2020版高考数学一轮复习(讲义·理) 第5章 数列 第4讲 数列求和

第4讲 数列求和
1．基本数列求和公式法 (1)等差数列求和公式：
S n ＝n a 1＋a n 2
＝na 1＋
n n －
2
d .
(2)等比数列求和公式：
S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q
＝a 1－q n
1－q ，q ≠1.
2．非基本数列求和常用方法
(1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法． 常见的裂项公式： ①1n
n ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋k ； ②1
n －
n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2n －1－12n ＋1；
③1
n n ＋
n ＋
＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1n
n ＋
－
1
n ＋n ＋
； ④
1
n ＋n ＋k ＝1
k
(n ＋k －n )．
3．常用求和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝
n n ＋
2
；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2
； (3)12
＋22
＋32
＋…＋n 2
＝
n n ＋
n ＋
6
；
(4)13
＋23
＋33
＋…＋n 3
＝⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤n n ＋
22.
1．概念辨析
(1)已知等差数列{a n }的公差为d ，则有
1
a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
a n －1a n ＋1.( ) (2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2
1°＋sin 2
2°
＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 2
89°＝44.5.( )
(3)求S n ＝a ＋2a 2
＋3a 3
＋…＋na n
时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )
(4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是(n >1，n ∈N *
)首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n
－1
2
.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．小题热身
(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1
n n ＋
，则S 5等于( )
A ．1 B.56 C.16 D.1
30
答案 B 解析 ∵a n ＝
1
n
n ＋
＝1n －1n ＋1，∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56
. (2)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1
2n ，…的前n 项和S n 的值等于( )
A ．n 2
＋1－12n
B ．2n 2
－n ＋1－12n
C ．n 2
＋1－12
n －1
D ．n 2
－n ＋1－12
n
答案 A
解析 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋1
2n ，
则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1
22＋ (12)
＝n 2
＋1－12
n .
(3)数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1
·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )
A ．200
B ．－200
C ．400
D ．－400
答案 B
解析 设b n ＝4n －3，则{b n }是公差为4的等差数列，
a n ＝(－1)n －1
b n .
S 100＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 99＋a 100)
＝(b 1－b 2)＋(b 3－b 4)＋…＋(b 99－b 100) ＝－4－4－4－…－4＝－4×50＝－200. (4)数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos
n π
2
，其前n 项和为S n ，则S 2018等于( )
A ．－1010
B ．2018
C ．505
D ．1010 答案 A
解析 易知a 1＝cos π
2
＝0，a 2＝2cos π＝－2，a 3＝0，a 4＝4，….
所以数列{a n }的所有奇数项为0，前2016项中所有偶数项(共1008项)依次为－2,4，－6,8，…，－2014,2016.故S 2016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2014＋2016)＝1008.a 2017＝0，a 2018＝2018×cos 2018π2
＝－2018，∴S 2018＝S 2016＋a 2018＝1008－2018＝－1010.故选A.
题型 一 分组转化法求和
1．(2018·信阳模拟)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a n ＋2，n 是奇数，
2a n ，n 是偶数，则数列
{a n }的前20项和为( )
A ．1121
B ．1122
C ．1123
D ．1124 答案 C
解析 由题意知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为
－2
10
1－2
＋10×1＋10×9
2×2＝1123.
2．(2018·合肥质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n
2
，n ∈N *
.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2an ＋(－1)n
a n ，求数列{
b n }的前2n 项和． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝
n 2＋n
2
－
n －
2
＋n －
2
＝n .
a 1也满足a n ＝n ，
故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n
n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，
则T 2n ＝(21
＋22
＋ (22)
)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21
＋22
＋ (22)
，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝
－22n
1－2
＝2
2n ＋1
－2，
B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .
故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝2
2n ＋1
＋n －2.
结论探究 在举例说明2条件下，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 由举例说明2知b n ＝2n
＋(－1)n n . 当n 为偶数时，
T n ＝(21
＋22
＋ (2)
)＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ]＝2－2n ＋1
1－2＋n 2＝2n ＋1＋n
2
－2；
当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ]＝2
n
＋1
－2＋
n －1
2
－n ＝2
n ＋1
－n 2－5
2
. ∴T n
＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2n ＋1
＋n
2－2，n 为偶数，
2
n ＋1
－n 2－5
2
，n 为奇数.
分组转化法求和的常见类型
(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．
(2)通项公式为a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
b n ，n 为奇数，
c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差
数列，可采用分组求和法求和．如举例说明1.
已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝8，数列{b n }是等比数列，满足b 2＝4，b 5＝32.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意得d ＝
a 4－a 1
3
＝2，
所以a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)×2＝2n .
设等比数列{b n }的公比为q ，由题意得q 3
＝b 5
b 2
＝8，解得q ＝2. 因为b 1＝b 2q
＝2，所以b n ＝b 1·q n －1
＝2×2
n －1
＝2n
.
(2)S n ＝
n
＋2n
2＋－2n
1－2
＝n 2
＋n ＋2n ＋1
－2.
题型 二 裂项相消法求和
1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1
n ＋n ＋1
，若前n 项和为10，则项数n 为________．
答案 120 解析 因为a n ＝
1
n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，
所以S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )
＝n ＋1－1，又因为S n ＝10， 所以n ＋1－1＝10，解得n ＝120.
2．(2018·芜湖模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2
＋n ＋2. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝
1
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)S n ＝n 2
＋n ＋2，①
当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2
＋(n －1)＋2，②
①－②得a n ＝2n ，当n ＝1时，a 1＝4，a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
4，n ＝1，
2n ，n ≥2
(n ∈N *
)．
(2)由题意，b n
＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧
1
16
，n ＝1，1
n n ＋
＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1，n ≥2，
当n ＝1时，T 1＝1
16.
当n ≥2时，
T n ＝1
16＋14⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
14－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1
＝116＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1 ＝
3n －1n ＋
.
T n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
116，n ＝1，3n －1
n ＋，n ≥2.
条件探究 举例说明2中，若a n ＝2n
，b n ＝ 1
log 2a n ·log 2a n ＋2
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解 b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋2＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋2，
T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫
3
2－1
n ＋1－1n ＋2＝34－
1
2n ＋2－1
2n ＋4
.
几种常见的裂项相消及解题策略
(1)常见的裂项方法(其中n 为正整数)
(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使前后相等．
1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 4＝4，S 5＝15，若数列⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫1a n a n ＋1的前m 项和为1011，
则m ＝( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11 答案 C
解析 S n 为等差数列{a n }的前n 项和，设公差为d ，a 4＝4，S 5＝15，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 4＝4，
S 5＝15＝5a 3，解得d ＝1，
则a n ＝4＋(n －4)＝n . 由于
1
a n a n ＋1＝
1
n
n ＋
＝1n －1n ＋1
，
则S m ＝1－12＋12－13＋…＋1m －1
m ＋1
＝1－
1m ＋1＝10
11
，解得m ＝10. 2．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝
a n ＋1
S n S n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为数列{a n }是递增的等比数列， 且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＋a 4＝9，a 1<a 4，
a 1·a 4＝8
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
a 4＝8⇒q 3
＝a 4
a 1
＝8⇒q ＝2⇒a n ＝a 1·q
n －1
＝2
n －1
.
(2)由(1)可知S n ＝a 1
－q n
1－q
＝1－2n
1－2＝2n －1， 所以b n ＝
2
n
n
－n ＋1
－
＝
12n
－1－1
2n ＋1－1
， 所以T n ＝1－13＋13－17＋17－115＋…＋12n －1－1
2n ＋1－1
＝1－1
2n ＋1－1
.
题型 三 错位相减法求和
(2018·安徽皖江最后一卷)设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1
＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n
b n 的前n 项和S n .
解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0且⎩⎪⎨⎪
⎧
1＋2d ＋q 4
＝21，1＋4d ＋q 2
＝13，
解得d ＝2，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q
n －1
＝2
n －1
.
(2)a n b n ＝2n －1
2n －1. S n ＝1＋32
1＋52
2＋…＋
2n －32n －2＋2n －12
n －1，① 2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －1
2
n －2，②
②－①得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －12n －1＝2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1
2
2＋…＋12n －2－2n －12n －1＝2
＋2×1－12n －1
1－12
－2n －12n －1＝6－2n ＋3
2n －1.
利用错位相减法的一般类型及思路
(1)适用的数列类型：{a n b n }，其中数列{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q ≠1的等比数列．
(2)思路：设S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，(*) 则qS n ＝a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n －1b n ＋a n b n ＋1，(**)
(*)－(**)得：(1－q )S n ＝a 1b 1＋d (b 2＋b 3＋…＋b n )－a n b n ＋1，就转化为根据公式可求的和．如举例说明．
提醒：用错位相减法求和时容易出现以下两点错误： (1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．
(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n －1项和当作n 项和．
(2018·兰州模拟)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
1a n ·a n ＋1的前n 项和为
n
2n ＋1
. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(a n ＋1)·2an ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 令n ＝1，得1
a 1a 2＝1
3，所以a 1a 2＝3.① 令n ＝2，得
1a 1a 2
＋
1
a 2a 3＝25
， 所以a 2a 3＝15.②
由①②解得a 1＝1，d ＝2，
所以a n ＝2n －1.经检验，符合题意． (2)由(1)知b n ＝2n ·2
2n －1
＝n ·4n
，
所以T n ＝1·41＋2·42
＋…＋n ·4n ， 所以4T n ＝1·42
＋2·43
＋…＋n ·4n ＋1
，
两式相减，得
－3T n ＝41
＋42
＋…＋4n －n ·4n ＋1
＝
1－4
n
1－4
－n ·4
n ＋1
＝
1－3n 3×4n ＋1－4
3
. 所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49
＝
4＋
n －
n ＋1
9
.。