4）方程中x 的系数A=0 且y 的系数B=0，故该平面垂直于oz 轴（平行于xoy 平面）。

例3．求过点（3，2，1）且平行于yoz 平面的平面方程。

解：平行于yoz平面即垂直于ox轴，故可设所求平面方程为Ax+D=0，将已知点（3，2，1）的坐标代入上式，得D=-3A，从而所求方程为x-3=0 。

注意：在求平面方程时，Ax+By+Cz+D=0中的四个待定常数不是完全独立的，计算时可用其中的一个表示其余的三个，然后通过化简得出所求结果。

例4．求点M（2，-3，1）分别关于xOy平面、Oy轴和原点的对称点。

解：点M关于xOy平面的对称点是第三个分量变号，即（2，-3 ，-1 ），关于Oy轴的对称点
是第一，第三分量变号，即（-2 ，-3 ，-1 ），关于原点的对称点是三个分量都变号即（-2，3，-1）。

例5．求平面3x+2y-z-6=0 分别在三条坐标轴上的截距。

解：将平面方程化为截距式方程，得
因此该平面在Ox轴、Oy轴和Oz轴上的截距依次为2、3、和-6 。

例6．求球面的球心坐标和半径。

解：对方程进行配方，化为一般形式的球面方程
从而球心坐标为（3，-1 ，0），半径为。

例7．下列方程在空间直角坐标系中，表示施转抛物面的方程是（）
（A）（B）（C）（D）
解：只能x=y=z=0，它表示空间直角坐标系中的原点。

是一次方程，D=0表示过原点的一个平面。

即表示绕z 轴旋转张口朝z 轴负方向的旋转抛物面。

表示双曲抛物面（马鞍面）故应选（C）
例8．函数的定义域是（）。

A）（B）（C）（D）
解:由函数的表达式知函数的定义域为即，故应选（C）
例9．设
A）B）C）（D）
解：由题设, 故应选（A）
例10．设在点处偏导数存在，则
（A）（B）（C）（D）解：根据偏导数的定义，有
故应选（C）。

例11．设证明
证明：
于是左
注意，本例还可以利用二元函数隐函数来解偏导数：
两边取对数
代入左端即可得结论。

例12．设其中 f 为可微函数，则
(A) (B) (C) (D)
故应选（D）。

例 13． 设
因此，
例 14．设
例 15． 设 z=z(x,y) 是由方程 确定的函数，求
注意：在求隐函数的偏导数时， 其结果中可以有变量度 z 的出现，
结果表达式也常常不
是惟一的，如本例用
代入两个偏导还可以表示成
例
16 ．设
（A）（B）（C）（D）
解1：变量之间的关系图为
故应选（A）
注意：这里解法2 经过代入后变成了一个一元函数求导问题，简洁明了例17 ．
证明：设
变量之间的关系为
例18．求函数的极值。

解：函数的定义域为全平面，
得驻点
例19．某厂生产甲、乙两种产品，其销售单位分别为10 万元和9 万元，若生产x 件甲种产品和y 件乙种产品的总成本，又已知两种产品的总产量为100 件，求企业获得最大利润时两种产品的产量各为多少？
例20．计算二重积分
解：作积分区域 D 的草图，如图7-1。