8.1.2 向量数量积的运算律2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型

8.1.2向量数量积的运算律
课标要求素养要求
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用
的公式.
2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. 通过引入平面向量数量积的运算律，体会数学抽象及数学运算素养的生成过程
.
教材知识探究
没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？
问题向量数量积的运算律在解题过程中有怎样的作用？
提示若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积．
平面向量数量积的运算律与运算性质和实数的运算律及运算性质类似，可类比记忆
1．平面向量数量积的运算律
运算律实数乘法向量数量积
交换律ab＝ba a·b＝b·a
结合律(λa)·b＝a·(λb)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)
2.平面向量数量积的运算性质
类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．
教材拓展补遗
[微判断]
(1)a ·(b ·c )＝(a ·b )·c .(×)
(2)AB →·AC →＋AB →·CD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AD →.(√)
(3)λ(a ·b )＝λa ·b .(√)
提示 (1)三个向量的数量积的结合律不成立，即a ·(b ·c )≠(a ·b )·c . (2)由数量积的分配律可知其正确性． (3)由数量积的运算律可知λ(a ·b )＝λa ·b . [微训练]
1．已知非零向量a 、b 满足(a ＋b )⊥(a －b )，则( ) A ．a ＝b
B ．|a |＝|b |
C ．a ⊥b
D ．a ∥b
解析 ∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴|a |2－|b |2＝0， ∴|a |＝|b |. 答案 B
2．设向量a 、b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
答案 A
[微思考]
1．实数运算满足消去律，那么向量的数量积运算是否也满足消去律？
提示不满足．因为在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则表示向量c，b在向量a方向上的投影相等，并不能说明b＝c.
2．实数运算满足乘法结合律，那么向量的数量积运算是否也满足乘法结合律？提示向量的数量积运算不满足乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c 与a不一定共线.
题型一向量数量积的运算性质
向量数量积的运算律及运算性质是解决问题的重要依据，同学们一定要重点掌握例1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
①a·c－b·c＝(a－b)·c；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③|a|－|b|<|a－b|；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确结论的序号是________．
解析根据数量积的分配律知①正确；
因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；
因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，
∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；
④正确．故正确结论的序号是①③④.
答案 ①③④
规律方法 向量的数量积a ·b 与实数a ，b 的乘积a ·b 有联系，同时有许多不同之处．例如，由a ·b ＝0并不能得出a ＝0或b ＝0.特别是向量的数量积不满足结合律．
训练1 对于任意向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是( ) A ．|a ·b |＝|a ||b | B ．|a ＋b |＝|a |＋|b | C ．(a ·b )c ＝a (b ·c )
D ．|a |＝a 2
解析 因为a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉， 所以|a ·b |≤|a ||b |，所以A 错误；
根据向量加法的平行四边形法则，|a ＋b |≤|a |＋|b |，只有当a ，b 同向时取“＝”，所以B 错误；
因为(a ·b )c 是向量，其方向与向量c 相同或相反，a (b ·c )是向量，其方向与向量a 的方向相同或相反，所以C 错误； 因为a ·a ＝|a ||a |cos 0＝|a |2， 所以|a |＝a 2，所以D 正确． 答案 D
题型二 求向量的模
例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角θ为π
3.求|a ＋b |，|a －b |. 解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝25
2. |a ＋b |＝（a ＋b ）2＝
|a |2＋2a ·b ＋|b |2
＝
25＋2×25
2＋25＝5 3.
|a －b |＝（a －b ）2＝
|a |2－2a ·b ＋|b |2
＝
25－2×25
2＋25＝5.
规律方法 求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．
(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等． 训练2 已知|a |＝1，|b |＝3，且|a －b |＝2，求|a ＋b |.
解 法一 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋9－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝3. ∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋9＋2×3＝16，∴|a ＋b |＝4.
法二 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2，|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2， ∴|a －b |2＋|a ＋b |2＝2a 2＋2b 2＝2×1＋2×9＝20. 又|a －b |＝2，∴|a ＋b |2＝16， ∴|a ＋b |＝4.
题型三 向量的夹角与垂直问题
在求解向量夹角时要特别注意向量夹角的取值范围为0≤θ≤π.
例3 (1)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7，则a ，b 的夹角为( ) A.π3
B.π6
C.π4
D.2π3
(2)已知|a |＝2，|b |＝1，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝a ＋5b ，d ＝m a －2b ，求m 为何值时，c 与d 垂直．
(1)解析 设a 与b 的夹角为θ， 由题意得(3a －2b )2＝7， ∴9|a |2＋4|b |2－12a ·b ＝7， 又|a |＝|b |＝1，
∴a ·b ＝1
2，
∴|a ||b |cos θ＝12，即cos θ＝12. 又θ∈[0，π]，∴a ，b 的夹角为π
3. 答案 A
(2)解 由已知得a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. 若c ⊥d ，则c ·d ＝0. ∴c ·d ＝(a ＋5b )·(m a －2b ) ＝m a 2＋(5m －2)a ·b －10b 2 ＝4m ＋5m －2－10＝9m －12＝0， ∴m ＝43.
故当m ＝4
3时，c 与d 垂直．
规律方法 求向量夹角的基本步骤及注意事项 (1)步骤：
(2)注意事项：在个别含有|a |，|b |与a ·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算 cos θ的值．
训练3 已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝1
3，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A ．4
B ．－4
C.94
D ．－9
4
解析 由题意知cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝m ·n 34
|n |2＝13，所以m ·n ＝14|n |2＝1
4n 2，因为n ·(t m
＋n)＝0，
所以t m·n＋n2＝0，即1
2＋n2＝0，所以t＝－4.
4t n
答案 B
一、素养落地
1．通过学习平面向量数量积的运算律及常用公式，体会数学抽象素养．通过利用数量积的运算律进行计算或证明，培养数学运算素养．
2．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
3．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉c是一个与c共线的向量，而a·(b·c)＝a|b|·|c|cos〈b，c〉是一个与a共线的向量，两者一般不同．二、素养训练
1．下面给出的关系式中正确的个数是()
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ，故选C. 答案 C
2．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为() A．2 B．2 3 C．6 D．12
解析∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2
＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12，
∴|a－4b|＝2 3.
答案 B
3．已知|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是________．
解析∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1，
设a 与b 的夹角为θ，
∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－11×2＝－2
2，
又θ∈[0，π]，∴θ＝3π
4. 答案 3π4
4．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，若c ＝2a －b ，d ＝a ＋2b ，求： (1)c ·d ；(2)|c ＋2d |.
解 (1)c ·d ＝(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝2×4－2×1＋3×2×1×12＝9.
(2)|c ＋2d |2＝(4a ＋3b )2＝16a 2＋9b 2＋24a ·b ＝16×4＋9×1＋24×2×1×1
2＝97， ∴|c ＋2d |＝97. 三、审题答题
示范(二) 向量数量积的应用
典型示例 (12分)(1)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →①， 求AE →·AF →②的最小值．
(2)如图所示，在正三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 上的一个三等分点，且分别靠近点A ，点B ，AE ，CD 交于点P ．③求证：BP ⊥DC ．④
联想解题
看到②想到把AE
→，AF →利用已知向量表示出来．
看到③想到利用三点共线建立关系：P A →＝kEA →
. 看到④想到将BP →、DC →用BA →、BC →表示出来．
满分示范
(1)解 在等腰梯形ABCD 中，由AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →
＝AB
→＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →， 2分 ∴AE →·AF
→＝(AB →＋λBC →)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫AD →＋19λDC → ＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·
19λDC →
＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝
29λ＋λ2＋17
18. 4分 由基本不等式知，
AE →·AF
→≥229λ·λ2＋1718＝29
18， 当且仅当29λ＝λ
2，
即λ＝23或λ＝－23(舍)时，取得最小值29
18. 6分 (2)证明 设PD
→＝λCD →，并设△ABC 的边长为a ，则有 P A →＝PD →＋DA →＝λCD →＋13BA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →－BC →＋13
BA →
＝13(2λ＋1)BA →－λBC →， 8分 EA
→＝BA →－13BC →. ∵P A →∥EA
→， ∴13(2λ＋1)BA
→－λBC →＝kBA →－13
kBC →， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧13（2λ＋1）＝k ，λ＝13k ，
解得λ＝1
7. 9分 ∴PD →＝17
CD →.
∴CD →＝23BA →－BC →，
BP
→＝BC →＋CP →＝BC →＋67CD →＝17BC →＋47BA →. 从而BP →·CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17BC →＋47BA →·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫23BA →－BC → ＝821a 2－17a 2－10
21a 2cos 60°＝0， ∴BP
→⊥CD →， ∴BP ⊥DC . 12分 满分心得
求向量的数量积时，可将其用基底表示，转化为模及夹角已知的向量的数量积.
基础达标
一、选择题
1．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角θ为( ) A ．150°
B ．120°
C ．60°
D ．30°
解析 由|a |＝|b |＝|c |且a ＋b ＝c ，得|a ＋b |＝|b |， 平方得|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|b |2⇒2a ·b ＝－|a |2 ⇒2|a |·|b |·cos θ＝－|a |2⇒cos θ＝－12⇒θ＝120°. 答案 B
2．已知|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，a 与b 夹角为90°，b 与c 的夹角为45°，则a ·(b ·c )的化简结果是( ) A ．0
B ．a
C ．b
D ．c
解析 b ·c ＝|b ||c |cos 45°＝1. ∴a ·(b ·c )＝a . 答案 B
3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ＝( ) A.32 B ．－32 C ．±32 D ．1
解析 ∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2
＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0，∴λ＝32.
答案 A
4．已知a ，b 方向相同，且|a |＝2，|b |＝4，则|2a ＋3b |＝( )
A ．16
B ．256
C ．8
D ．64
解析 ∵|2a ＋3b |2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝16＋144＋96＝256，∴|2a ＋3b |＝16. 答案 A
5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则|a |＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．12
解析 ∵(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，
∴a 2－a ·b －6b 2＝－72，
∴|a |2－|a ||b |cos 60°－6|b |2＝－72，
∴|a |2－2|a |－24＝0，
解得|a |＝6或|a |＝－4.
又|a |≥0，∴|a |＝6.
答案 C
二、填空题
6．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1.则a 与b 的夹角θ为________．
解析 因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1，
所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12.
又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.
答案 π3
7．已知非零向量a ，b 满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝
________．
解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，
(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，
|a ＋2b |＝
a 2＋4a ·
b ＋4b 2＝a 2＋4b 2， |a －2b |＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝a 2＋4b 2，
∴a 2－4b 2＝a 2＋4b 2·a 2＋4b 2·cos 120°，
化简得32a 2－2b 2＝0，
∴|a ||b |＝233.
答案 233
8．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．
解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，
∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]，
∴0≤|b |≤1.
答案 [0，1]
三、解答题
9．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是60°，计算：
(1)(2a ＋b )·(2a －b )；(2)|4a －2b |.
解 (1)(2a ＋b )·(2a －b )＝(2a )2－b 2＝4|a |2－|b |2
＝4×42－82＝0.
(2)∵|4a －2b |2＝(4a －2b )2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2
＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256.
∴|4a －2b |＝16.
10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.
求|a ＋b |.
解 (2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－3b 2－4a ·b ＝4×16－3×9－4a ·b ＝61，解得a ·b ＝ －6，∴|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝16＋9－12＝13，∴|a ＋b |＝13.
能力提升
11．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB
→＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．正三角形
D ．等腰直角三角形
解析 因为(OB →－OC →)·(OB
→＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →·(AB
→＋AC →)＝0， 又因为AB
→－AC →＝CB →， 所以(AB →－AC →)·(AB
→＋AC →)＝0， 即|AB
→|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形．
答案 A
12．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(a －b )⊥c ；
(2)若|k a ＋b ＋c |>1(k ∈R )，求k 的取值范围．
(1)证明 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，
且a ，b ，c 之间夹角均为120°，
所以(a －b )·c ＝a ·c －b ·c
＝|a ||c |cos 120°－|b ||c |·cos 120°＝0，
所以(a －b )⊥c .
(2)解因为|k a＋b＋c|>1，
所以(k a＋b＋c)·(k a＋b＋c)>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2k a·b＋2k a·c＋2b·c>1.
因为a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－1
2
，
所以k2－2k>0，解得k<0或k>2，
即k的取值范围是{k|k<0或k>2}．
创新猜想
13．(多选题)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论错误的是()
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
解析由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，∴a⊥b，B正确．
答案ACD
14．(多空题)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为________，(a－b)·c＝________．
解析由c⊥a得，a·c＝0，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.设向量a与b
的夹角为θ，则cos θ＝a·b
|a||b|＝
－a2
|a||b|
＝－1
2
，所以向量a与b的夹角θ＝120°.
(a－b)·c＝(a－b)(a＋b)＝a2－b2＝1－4＝－3. 答案120°－3。