【配套K12】2018-2019学年数学苏教版必修3教学案：第1部分 第3章 3.2 古典概型-含解

甲、乙两人玩掷骰子游戏，他们约定：两颗骰子掷出去，如果朝上的两个数的和是5，那么甲获胜，如果朝上的两个数的和是7，那么乙获胜．
问题1：若甲获胜，那么两颗骰子出现的点数有几种？
提示：会出现(1，4)，(4，1)(2，3)，(3，2)四种可能．
问题2：若乙获胜，两颗骰子出现的点数又如何？
提示：会出现(1，6)，(6，1)，(2，5，)，(5，2)，(3，4)，(4，3)六种可能．
问题3：这样的游戏公平吗？
提示：由问题1、2知甲获胜的机会比乙获胜的机会少，不公平．
问题4：能否求出甲、乙两人获胜的概率？
提示：可以．
1．基本事件与等可能事件
(1)基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果．
(2)等可能事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．
2．古典概型
(1)古典概型的特点：
①有限性：所有的基本事件只有有限个；
②等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．
(2)古典概型的定义：将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．
(3)古典概型概率的计算公式：
如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都
是1
n；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)
＝m n．
即P(A)＝事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数
.
1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型，例如在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”，这个试验的基本事件有两个：“发芽”、“不发芽”，而“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，故此试验不符合古典概型的等可能性．
2．古典概型的概率公式P(A)＝m
n与事件A发生的频率
m
n有本质的区别，其中P(A)＝
m
n是
一个定值，且对同一试验的同一事件m、n均为定值，而频率中的m、n均随试验次数的变化而变化，但随着试验次数的增加频率总接近于P(A)．
[例1]将一颗骰子先后抛掷两次，求：
(1)一共有几个基本事件？
(2)“出现点数之和大于8”包含几个基本事件？
[思路点拨]求基本事件的个数可用列举法、列表法、树形图法．
[精解详析]法一：(列举法)：
(1)用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数，则试验的所有结果为：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
共36个基本事件．
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：
(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．法二：(列表法)：
如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．
(1)由图知，基本事件总数为36.
(2)总数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出)．
法三：(树形图法)：
一颗骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图直接表示．如图所示：
(1)由图知，共36个基本事件．
(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用对勾标出)．
[一点通]
基本事件个数的计算方法有：
(1)列举法：
列举法也称枚举法．对于一些情境比较简单，基本事件个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所含的基本事件．注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏．
(2)列表法：
对于试验结果不是太多的情况，可以采用列表法．通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地找出基本事件个数．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法．
(3)树形图法：
树形图法是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的求解．
1．本例中条件变为“一枚硬币连续掷三次”，会有多少种不同结果？
解：画树形图
共8种．
2．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有号码的3个黑球，从中摸出2个球．
(1)共有多少种不同的结果(基本事件)?
(2)摸出2个黑球有多少种不同结果？
解：(1)共有6种不同结果，分别为{黑1，黑2}，{黑1，黑3}，{黑2，黑3}，{白，黑1}，{白，黑2}，{白，黑3}．
(2)从上面所有结果中可看出摸出2个黑球的结果有3种.
[例2](12分)同时投掷两个骰子，计算下列事件的概率：(1)事件A：两个骰子点
数相同；(2)事件B ：两个骰子点数之和为8；(3)事件C ：两个骰子点数之和为奇数．
[思路点拨] 先判断这个试验是否为古典概型，然后用列举法求出所有基本事件总数及所求事件包含的基本事件的个数，最后用公式P (A )＝m
n
求结果．
[精解详析] (1)将两个骰子标上记号A ，B ，将A ，B 骰子的点数记为(x ，y )，则共有36种等可能的结果．如下
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．⇨(3分)
出现点数相同的结果有(1，1)(2，2)(3，3)(4，4)(5，5)(6，6)共6种． ∴P (A )＝
636＝1
6
.⇨(6分) (2)出现点数之和为8的结果有(2，6)(3，5)(4，4)(5，3)(6，2)共5种， ∴P (B )＝
5
36
.⇨(9分) (3)出现点数之和为奇数包括“x 是奇数、y 是偶数”和“x 是偶数、y 是奇数”，共有18种，
∴P (C )＝
1836＝1
2
.⇨(12分) [一点通]
求古典概型概率的步骤：
(1)用列举法求出基本事件总个数n .
(2)用列举法求出事件A 包含的基本事件的个数m .
(3)利用公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数
＝m
n 求出事件A 的概率．
3．先后从分别标有数字1，2，3，4的4个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，则抽到的2个球的标号之和不大于5的概率为________．
解析：基本事件共有4×4＝16(个)，其中抽到的2个球的标号之和不大于5的情况有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(4，1)，共10种，所以所求概率为1016＝5
8
.
答案：5
8
4．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问： (1)两数之积是奇数的概率是多少？ (2)两数之积是3的倍数的概率是多少？
解：每次抛出的点数都可能有1，2，3，4，5，6这6种结果，两次点数之积的不同结果如下表所示共有36种.
(1)设事件A 表示“两数之积是奇数”，则事件A 包含的不同结果的个数为9，所以P (A )＝936＝14
. (2)设事件B 表示“两数之积是3的倍数”，则事件B 包含的不同结果的个数为20，所以P (B )＝2036＝5
9
.
1．解决古典概型问题的关键是：分清基本事件总数n 与事件A 所包含基本事件的个数m ，注意问题：
(1)试验基本结果是否有等可能性． (2)本试验的基本事件有多少个．
(3)事件A包含哪些基本事件．
只有弄清这三个方面的问题解题才不致于出错．
2．求基本事件的个数有列举法、列表法和树形图法，一是注意按一定顺序，防止重复和遗漏；二是可先数一部分，找出规律，推测全部．
课下能力提升(十六)
一、填空题
1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．
解析：本题中基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共三个，其中甲被选中包含两个
基本事件，故甲被选中的概率为2
3.
答案：2 3
2．在平面直角坐标系内，从横坐标与纵坐标都在集合A＝{0，1，2}内取值的点中任取一个，此点正好在直线y＝x上的概率为________．
解析：由x，y∈{0，1，2}，这样的点共有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)9个，其中满足在直线y＝x上的点(x，y)有(0，0)，(1，1)，(2，
2)3个，所以所求概率为P＝3
9
＝1
3.
答案：1 3
3．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．
解析：随机选取的a，b组成实数对(a，b)，有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共15
种．其中b >a 的有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3种，所以b >a 的概率为315＝1
5
.
答案：1
5
4．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)．其中能构成三角形的取法有3种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求概率为3
4
.
答案：3
4
5．盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．
解析：从3只白球、1只黑球中随机摸出两只小球，基本事件有(白1，白2)，(白1，白
3)，(白2，白3)，(白1，黑)，(白2，黑)，(白3，黑)，其中颜色不同的有三种，故所求概率
为P ＝12
.
答案：1
2
二、解答题
6．从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取两台，求两种品牌都齐全的概率．
解：3台甲型电脑为1，2，3，2台乙型电脑为A ，B ，则所有基本事件为：(1，2)，(1，3)，(1，A )，(1，B )，(2，3)，(2，A )，(2，B )，(3，A )，(3，B )，(A ，B )，共10个. 记事件C 为“一台为甲型，另一台为乙型”，则符合条件的事件为6个，所以P (C )＝
610＝35
. 7．设集合P ＝{b ，1}，Q ＝{c ，1，2}，P ⊆Q ，若b ，c ∈{2，3，4，5，6，7，8，9}． (1)求b ＝c 的概率；
(2)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．
解：(1)因为P ⊆Q ，当b ＝2时，c ＝3，4，5，6，7，8，9；当b ＞2时，
b ＝
c ＝3，4，5，6，7，8，9，基本事件总数为14.其中b ＝c 的事件数为7种，所以b ＝c 的概率为：714＝1
2
.
(2)记“方程有实根”为事件A，若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b＝c＝4，5，6，
7，8，9共6种. 所以P(A)＝6
14
＝3
7.
8．对某项工程进行竞标，现共有6家企业参与竞标，其中A企业来自辽宁省，B，C 两家企业来自江苏省，D，E，F三家企业来自山东省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．
(1)列举所有企业的中标情况；
(2)在中标的企业中，至少有一家来自江苏省的概率是多少？
解：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
(2)在中标的企业中，至少有一家来自江苏省的选法有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(B，
D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．所以，“在中标的企业中，至少
有一家来自江苏省”的概率为9
15＝3 5.。