《1.4全称量词与存在量词》课件2-优质公开课-人教A版选修1-1精品

后正面推理证明或举反例说明命题的真假.
答案:C
解析:A 是特称命题,存在 x=1 时使 lg x=0 成立,所以 A 为真命题;B
是特称命题,存在 x=π4时,tan x=1 成立,所以 B 是真命题;C 是全称命题, 存在 x=-1,使 x3=-1<0,所以 C 为假命题;D 是全称命题,当 x∈R 时,2x>0
1.4 全称量词与存在量词
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迁移与应用 1.已知下列命题: ①对任意 a,b∈R,若 a>b,则1������ < 1������;
②存在一个实数 α,使 tan α 无意义;
③所有的二次函数的图象都和 x 轴相交;
预习交流 2
(1)对于“全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题” 这一结论,你是如何理解的?
提示:因为全(特)称命题的否定,首先将其全称(存在)量词改为存在 (全称)量词,然后把结论否定,所以全称命题的否定是特称命题,特称命 题的否定是全称命题.
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这是因为对任意实数 x,x2+2>0 恒成立,即 p 为真命题,所以������p 是假 命题.
②������q:∀ x∈Z,x3+1≠0,是假命题. 这是因为 x=-1 时,x3+1=0.
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A.1
B.2
C.3
D.4
思路分析:分析命题中是否含有存在量词,从而判定是否是特称命
题. 答案:C 解析:①②③是特称命题,④可以叙述为“所有的圆内接四边形的对
角互补”,是全称命题.
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学习 目标
重点 难点
1.理解并记住全称量词、存在量词的含义,会用数学符号表示. 2.通过实例体验全称命题、特称命题的表述方法,会判定两种命题的 真假. 3.掌握含有一个量词的命题的否定方法,进一步理解全称命题与特称 命题间的关系,会对一个命题进行否定.
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答案:B
解析:∵∀ x∈R,sin x∈[-1,1],∴不存在 x,使 sin x= 25>1 成立,∴p 为假
命题.
∵x2+x+1=
������
+
1 2
2 + 34>0 对 x∈R 恒成立,∴q 为真命题.
④整数中 1 最小;
⑤存在直线 l,平面 α,β,使 α∥l,β∥l.
其中是全称命题的为
,特称命题的为
.(填序号)
答案:①③④ ②⑤
解析:①③含有全称量词,是全称命题;④可叙述为“所有的整数中,1
最小”是全称命题;②⑤含有存在量词,是特称命题.
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一、全称命题和特称命题的判定 活动与探究
如何判断一个命题是全称命题还是特称命题? 答:判断一个命题是全称命题还是特称命题,关键是看命题中是否 含有全称量词或存在量词.有些全称命题在文字叙述上省略了全称量 词,在判断是否为全称命题时要注意.
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迁移与应用
1.下列命题中,真命题是( ) A.∃ m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 B.∃ m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 C.∀ m∈R,函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.∀ m∈R,函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 答案:A 解析:∵m=0 时,f(x)=x2 为偶函数, ∴A 项为真命题.
重点:全称命题与特称命题的真假判断与否定. 难点:对全称量词和存在量词的理解.
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1.(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用符 号“∀ ”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.
∴“p∧q”是假命题,“p∧(������q)”是假命题,“(������p)∨q”是真命 题,“(������p)∨(������q)”是真命题.
归纳总结:若全称命题为真命题,可由相关数学知识推证,若判断为 假只需一个反例;若特称命题为真命题,只需找一个满足条件的元素即 可,若这样的元素不存在,则为假命题.
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2.判断下列命题是不是全称命题或特称命题.若是,用一般形式表 述出来.
(1)中国的所有江河都流入太平洋; (2)0 不能作除数; (3)任何一个实数除以 1 仍等于这个实数;
(4)存在一个实数 x,使������1-1=0.
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例 2(1)下列命题中的假命题是( )
A.∃ x∈R,lg x=0
B.∃ x∈R,tan x=1
C.∀ x∈R,x3>0
D.∀ x∈R,2x>0
思路分析:首先判断命题中含有哪种量词,进而确定是哪种命题,然
②命题“p∧(������q)”是假命题;
③命题“(������p)∨q”是真命题;
④命题“(������p)∨(������q)”是假命题.
其中正确的是( )
A.②④
B.②③
C.③④
D.①②③
思路分析:先判断命题 p,q 的真假,再判断所给结论中命题的真假.
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规律总结:(1)判断一个语句是全称命题还是特称命题,应先判定它 是否为命题,如三角函数都是周期函数吗?不是命题,当然就不是全称命 题或特称命题了.
(2)判定命题是全称命题还是特称命题,主要方法是看命题中是否 含有全称量词或存在量词,要注意的是有些全称命题并不含有全称量 词,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断.
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预习交流 1
(1)同一个全称命题或特称命题的表述是否唯一? 提示:不唯一.对于同一个全称命题或特称命题,由于自然语言的不 同,可以有不同的表述方法,只要形式正确即可.例如:平行四边形的对角 线互相平分,是省略全称量词的,实际应理解为:所有的平行四边形的对 角线互相平分. (2)下列命题是全称命题还是特称命题,并判断真假: ①所有直线都存在斜率;②存在 x∈N,使 2x-7<0. 提示:①是全称命题,是假命题;②是特称命题,是真命题.
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(2)写出下列命题的否定,并判断真假且说明理由: ①p:∀ x∈R,x2+2≥0; ②q:∃ x0∈Z,������03+1=0.
提示:①������p:∃ x0∈R,������02+2<0,是假命题.
角和都是 180°”,故④是全称命题.
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(2)下列命题中特称命题的个数是( ) ①有的自然数是偶数; ②存在 α,β,使 sin α+sin β=sin(α+β); ③至少有一个函数 f(x)既是偶函数又是奇函数; ④圆内接四边形的对角互补.
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判定一个语句是全称命题还是特称命题的步骤: (1)首先判定语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称命题或 特称命题. (2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全 称命题,含有存在量词的命题是特称命题. (3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质.
恒成立,所以 D 为真命题.
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(2)已知命题 p:∃ x∈R,使 sin x= 25;命题 q:∀ x∈R,都有 x2+x+1>0.
给出下列结论:
①命题“p∧q”是真命题;
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KET,p(x),它的否定是������p:∃ x0∈M,������p(x0).特称命题 p:∃ x0∈M,p(x0),它的否定是������p:∀ x∈M,p(x).
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2.判断下列命题的真假:
(1)若 a>0,且 a≠1,则对任意实数 x,ax>0;
(2)对任意实数 x1,x2,若 x1<x2,则 tan x1<tan x2; (3)∃ T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sin x|;
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用 符号“∃ ”表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.
(3)全称命题“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号∀ x∈M,p(x) 表示,读作“对任意 x 属于 M,有 p(x)成立”.
(4)特称命题“存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立”,可用符号 ∃ x0∈M,p(x0)表示,读作“存在一个 x0 属于 M,使 p(x0)成立”.
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二、全称命题和特称命题真假的判断
活动与探究
如何正确判断全称命题、特称命题的真假? 答:(1)要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合 M 中的每个 元素 x 验证 p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,却只要能举出集合 M 中的一个 x=x0,使得 p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反 例”). 例如,要判断命题“任给 x∈R,|x|>0”“任给 a∈R,函数 y=logax 是单 调函数”为假命题,只需分别举出反例:“由于 0∈R,当 x=0 时, |x|>0 不成 立”,“由于 1∈R,当 a=1 时,y=logax 无意义”即可. (2)要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合 M 中,能找到一 个 x=x0,使 p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题. 例如:要判断命题“存在 a∈{向量},使 a·b=0”为真命题,只需指出: 由于 0∈{向量},当 a=0 时,能使 a·b=0 就可以了.
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例 1(1)下列命题中全称命题的个数是( ) ①任意一个自然数都是正整数; ②所有的素数都是奇数; ③有的等差数列也是等比数列; ④三角形的内角和是 180°.
A.0
B.1
C.2
D.3
思路分析:分析命题中是否含有全称量词,从而判定是否是全称命
题. 答案:D 解析:①②含有全称量词,而命题④可以叙述为“每一个三角形的内
解:(1)全称命题.设集合 S={x|x 是中国的江河},p(x):流入太平洋.则 命题可写成:对任意的 x∈S,有 p(x)成立.
(2)既不是全称命题又不是特称命题. (3)全称命题,对任意的 x∈R,有���1���=x 成立.
(4)特称命题:存在 x∈R,使������1-1=0 成立.
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