人教新课标版数学高一A版必修2导学案 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(第2课时)

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体．
2．了解柱体、锥体、台体之间的关系．
1．圆柱
即表示两底面____的字母表示，
圆柱的简单性质：
(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．
(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图a所示．
(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图b所示．
(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图c所示．
【做一做1】给出下列几种说法：①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；②连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；③圆柱的任意两条母线互相平行．其中正确的个数为()
A．0 B．1 C．2 D．3
，底面为__，SA为母线．另外，
的____
的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥
圆锥的简单性质：
(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．
(2)平行于底面的截面都是圆，如图a所示．
(3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图b所示．
(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图c所示．
【做一做2】已知圆锥SO的母线长为5，底面直径为8，则圆锥SO的高h＝________.
原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的__底面和__底面．与圆柱和圆锥一样，圆
、母线，如上图所示，轴为__，AA′为母线
表示，上图中的圆台可记作圆台__
圆台的简单性质：
(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点．
(2)平行于底面的截面是圆，如图a所示．
(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图b所示．
(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图c所示．
【做一做3】关于圆台，下列说法正确的是____．
①两个底面平行且全等；
②圆台的母线有无数条；
③圆台的母线长大于高；
④两个底面圆心的连线是高．
的字母表示，如上图中的球记作球
(1)球面的定义：与定点的距离等于定长的所有点的集合(轨迹)叫做球面．
(2)如果点到球心的距离小于球的半径，那么这样的点在球的内部，如果大于球的半径，那么这样的点在球的外部．
【做一做4】球的直径有()
A．一条B．两条C．三条D．无数条
答案：1．矩形旋转体轴圆面平行不垂直圆心O′O圆柱棱柱
【做一做1】C
2．直角直角边SO⊙O顶点半径轴SO棱锥圆锥
【做一做2】 3
3．圆锥底面截面下上侧面OO′字母OO′圆台棱台
【做一做3】②③④
4．直径一周圆心半径直径球心O
【做一做4】D
1．圆台是旋转体
剖析：(1)圆台可以看作是直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周而成的曲面所围成的旋转体．
(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．
(3)球、圆柱、圆锥、圆台都可以看成是由一个平面图形绕直线旋转而成的，故它们都是旋转体．
2．圆柱、圆锥、圆台之间的关系
剖析：圆柱、圆锥、圆台的形状不同，它们之间既有区别又有联系，并且在一定条件下
可以相互转化．当圆台的下底面保持不变，而上底面越来越大时，圆台就越来越接近于圆柱，当上底面增大到与下底面相同时，圆台转化为圆柱；当圆台的上底面越来越小时，圆台就越来越接近于圆锥，当上底面收缩为一个点时，圆台就转化为圆锥了．
柱体、锥体、台体之间的关系：
3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较
剖析：如下表所示．
题型一：判断旋转体的形状
【例1】一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转360°所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么几何体？
反思：判断旋转体形状的步骤：(1)明确旋转轴l；(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与l的位置关系；(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和下列结论来确定形状：与l垂直且相交的线段旋转一周得圆面；与l垂直且不相交的线段旋转一周得圆环面；与l平行的线段
旋转一周得圆柱侧面；与l斜交且无交点的线段旋转一周得圆台侧面；与l斜交且有交点的线段旋转一周得圆锥侧面．
题型二：有关几何体的计算问题
【例2】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．
反思：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全
等或相似)，并结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，以构设相关几何变量的方程组而得解．
答案：【例1】解：如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥；如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周围成的几何体是两个同底相对的圆锥；如图(4)所示，绕其斜边上的高所在直线旋转180°围成的几何体是两个半圆锥．
【例2】解：设圆台的母线为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r，4r.
过轴SO 作截面，如图所示． 则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm. ∴SA ′SA ＝O ′A ′OA ， ∴33＋l ＝r 4r ＝14， 解得l ＝9，
即圆台O ′O 的母线长为9 cm.
1．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．圆台 D ．两个圆锥 2．圆锥的高与底面半径相等，母线等于52，则底面半径等于______．
3．如图所示的四个几何体中，是圆柱的有________；是圆锥的有________．
4．判断下列几何体是不是圆台，为什么？
5．一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求： (1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
答案：1．D 2.5 3.③ ②
4．解：(1)是圆台，因为上、下两底面平行，侧面是由直角梯形的一腰绕垂直底边的腰所在的直线旋转一周形成的．
(2)不是圆台，因为上、下两个底面不平行．
(3)不是圆台，因为它是由两个圆台组合而成的，不符合圆台的结构特征．
5．解：(1)如图，过圆台的轴作截面为等腰梯形ABCD ，由已知可得上底半径O 1A ＝2 cm ，下底半径OB ＝5 cm ，且腰长AB ＝12 cm.
∴AM ，
即圆台的高为cm.
(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l ， 则由△SAO 1∽△SBO ，可得122
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l l -=， ∴l ＝20 cm ，
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.。