高一数学下学期开学考试第一次测试试题

2021-2021学年第二学期高一年级期初考试
数学试题
一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分) 1．假如A ＝{x |x >－1}，那么( )
A ．0⊆A
B ．{0}∈A
C ．∅∈A
D ．{0}⊆A
2．函数f (x )＝x 3
＋x 的图象关于( )
A ．y 轴对称
B ．直线y ＝－x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y ＝x 对称
3．△ABC 中，tan A ＝－5
12
，那么cos A 等于( )
A.
1213 B.5
13
C ．－513
D ．－1213
4．假设0<m <n ，那么以下结论正确的选项是( )
A ．2m
>2n
B ．(12)m <(12)n
C ．log 2m >log 2n
D ．12
log m >12
log n
5．向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，假设a ∥b ，那么a ·b 等于( )
A ．－10
B ．－6
C ．0
D ．6
6．假设|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，a ，b 的夹角为30°，那么a ·b 等于( )
A.
3
2
B. 3 C ．2 3 D.1
2
7．设cos(α＋π)＝
32(π<α<3π
2
)，那么sin(2π－α)的值是( ) A.12 B.3
2
C ．－
32 D ．－1
2
8．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，0<|φ|<π，x ∈R )的局部图象如下图，那么函数表达式为( )
A ．y ＝)438
sin(
4ππ
-
x B ．y ＝)4
38sin(4π
π+x C ．y ＝)48sin(
4ππ
-x D ．y ＝)4
8sin(4π
π+x 9．以下函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π
3
对称的是( )
A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6
B ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π6 10．假设向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )互相垂直，其中x ∈R ，那么|a －b |等于( )
A ．－2或者0
B ．2 5
C ．2或者2 5
D ．2或者10 11．0<a <1，那么方程a |x |
＝|log a x |的实根个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．与a 值有关
12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，那么有( )
A ．f (13)<f (2)<f (12)
B ．f (12)<f (2)<f (1
3)
C ．f (12)<f (13)<f (2)
D ．f (2)<f (12)<f (13)
二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分) 13．计算：0.25×(－12
)－4
＋lg 8＋3lg 5＝________.
14．α为第二象限的角，sin α＝3
5
，那么tan 2α＝________.
15．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π
2)的图象上相邻的最高点和最低点之间
的间隔 为22，且过点(2，－1
2)，那么函数f (x )＝________.
16. 如图，正六边形ABCDEF 中，有以下四个命题：
①AC →＋AF →＝2BC →； ②AD →＝2AB →＋2AF →； ③AC →·AD →＝AD →·AB →； ④(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →)．
其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分)
17．(10分)向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π
2.
(1)假设a ⊥b ，求θ； (2)求|a ＋b |的最大值．
18．(12分)函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π
12时获得最
大值4.
(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；
(3)假设f (23α＋π12)＝12
5
，求sin α.
19．(12分)如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于
P ，Q 两点，点P 点的坐标为(－35，45
)．
(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；
(2)假设OP →·OQ →
＝0，求sin(α＋β)．
20．(12分)a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32
. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π
2
时，求函数f (x )的值域．
21．(12分)函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2
ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )
的图象，求函数g (x )在区间[0，π
16
]上的最小值．
22．(12分)f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝a x
a >0且a ≠1. (1)求f (2)＋f (－2)的值； (2)求f (x )的解析式；
(3)解关于x 的不等式－1<f (x －1)<4，结果用集合或者区间表示．
2021-2021学年第二学期高一年级期初考试
数学试题答案
一、选择题
1．D 2．C 3．D 4．D 5．A 6．B 7．A 8．A 9．B 10．D 11．A 12．C 二、填空题
13．7 14．－247 15． sin(πx 2＋π
6) 16. ①②④
解答题
17．解 (1)假设a ⊥b ，那么sin θ＋cos θ＝0. 由此得tan θ＝－1(－π2<θ<π2)，∴θ＝－π
4.
(2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得
a ＋
b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，
|a ＋b |＝
sin θ＋1
2
＋1＋cos θ
2
＝3＋2sin θ＋cos θ＝
3＋22sin θ＋
π
4
，
当sin(θ＋π
4)＝1时，|a ＋b |获得最大值，
即当θ＝π
4时，|a ＋b |的最大值为2＋1.
18．解 (1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)，∴T ＝2π
3，
即f (x )的最小正周期为2π
3
.
(2)∵当x ＝π
12
时，f (x )有最大值4，∴A ＝4.
∴4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋φ＝1.
即π4＋φ＝2k π＋π2，得φ＝2k π＋π
4(k ∈Z )． ∵0<φ<π，∴φ＝π4.
∴f (x )＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝4cos 2α.
由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2
3α＋π12＝125，得4cos 2α＝125，∴cos 2α＝35，
∴sin 2
α＝12(1－cos 2α)＝15，
∴sin α＝±5
5
.
19．解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝4
5
，
∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2
α1＋
sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2
α＝2·(－35)2＝
18
25
. (2)∵OP →·OQ →
＝0，∴α－β＝π2，
∴β＝α－π
2
，
∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝3
5，
cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝4
5
.
∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝7
25.
20．解 (1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2
x ＋3
2
＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32 ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期为π.
令sin(2x －π3)＝0，得2x －π3＝k π，∴x ＝k π2＋π
6，k ∈Z .
故所求对称中心的坐标为(
k π2＋π
6
，0)，(k ∈Z )．
(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.∴－32≤sin(2x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－3
2，
1]．
21．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2
ωx .
所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12
. 由于ω>0，依题意得2π
2ω＝π，所以ω＝1.
(2)由(1)知f (x )＝
22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12， 所以g (x )＝f (2x )＝
22sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.
当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π
2
，
所以
22≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1.
因此1≤g (x )≤1＋2
2
.
故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π16上的最小值为1.
22．解 (1)∵f (x )是奇函数，
∴f (－2)＝－f (2)，即f (2)＋f (－2)＝0. (2)当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝a －x
－1.
由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )， ∵f (－x )＝a －x －1， ∴f (x )＝－a －x ＋1(x <0)．
∴所求的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
a x
－1
x ≥0－a －x
＋1 x <0
.
(3)不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧
x －1<0
－1<－a －x ＋1
＋1<4
或者⎩⎪⎨⎪⎧
x －1≥0
－1<a x －1
－1<4，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x －1<0－3<a －x ＋1
<2或者⎩
⎪⎨⎪⎧
x －1≥0
0<a x －1
<5.
当a >1时，有⎩⎪⎨
⎪
⎧
x <1x >1－log a 2
或者⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ≥1x <1＋log a 5
，
注意此时log a 2>0，log a 5>0，
可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)． 同理可得，当0<a <1时，不等式的解集为R . 综上所述，当a >1时，
不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)； 当0<a <1时，不等式的解集为R .
创作人：历恰面日期：2020年1月1日
创作人：历恰面日期：2020年1月1日。