2018学年高中数学人教A版选修2-3课件 第1章 计数原理1.3.1 精品

(1)∵第 6 项为常数项， n－2r ∴r＝5 时有 3 ＝0，∴n＝10.
10－2r (2)令 3 ＝2，得 r＝2， ∴所求的系数为 1 2 45 2 C10(－ ) ＝ . 2 4
10－2r∈Z， 3 (3)根据通项公式，由题意得： 0≤r≤10， r∈Z. 10－2r 令 3 ＝k(k∈Z)，则 10－2r＝3k， 10－3k 3 即 r＝ 2 ＝5－2k.
2 10 2 ． 二 项 式 (x ＋ ) 的展开式中的常数项是 x
2
导学号 03960203 ( A．第 10 项 C．第 8 项
) B．第 9 项 D．第 7 项
[ 答案]
[ 解析]
B
通项 5r r 2 10－r 2 r r r Tr＋1＝C10· (x ) · ( ) ＝2 · C10x20－ ，令 x 2 20
他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住姑娘的手指， 错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大 叫，离他而去． 那么，什么是二项式定理？二项 式定理的无穷魅力在哪里？
二项式定理及相关的概念
二项式定理 公式(a＋b)n＝ 概念
0 n 1 n－1 2 n－2 2 r n－r r n n C a ＋ C a b ＋ C a b ＋…＋ C a b ＋…＋ C n n n n nb (n∈N＋) __________________________________________
念．
1 5 1 ． (x － x ) 的 展 开 式 中 含 x 3 项 的 二 项 式 系 数 为 导学号 03960202 ( A．－10 C．－5 ) B．10 D．5
[ 答案]
[ 解析]
D
1r r 5－r 5－2r Tr＋1＝C5· x (－ ) ＝(－1)rCr · x ， 5 x
令 5－2r＝3，则 r＝1.∴x3 项的二项式系数为 C1 5＝5.
r 3
5－r r ，令 2 －3＝0 得 r＝3，
3 所以 A＝C3 ( － 1) ＝－10. 5
课堂典例讲练
利用通项公式求展开式中的特定项
1 n 在( x－ ) 的展开式中，第 6 项为常数 3 2 x 3 项. 导学号 03960206 (1)求 n； (2)求含 x2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
n－k k 在 Tk＋1＝Ck a b 中 n k 二项式系数 Cn 就是该项的二项式系数，它与 a，b 的值无关
项的系数
项的系数是指化简后字母外的数字因数
3.对二项展开式的通项公式的两点说明 (1)通项公式表示二项展开式中的任意项， 只要 n 与 k 确定， 该项也随之确定．对于一个具体的二项式，它的展开式中的项 Tk＋1 依赖于 k. (2)通项公式是在(a＋b)n 这个标准形式下而言的， 而(a－b)n
5r － 2 ＝0 得 r＝8，∴常数项为第 9 项．
3．(2016· 北京理，10)在(1－2x)6 的展开式中，x2 的系数为 ________．(用数字作答) 导学号 03960204
[ 答案]
[ 解析]
60
r r (1－2x)6 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr ( － 2) x， 当 r＝2 6
[ 思路分析]
首先由第 6 项为常数求项数 n， 再根据通项公
式求 x2 项的系数和有理项．
[ 解析]
1 r ＝Cn· (x3
r 3 Tr＋1＝Cn· (
x)
n－r
1 r · (－ ) 3 2 x
)
n－r
1 －1 · (－2· x 3 )r
2r 1 r r n－ ＝(－2) · Cn· x 2 .
2 2 2 2 时，T3＝C2 6(－2) x ＝60x ，所以 x 的系数为 60.
1 5 4．(浙江高考)设二项式( x－ ) 的展开式中常数项为 A， 3 x 则 A＝________. 导学号 03960205
[ 答案]
[ 解析]
－10
5－ r 2 Tr＋1＝Cr 5x
(－1) · x
r
－
n－k k 的二项展开式的通项公式是 Tk＋1＝(－1)kCk · a b (只需把－b 看 n n－k k 成 b 代入二项式定理)，这与 Tk＋1＝Ck b 是不同的，在这里， na k 对应项的二项式系数是相等的， 都是 Cn ， 但项的系数一个是(－ k k 1)kCn ，一个是 Cn ，可以看出二项式系数与项的系数是不同的概
备注
[知识点拨]1.二项式(a＋b)n(n∈N*)展开式的特点：
(1)它有n＋1项；
(2) 各项的次数 ( 即 a 与 b 的指数的和 ) 都等于二项式的次数 n； (3) 字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0 ；字母 b 按升幂排 列，次数由 0递增到n； 2．二项式系数与展开式项的系数的异同
n 1 n 1 n 2 2 n r r 二项展 C0 b＋C2 b ＋…＋Cr b ＋…＋Cn na ＋Cna na na n
－ － －
开式
bn(n∈N＋) 在二项式定理中，如果令 a＝1，b＝x，则得到公 式(1＋x)n＝ 1 2 2 r rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn n 1 ＋ C x ＋ C x ＋…＋ C x ＋…＋ C n n n nx __________________________________________ (n∈N＋)
称为二项式定理
r C 二项式 各项系数________( r＝0,1,2，…，n)叫做展开式 n
系数
的二项式系数
r n－r r ＝ C b (其中 0≤r≤n，r∈N，n∈N＋) 1 na
r n－r r r＋1 项，可记作 Tr＋ 二项式 Cn a b 是展开式中的第________
通项
二项式定理
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-2 2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
计数原理
第一章 1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
1
课前自主预习
3
当 堂 检 测
2
课堂典例讲练
4
课 时 作 业
课前自主预习
牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个个重
要的发现．有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，
3 ∵0≤r≤10，∴0≤5－2k≤10，∴－3≤k≤3， 又∵k 应为偶数，∴k 可取 2,0，－2， ∴r＝2,5,8，∴第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项． 它们分别为 2 12 2 15 2 5 C10· (－ ) · x ，C10(－ ) ， 2 2