宁夏银川一中2021届高三第四次月考数学文试题含答案.docx

银川一中2021届高三年级第四次月考
文科数学
命题教师：
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项
是符合题目要求的.
1.设全集U = {2,3,5}, 4 = {2,匕一5|}, C ty A = {5},则 a 的值为
A. 2
B. 8
C. 2或8
D. —2 或 8
2.己知命题“PS”为真，“初”为真,
则下列说法正确的是
A .。

真q 真
B .卩假q 真 C.卩真9假
D.卩假9假
3.已知i 为虚数单位，复数z = —,
1 + 1
则 1 z
A. 72
B. 2
c.躬
D. 2迈
4. 己知函数y = fl'-2+3 (a> 0且a 工1)的图像恒过定点P ,点P 在幕函数y =/W 的图像 上，则 log3/(3)
= A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
5. 已知将函数/(x) = cos4x 的图象向右平移列0>0)个单位长度后所得的图象关于V 轴 对称，则卩
的值可能为
6. 在等差数列{a”}中，若—<-1,且它的前"项和S”有最小值，则当S”>0时，"的最小 值为
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
A. n ~
6
7. 函数/(x) =
3cosx + l
的部分图像大致是
8.若Q4丄佔，| 041=1，则OA\OA+OB) =
-1 D. 0
10.已知函数/(*)=；_；,若不等式/(a2-2a-m) + /(l-2a)<0对任意的ae[-l,4]
均成立，则加的取值不可能是
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
11.如图所示，在长方体ABCD—MGU ,若AB= BC, E、F分别是妙、BC X的
中点，则下列结论中不成立的是A- ------ G
/ ' 、 /
A.EF与垂直
B.EF 丄平面BDD l B l
C.EF与GD所成的角为45。

D.EF//平面A X B X C X D}
12.已知函数y (x)= - %2 + tz, g(兀)=兀纭“，若对任意的x? w [-1,1],存在唯一的X] e [——,
2],使得/(不)=g(%2)，则实数Q的取值范围是
1 1
A. (e, 4]
B. (e + —，4]
C. (e + —，4)
4 4
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是_________ .
14.已知向量AB = (-2,l-x), BC = (x,l),若A，B, C三点共线，贝卩实数
%= ____
15.在三棱柱ABC-^Q中，羽丄底面ABC, AABC是正三角形，若
* =243 = 2巧，则该三棱柱外接球的表面积为 ______________ .
16. 如图，在平面上作边长为1的正方形，以所作正方形的一边为 斜边向外作等腰直角三角形，
然后以该等腰直角三角形的一条 直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外 作等腰直角三角形，…如此这般的作正方形和等腰直角三角形，
不断地持续下去，求前n 个正方形与前n 个等腰直角三角形的面积之和 _____________ . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题, 每个
试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：(共60分) 17. (12 分)
已知数列｛a”｝为递增的等差数列，其中色=5,且成等比数列. (1)求｛a”｝的通项公式;
°)设％ = [a +l)(a
+1)记数列仏"｝的前n 项和为丁"-
18. (12 分)
已知a, b , c 分别为AABC 内角A, B, C 的对边，若AABC 同时满足下列四个条件
2辰±3c ； @COS 2A + 2COS 2- = 1;③“屈 ®b = 2^2-
3(a+b)
2
(1)满足三角形可解的序号组合有哪些?
(2)在(1)所有组合中任选一组，并求对应AABC 的面积. 则按计算的第一种可能计分) 20. (12 分)
如图，正方体ABCD —ABCU 的棱长为1,线段上有 两个动点E, F,且=
2
⑴若P 为 * 上的一点，则P 到平面BDD X B X 的距离. (2)求三棱锥E-ABF 的体积. 21. （12 分）
已如图所示，在四棱锥P-ABCD 中, 分别是AB, PC 的中点，PA = AD = a .
(1) 求证：MN//平面P4D (2) 求证：MN 丄平面PCD.
19. (12 分) 底面ABCD 是矩形，P4丄平面4BCD, M, N
(若所选条件出现多种可能,
中的三个：①上勺
Bi
B
已知函数/（兀）=*/ - lax + In x ,
（1）讨论/（兀）的单调性；
（2）若/（无）有两个极值点兀i、x2（x i <x2）,求/（兀2）-2/（兀J的取值范S.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分。

22•［选修4—4：坐标系与参数方程］
l fx = 3 cos a 在平面直角坐标系兀Oy中，射线/：y = ^3x（x>0）,曲线Ci的参数方程为｛. （Q
V = 2sma 为参数），曲线C2的方程为X2 +（y-2）2 =4；以原点为极点，兀轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为p = 8sin&.
（1）写出射线/的极坐标方程以及曲线Ci的普通方程；
（2）已知射线/与C2交于O, M,与C3交于O, N,求|MN|的值.
23 .［选修4—5：不等式选讲］（10分）已知/*（%） = |x+l|+ |x—2|.
（1）求不等式f（x）<x + 4的解集；
（2）若/（兀）的最小值为加，正实数a, b, c满足a + b + c = m ,
亠、十 1 1 1 m
求证: ----- + ----- + ----- > 一 .
a+b b+c c+a 2
银川一中2021届高三第四次月考数学(文科)参考答案
一、选择题：只有一项符合题目要求(共12小题，每小题5分，共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A D D C B A A D C B 11.【解析】
连接4B、£G、A»，则E为£^的中点，
对于A选项，BB]丄平面Ad GD ,
4G u平面AdCjD], BB1丄AG , A I
E、F分别为AjB、BC]的中点，则EF叫G，
:.EF丄BB[, A选项正确；
对于B选项，四边形43GP为正方形，则AG丄BQ,
又g丄BB], BQcBB严：.入G丄平面BDD^, A
R EF叫C\, ;.EF丄平面BDD[B[, B选项正确；对于C选项，易知
AG£>为等边三角形，则ZA l C1D = 60 ,
EF//A.C,,则EF与GD所成的角为ZA l C1D = 6Q , C选项错误；对于D 选项，EF〃AG，平面
4G u平面A X B X C X D V :.EF〃平面
A l
B l
C l
D l, D选项正确.
12.【解析】
解：f_ %2 +tz 在［-3，2］的值域为［旷4, a］,
但/(x)在(了,2］递减，此时/(x)w［a -4, a g(x)=x2e x的导数为g' (x) =^2xe x + x2e x=x(x+2)e x, 可得
g(x)在［-1,0］递减，(0,1］递增，
则g(x)在［-1,1］的最小值为g(0)=0,最大值为g(l)=e,即值域为［0, e］. 对任意的*2 ,存在唯一的\e［—y * 2］，使得/(兀1)=&(兀2)，
可得［0, e］ c a-4, a —占］,
可得a~4 < 0<e<tz ,
解得 e +—Va < 4 .
4
故选：B.
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.返14. x = 2或x = -l. 15. 16龙16. S”=#(l-*)
16.【解析】
设依次所作的第"个正方形的边长为a”，第"个正方形与第“个等腰直角三角形的面积和为S”，则第"个等腰直角三角形的腰长为至a ，且=1.
2
72 . a n+i V2 ——a”， •• ------ = ------ ， 2 a”
5 2
5 “2
：a”，—
4
%莎
5.^=1^= jxl 2=|,所以，数列｛S”｝是以扌为首项，£为公比的等比数列. s” =-(1-—) ” 2 2n 三、解答题： 17. (1) a n =2n-l- (2) 2.
【解析】
(1) 在等差数列中，设公差为能0,
_ 2
a l a 5-a 2 3o =5 aj=l 、d=2 •
.\a n =a\+ (n - 1) d=l+2 (n - 1) =2n - 1； (2) 由(1)知，a n =2n - 1. 则 b n =(an+l)^n+1+l)=2n-2(n+l)4 冲弓卫 .•.几=丄[(1-丄)+(丄丄)+・・・+ ( •— )]=—(!一 )_ ——.
4 2 2丿、2 3丿十订n+1丿」4、n+1丿4(n+l) •••第"+ 1个正方形的边长为a S n =a n +
~
n+\
解得 (a 1+4d)= (aj+d) 2 a[+2d=5
18.证明：/刀如图，取CD 的中点E,连接NE, ME. ,.E ，M, N 分别是CD, AB, PC 的中点， Z NE//PD' EM//DA ， •:平面AEW 平面PDA '
.:顾平面MD (2) VPA 二平面 ABCD'，: CD 丄 pA .底面ABCD 是矩形，CD 丄a ， 又24门40 = -4' CD 丄平面 PA 。

' ,： C D ± PD'
VEX/PD' EN 丄 CD'
T PM= JPA 3-ANf
a 2 +（尹尸=-JBC : ~MB :
= HC ，N 是PC 的中点, V . 平面PCD •'・ MN 丄 PC 人 CD CPC =C
工丁冋
19. (1)①，③，④或②，③，④；(2)屈 【解析】
(1)由①口 =仝空得，3(夕+宀小 c 3(a+b) ' 7
所以 COS B=/+C 2"'=_ 心,
3
2ac
A
由② cos 2A + 2 cos 2
= = 1 得，2 cos A 2 + cos A —1 = 0，
2
1 7t
解得cosA =—或cosA = -l (舍),所以 A = — ,
2 3
因为cosB = -—<---且Be(O,^),所以所以A + B>TT ,矛盾. 3
2 3
所以AABC 不能同时满足①，②.
故AABC 满足①，③，④或②，③，④； (2)若AABC 满足①，③，④，
因为b 2 = a 2 + c 2 -2accosB ，所以 8 = 6 + c 2 + 2x^/6 xcx 孚即c j —2"
解得 c = A /6 — 2 -
所以AABC 的面积S=*csi”辰忑
, 拆2迈
a I ) ——-----------
若AABC 满足②，③，④由正弦定理——=——，即朽 sinB ，解得sinB = l, sin A sin B
所以
2 ",所以AABC 的面积S 弓csinA". 20.【解析】解：（1） r.UjZ/BB], .4.4] H 平面BBiDD]，BBi
.：44*平面BBjDDj ，即.4J*平面 BEF,
又 VCD J. EX' EA/Cl EN= E'
.：CD 二平面已顺，.：财M ± CD ， 又：'正方体ABCD-A J B I C J D]的棱长为1,
B\
小到平面BEF的距离为曲到鬲Dj的距离庄，
.:若P为.丄务上的一点，则P到平面BEF的距离为£,故(2丿正确；
设AC, BD交于点0, 40丄平面BB]D]D，.40=]
( 1 3
21. (1)见解析；(2) —°o,—I—In2 .
I 2 2 _
【解析】
(1)函数/(x) = |-x2 -2ax + lnx 的定义域为(0,+&>),
f'(x} = x-2a + —=———,y = x2 - 2ax+l.
x x '
当4 = 4 4V0，即—lVaV 1时，丁三0,则f(x)>0对任意的x>0恒成立，
此时函数y = /(%)在(0,+a)上单调递增；
当a<-\时，/(%)>0对任意的x>0恒成立，
此时函数y = /(%)在(0, +8)上单调递增；
当a>l 时，x2-2ax + l = 0 有两个正根，分别为X] = a _ Ja1 _ ] , x2 = a + yja2 -1, 当0 <兀<召或x>X]时，/'(x)>0；当舌<*<*2 时，/f(x) <0.
此时函数y = /(%)在(0,%,), (x2,+co)上单调递增，在(不,兀2)上单调递减. 综上可得：当aVl时，函数y = /(x)的单调递增区间是(0,+乞)，无递减区间；当a>l时，函数y = /(%)的单调递增区间是(0,a_如_1) , (a +如_],+8), 单调递减区间是(a — Ja? -1, a + Ja? -1)；(2)由(1)可知兀、吃是关于x的二次方程x--2ax + l = 0的两根，由韦达定理可得+ x2= 2a , %! ■ x2 = 1, a>l, 2aX]=xj+l, 2ax2 +1,
Qa〉1, .•.X] w(O,l) , x2 e(l,+oo),
/. /(x2)-2/(xj) = ^--2cuc2 +lnx2 _2住彳_2今+lnX]
=-—+ + In x2 - 2 In X] +1
1 1 9 1
+ In %2 _ 2 In ---- 1 —— %2 —+ 3 In x》+1
x2 2 xi一
1 1 3
令t = j 贝设g(》) = —3》——In+1, g@)=丄当+2」n=”i )y-2), v 7 2 t 2 It It" 2尸
当 1<Z<2时，g'(/)<0,当/〉2时，g'(/)<0. 所以，函数y = g(r)在(1,2)单调递增，在(2,收)单调递减,
1 3
「•g 叽=g (2)= - + -ln2,
( i 3
因此，/(吃)-2/(^)的取值范围是[—°o, — + — In2 .
2 2
22. (1) Z:^ = |(p>0), ^:^- + ^ = 1 (2) \MN\ = 2^/3 【解析】
(1)依题意，因为射线Z:y = 73x(x>0),故射线Z:6> = |(/?>0)
x 二 3cosa x 2 v 2
r 中的参数可得—+ ^ = 1， y = 2sina 9 4
2 2
所以曲线G 的普通方程为：—+^ = 1.
9 4
(2)曲线 C?的方程为 x 2+(y-2)2=4,即 x 2 + y 2-4y = 0,
把x 2 +b = p 2,y = psin^代入上式可得曲线C?的极坐标方程为p = 4sin0 , 设点M,N 对应的极径分别为Q ,°2，
..7C . 71
4sin S sin —
3 3
23.【答案】解：/功勿=|x + Z| +|x-2|
当x<-1时，由一h- 1冬x-4,得兀>一』，此时斤力Sx-4无解; 当一/三x 三』时，由3三x-4, <Y >-7,此时fWx- 4的解为一 Z£xW2； 当v -：
2时，由2.V- 1 <x-4,解得:v 三5，此时fg 沁一 4的解为2<兀冬5・ 综上，不等式fz —-4的解集为［一1,5］； 证明:(2)
|x+J|+ |x-2| >
+1) - /A -2)| = 3,
故的最小值为加=3,・'・a-b + c
y[(a ^b)+(b+c)+(c+a)](__.__-__
N 斗(a- b)(b + c)(c+ a)・ 3
等号当且仅当a-b = b-c = c-a,即。

=b =胡寸成立.
「a_b_c = 3, Z — - —
'a+b b* c+a
则 | MN\ = \Pl -p 2\ = (一2x+h(x<_
“ 39(-1<X <2)9 2x- l 9(x> 2).
---- ---- 二 9,
a~b b^c c^a J 即_L-_L-_L>".
a十b b+t c-^a 2。