内蒙古包头市高二数学下学期期末考试试题理(new)

内蒙古包头市2016—2017学年高二数学下学期期末考试试题理2017年7月8日
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分,共60分.每题只有一个正确答案）
1．设复数z满足（z－2i)（2－i）＝5，则z＝( )
A．2＋3iB．2－3iC．3＋2i D．3－2i
2．函数f(x）＝
e x
x－2
的递减区间为（)
3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换｛x′＝5x
，y′＝3y
后,曲线C变为曲线x′2＋y′2＝1,则曲线C的方程为（)
A．25x2＋9y2＝1 B．9x2＋25y2＝1C．25x＋9y＝1 D。

错误!＋错误!＝1
4．已知双曲线的方程为x2
a2
－错误!＝1(a〉0，b〉0），双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离
为错误!c(c为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为（）
A.错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!
5．已知圆（x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
6．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3，6,若这个长方体的顶点都在同一球面上,则这个球的表面积为（）
A。

错误!π B．56πC．14πD．64π
7．已知函数f(x)＝错误!则f（x)d x＝( )
A.错误!B．1C．2 D。

错误!
8．f(x)＝e x－x（e为自然对数的底数）在区间[－1,1]上的最大值是（）
A．1＋1
e
B．1C．e＋1 D．e－1
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点,F是BC上一点且FB＝错误!BC，则GB与EF所成的角为( ）
A．30° B．120°C．60° D．90°
10．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1,抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1
和直线l2的距离之和的最小值是( ）
A.错误!B．2C.错误!D．3
11．已知椭圆C:x2
4
＋错误!＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若
点P是椭圆C上的动点，则错误!·错误!的最大值为（）
A。

错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!
12．函数f(x)在定义域R内可导，若f（x）＝f（2－x），且当x∈(－∞，1)时，（x－1)f′（x)〈0，设a＝f(0），b＝f(错误!）,c＝f(3），则（)
A．a<b<c B．c〈a〈b C．c<b〈a D．b<c〈a
二．填空题:(本大题共4小题,每小题5分，共20分)
13.在极坐标系中，点（2，错误!）到直线ρsin(θ－错误!)＝1的距离是________．
14。

若某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．
15．若f（x)＝错误!（x∈R)在区间［－1，1]上是增函数，则a的范围是．
16。

如图所示，在平面上,用一条直线截正方形的一个角,截下的是一个直角三角形,有勾股定理c2＝a2＋b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面的结论有________．
三．解答题（共70分)，写出必要的解题过程。

17．（本题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为错误!(t为参数)，直线l 与抛物线y2＝4x相交于A,B两点，求线段AB的长．
18.（本题满分12分)
如右图，已知椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b〉0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B。

（1）若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率;
（2）若椭圆的焦距为2，且错误!＝2错误!，求椭圆的方程．
19．（本小题满分12分）如图所示，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD，
AB⊥平面BCD,AB＝23。

(1）求证:AB∥平面MCD；
(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．
20.（本小题满分12分）设函数f（x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f（x)过P（1,0），且在P 点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值;
（2)令g（x)＝f(x）－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．
21．（本小题满分12分)
已知抛物线C：y2＝4x，点M(m，0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A，B两点，O为坐标原点．
(1）若m＝1,且直线l的斜率为1，求以线段AB为直径的圆的方程；
（2）问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得错误!＋错误!恒为定值．
22.(本小题满分12分）已知函数f(x)＝错误!x2＋a ln x。

（1）若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值;
（2)若a＝1，求函数f(x）在[1,e］上的最大值和最小值;
(3）若a＝1，求证：在区间［1，＋∞）上函数f（x）的图像在函数g（x)＝错误!x3的图像的下方．
包33中2016~2017学年度第二学期期末考试
高二年级数学(理）试卷答案
一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
C
A
B
B
C
D
D
D
B
B
B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分） 13.1 ； 14. 22；
15[]11，
-； 16 2
32
22
12S S S S ++=; 三．解答题（本大题共6小题，共70分）
17。

解析 将直线l 的参数方程错误!代入抛物线方程y 2
＝4x ，得(2＋错误!t )2
＝4（1－错误!
t )．解得t 1＝0,t 2＝－8错误!。

18.答案 (1)错误! (2）错误!＋错误!＝1
解析 （1）若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有｜OA ｜＝｜OF 2|，即b ＝c .
所以a ＝错误!c ，e ＝错误!＝错误!.
（2)由题知A （0，b ）,F 2（1,0)，设B (x ，y ),
由错误!＝2错误!,解得x ＝错误!，y ＝－错误!。

代入错误!＋错误!＝1，得错误!＋错误!＝1。

即错误!＋错误!＝1，解得a 2
＝3。

所以椭圆方程为错误!＋错误!＝1。

19.解析 （1)证明：取CD 中点O ，因为△MCD 为正三角形，所以MO ⊥CD 。

由于平面MCD ⊥平面BCD ，所以MO ⊥平面BCD . 又因为AB ⊥平面BCD ，
所以AB ∥MO .又AB ⊄平面MCD ，MO ⊂平面MCD ， 所以AB ∥平面MCD 。

（2)连接OB，则OB⊥CD，又MO⊥平面BCD。

取O为原点，直线OC，BO，OM为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系如图所示．
OB＝OM＝3,则各点坐标分别为C（1,0,0)，M（0，0，错误!），B（0，－错误!，0)，A(0,－错误!，2错误!)．
错误!＝(－1，0，错误!)，错误!＝（－1，－错误!，2错误!)．
设平面ACM的法向量为n1＝（x，y，z），
由错误!得错误!
解得x＝3z，y＝z,取z＝1，得n1＝（错误!，1,1)．
又平面BCD的法向量为n2＝(0，0，1)，
所以cos〈n1，n2〉＝错误!＝错误!.
设所求二面角为θ，则sinθ＝错误!。

20。

解析(1)f′（x）＝1＋2ax＋错误!（x〉0)，
又f（x）过点P(1，0），且在点P处的切线斜率为2，
∴错误!即错误!解得a＝－1，b＝3。

（2)由(1）知，f（x)＝x－x2＋3ln x，其定义域为（0，＋∞），
∴g(x）＝2－x－x2＋3ln x,x〉0.
则g′(x）＝－1－2x＋错误!＝－错误!.
当0〈x<1时，g′(x)〉0；当x〉1时，g′（x）〈0。

所以g（x）在(0，1)上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减．
∴g(x)的最大值为g(1）＝0，g（x）没有最小值．
21.解析（1）设A，B两点坐标为A(x1,y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为P（x0，y0)．
由题意，得M(1,0),直线l的方程为y＝x－1。

由错误!得x2－6x＋1＝0。

则x1＋x2＝6，x1x2＝1，
且x0＝错误!＝3，y0＝x0－1＝2。

故圆心为P(3，2），
直径|AB|＝错误!｜x1－x2｜＝错误!·错误!＝8.
∴以AB为直径的圆的方程为(x－3）2＋（y－2)2＝16。

(2)若存在这样的点M，使得错误!＋错误!恒为定值，设直线l的方程为x＝ky＋m。

由错误!得y2－4ky－4m＝0.
于是y1＋y2＝4k,y1y2＝－4m。

又∵|AM|2＝y错误!（1＋k2)，｜BM｜2＝y错误!(1＋k2)，
∴
1
|AM|2
＋错误!＝(错误!＋错误!）·错误!
＝错误!·错误!＝错误!·错误!.
∵要与k无关,只需错误!＝1，即m＝2，
进而错误!＋错误!＝错误!.
∴存在定点M（2，0），不论直线l绕点M如何转动，错误!＋错误!恒为定值错误!。

22。

解析(1）由于函数f（x）的定义域为（0,＋∞),
当a＝－1时，f′（x)＝x－错误!＝错误!，
令f′（x)＝0,得x＝1或x＝－1（舍去）．
当x∈(0,1)时，函数f(x)单调递减，
当x∈（1，＋∞)时,函数f(x）单调递增，
所以f(x）在x＝1处取得极小值，极小值为错误!.
(2）当a＝1时，易知函数f(x）在[1，e]上为增函数，
所以f(x)min＝f（1)＝错误!，f（x）max＝f（e）＝错误!e2＋1。

(3）证明：设F（x)＝f（x)－g(x）＝错误!x2＋ln x－错误!x3，
则F′（x)＝x＋错误!－2x2＝错误!，
当x〉1时，F′（x）<0，故F(x)在区间（1，＋∞）上是减函数．又因为F(1)＝－错误!〈0,所以在区间[1,＋∞）上F（x)〈0恒成立，即f(x）〈g（x）恒成立．因此，当a＝1时，在区间［1，＋∞）上函数f（x)的图像在函数g(x）图像的下方．
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