四川省成都市九年级(上)期末数学试卷

九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=3，BC=2，则tan A的值是（）
A. 12
B. 23
C. 52
D. 255
2.方程x（x+2）=0的解是（）
A. x=0
B. x=2
C. x=0或x=2
D. x=0或x=−2
3.如图是由5个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是
（）
A. B. C. D.
4.如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡⊗
发光的概率是（）
A. 12
B. 13
C. 23
D. 14
5.若反比例函数y=kx（k≠0）的图象过点（-2，1），则这个函数的图象一定过（）
A. (2,−1)
B. (2,1)
C. (−2,−1)
D. (1,2)
6.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由460元降为215，已知两次降价的百
分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）
A. 460(1+x)2=215
B. 460(1−x)2=215
C. 460(1−2x)2=215
D. 460(1−x2)=215
7.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高
1.2m，AB：AC=1：9，则建筑物CD的高是（）
A. 96m
B. 10.8m
C. 12m
D. 14m
8.如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（）
A. 24∘
B. 28∘
C. 33∘
D. 48∘
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，BD=8，
tan∠ABD=34，则菱形ABCD的边长为（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
10.对于抛物线y=-2（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线
x=1：③顶点坐标为（-1，3）；④x＞-1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）
11.如果a−bb=34，那么ab=______
12.若x=-2是一元二次方程x2+3x+k=0的一个根，则k的值为______
13.已知A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象y=-2x上，且x1＜0＜x2，则
y1与y2大小关系是______．
14.如图，△ABC内接于圆O，AB为圆O直径，∠CAB=60°，弦
AD平分∠CAB，若AD=3，则BD=______．
15.关于x的方程（m-1）x|m|+1+3x-2=0是一元二次方程，则m的值为______．
16.现有三张分别标有数字2、3、4的卡片，它们除了数字外完全相同，把卡片背面朝
上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a（不放回）；从剩下的卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点（a，b）在直线y=12x+12图象上的概率为______．
17.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是BC边
上的一动点，连结OE，将△BOC分成了两个三角形，若BE=OB，
且OC2=CE•BC，则∠BOC的度数为______．
18.如图，在△ABC中，AB=AC，以
AC为直径的⊙O与边BC相交于
点E，过点E作EF⊥AB于点F，
延长FE、AC相交于点D，若CD=4，
AF=6，则BF的长为______．
19.平面直角坐标系中，点A在反比例函数y1=kx（x＞0）的图象上，点A'与点A关于
点O对称，直线AA'的解析式为y2=mx，将直线AA'绕点A′顺时针旋转，与反比例函数图象交与点B，直线A′B的解析式为y3=m2x+n，若△AA'B的面积为3，则k的值为______．
三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）
20.（1）计算：(12)−1-2sin60°+|1-tan60°|+（2019-π）0
（2）解方程：4x（x+3）=x2-9
四、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
21.若关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有两个实根，求m的取值范围．
22.《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动．某学校组
织了一次户外攀岩活动，如图，攀岩墙体近似看作垂直于地面，一学生攀到D点时，距离地面B点3.6米，该学生继续向上很快就攀到顶点E．在A处站立的带队老师拉着安全绳，分别在点D和点E测得点C的俯角是45°和60°，带队老师的手C点距离地面1.6米，请求出攀岩的顶点E距离地面的高度为多少米？（结果可保留根号）
23.我区正在进行《中学学科核心素养理念下渗透数学美育教育的研究为了了解我区课
堂教学中渗透数学美育的情况，在200名学生中随机抽取了部分学生进行调查调查，调查结果分为非常了解、了解”、了解较少、“不了解四类，并将调查结果绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题
（1）本次抽取调查的学生共有______人，估计该校200名学生中不了解的人数约有______人；
（2）“非常了解”的4人中有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人去参加中心数学知识竞赛，请用树状图或列表的方法，求恰好抽到2名同学一男一女的概率．
24.如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=mx（x＞0）的
图象有个交点A，AB⊥x轴于点B．平移正比例函数y=kx
的图象，使其经过点B（2，0），得到直线l，直线l
与y轴交于点C（0，-3）
（1）求k和m的值；
（2）点M是直线OA上一点过点M作MN∥AB，交反
比例函数y=mx（x＞0）的图象于点N，若线段MN=3，
求点M的坐标．
25.如图，已知Rt△ACE中，∠AEC=90°，CB平分∠ACE交AE
于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于
点D，与CE交于点F，连结BF．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若cos∠CBF=45，AE=8，求⊙O的半径；（3）在（2）
条件下，求BF的长．
26.经过市场调查得知，某种商品的销售期为100天，设该商品销量单价为y（万元/kg），
y与时间t（天）函数关系如图所示，其中线段AB表示前50天销售单价y万元/kg 与时间t天的函数关系；线段BC的函数关系式为y=−110t+m该商品在销售期内的销量如下表
（2）设每天的销售收入为w（万元），则当t为何值时，w的值最大？求出最大值；
27.在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边
EF、EG始终与矩形AB、BC两边相交，AB=2，FG=8，
（1）如图1，当EF、EG分别过点B、C时，求∠EBC的大小；
（2）在（1）的条件下，如图2，将△FFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF 与AD重合时停止转动．若EF、EG分别与AB、BC相交于点M、N，
①在△EFG旋转过程中，四边形BMEN的面积是否发生变化？若不变，求四边形
BMEN的面积；若要变，请说明理由．
②如图3，设点O为FG的中点，连结OB、OE，若∠F=30°，当OB的长度最小时，
求tan∠EBG的值．
28.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（-3，
0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE 与△ACD面积相等时，求点E的坐标；
（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：tanA==，
故选：B．
根据正切的定义计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的
正切．
2.【答案】D
【解析】
解：x=0或x+2=0，
所以x1=0，x2=-2．
故选：D．
利用因式分解的方法得到x=0或x+2=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
3.【答案】D
【解析】
解：从上面看，左边是2个正方形，中间和右上角都是1个正方形．
故选：D．
根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体判定则可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.【答案】C
【解析】
解：列表如下：
共有6种情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，
即能让灯泡发光的概率是=．
故选：C．
采用列表法列出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解．
本题考查了列表法与画树状图求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】A
【解析】
解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点（-2，1），
∴k=-2×1=-2．
A、∵2×（-1）=-2，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意；
B、∵2×1=2≠-2，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
C、∵（-2）×（-1）=2，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
D、∵1×2=2≠-2，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意．
故选：A．
先把点（-2，1）代入反比例函数y=（k≠0），求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】
解：设每次降价的百分率为x，
根据题意得：460（1-x）2=215．
故选：B．
设每次降价的百分率为x，根据该运动服的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】
解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
即，
解得：CD=10.8m，
故选：B．
先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质进行解答即可．
本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体
的高度．
8.【答案】A
【解析】
解：∵∠A=66°，
∴∠COB=132°，
∵CO=BO，
∴∠OCB=∠OBC=（180°-132°）=24°，
故选：A．
首先利用圆周角定理可得∠COB的度数，再根据等边对等角可得
∠OCB=∠OBC，进而可得答案．
此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对
的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9.【答案】A
【解析】
解：∵四边形ABCD是菱形，BD=8，
∴AC⊥BD，BO=DO，
∴∠AOB=90°，OB=OD=4，
∵tan∠ABD==，
∴AO=3，
由勾股定理得：AB==5，
即菱形ABCD的边长为5，
故选：A．
根据菱形的性质求出BO=4，AC⊥BD，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
本题考查了菱形的性质和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
10.【答案】C
【解析】
解：∵抛物线y=-2（x+1）2+3，a=-2＜0，
∴抛物线的开口向下，故①正确，
对称轴是直线x=-1，故②错误，
顶点坐标为（-1，3），故③正确，
x＞-1时，y随x的增大而减小，故④正确，
故选：C．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性
质解答．
解：∵，
∴4a-4b=3b，
∴4a=7b，
∴=，
故答案为：．
依据比例的性质，即可得到4a=7b，进而得出=．
本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
12.【答案】2
【解析】
解：把x=-2代入方程x2+3x+k=0得4-6+k=0，
解得k=2．
故答案为2．
把x=-2代入方程x2+3x+k=0得4-6+k=0，然后解关于k的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.【答案】y1＞y2
【解析】
解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象y=-上，
∴y1=，y2=，
∵x1＜0＜x2，
∴y1＞0＞y2，
故答案为：y1＞y2
将点A，点B坐标代入解析式，可求y1，y2，由x1＜0＜x2，可得y1＞0，y2＜0，即可得y1与y2大小关系．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
解：如图，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=×60°=30°，
∵AB为圆O直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=AD=．
故答案为：．
解：连接BD，如图，先计算出∠BAD=30°，再根据圆周角定理得到∠ADB=90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
15.【答案】-1
【解析】
解：∵关于x的方程（m-1）x|m|+1+3x-2=0是一元二次方程，
∴|m|+1=2，且m-1≠0，
解得：m=-1，
故答案为：-1
利用一元二次方程的定义判断即可确定出m的值．
此题考查了一元二次方程的定义，以及绝对值，熟练掌握一元二次方程的定
义是解本题的关键．
16.【答案】16
【解析】
得到所有等可能的情况有6种，其中点（a，b）在直线y=图象上的只有（3，2）这1种情况，
所以点（a，b）在直线y=图象上的概率为，
故答案为：．
列表得出所有等可能的情况数，找出点（a，b）在直线y=图象上的情况
数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况
数之比．
17.【答案】108°
【解析】
解：∵OC2=CE•BC，
∴=，∵∠OCE=∠OCB，
∴△OCE∽△BCO，
∴∠COE=∠CBO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=∠COE，设∠OBC=∠OCB=∠COE=x，
∵BE=BO，
∴∠BOE=∠BEO=∠COE+∠ECO=2x，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，
∴x+x+3x=180°，
∴x=36°，
∴∠BOC=3x=108°，
故答案为108°
由△OCE∽△BCO，推出∠COE=∠CBO，由四边形ABCD是矩形，推出OB=OC，推出∠OBC=∠OCB=∠COE，设∠OBC=∠OCB=∠COE=x，构建方程即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于
中考常考题型．
18.【答案】2
【解析】
解：如图，连接AE，OE．设BF=x．
∵AC是直径，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠EAB=∠EAC，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠EAB=∠AEO，
∴OE∥AB，
∴=，
∴AF=6，CD=4，BF=x，
∴AC=AB=x+6，
∴OE=OA=OD=，
∴=，
整理得：x2+10x-24=0，
解得x=2或-12（舍弃），
经检验x=2是分式方程的解，
∴BF=2．
故答案为2．
如图，连接AE，OE．设BF=x．首先证明OE∥AB，可得=，由此构建方程即可解决问题；
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
19.【答案】98
【解析】
解：∵设点A（a，）．
∵A和点A'关于原点对称，
∴点A'的坐标为（-a，-），
∵点A'在y2=mx+n的图象上，
∴点A'的坐标为（-a，-am+n）．
∴-=-am+n，
a2m=an+k ①．
∵点B的横坐标为3a，
∴点B（3a，3am+n）或（3a，），
∴3am+n=，即9a2m+3an=k ②
由①②得：a2m=，an=-．
过点A作AD⊥x轴，交A'B于点D，则点D（a，am+n），
∴AD=-am-n．
∵S△A'AB=AD（x B-x A′）=•4a（-am-n）=3，
∴k-a2m-an=1.5，
∴k--（-）=1.5，
∴k=．
故答案为：
设点A（a，），根据对称性以及直线上点的坐标特点分别用含有k的代数式表示出点A'、B的坐标，然后根据三角形的面积公式解答即可．
本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．
20.【答案】解：（1）原式=2-2×32+|1-3|+1
=2-3+3-1+1
=2；
（2）4x2+12x=x2-9，
4x2+12x-x2+9=0，
3x2+12x+9=0，
x2+4x+3=0，
（x+1）（x+3）=0，
则x+1=0或x+3=0，
解得x1=-1，x2=-3．
【解析】
（1）先计算负整数指数幂和零指数幂并代入特殊锐角的三角函数值，再计算乘法、取绝对值符号，继而计算加减可得；
（2）先将方程整理成一般式，再利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程和实数的混合运算，能选择适当的方法解一元二次方程并熟练掌握实数的混合运算是解此题的关键．
21.【答案】解：∵（m-2）x2+2x+1=0有两个实数根，
∴△=b2-4ac≥0，
∴4-4（m-2）≥0，
∴m≤3，
又知（m-2）x2+2x+1=0是一元二次方程，
即m-2≠0，
解得m≠2，
故m≤3且m≠2．
【解析】
首先根据题意可知△=b2-4ac≥0，然后，即可推出4-4（m-2）≥0，通过解不等式即可推出结果，注意m≠2．
本题主要考查根的判别式，关键在于推出△≥0，注意一元二次方程二次系数不能为0，此题基础题，比较简单．
22.【答案】解：作CF⊥BE于F，
则四边形ABFC为矩形，
∴BF=AC=1.6，
∴DF=DB-FB=2，
由题意得，∠DCF=45°，∠ECF=60°，
∴CF=DF=2，
在Rt△ECF中，EF=CF×tan∠ECF=23，
∴EB=EF+BF=23+1.6，
答：攀岩的顶点E距离地面的高度为（23+1.6）米．
【解析】
作CF⊥BE于F，根据矩形的性质求出BF，根据
正切的概念计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义，仰角俯角的概念是解题的关键．
23.【答案】50 60
【解析】
解：（1）本次抽取调查的学生共有4÷8%=50（人），
∵“不了解”对应的百分比为1-（40%+22%+8%）=30%，
∴估计该校200名学生中不了解的人数约有200×30%=60（人），
故答案为：50，60；
由表可知共有12种可能的结果，恰好抽到2名同学一男一女的结果有8个，所以恰好抽到2名同学一男一女的概率为=．
（1）由“非常了解”的人数及其所占百分比求得总人数，根据各了解程度的百分比之和等于1求得“不了解”的百分比，再用总人数乘以样本中“不了解”人数所占比例可得；
（2）分别用树状图或列表的方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到2名同学一男一女的结果数，利用概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
24.【答案】解：（1）∵平移正比例函数y=kx的图象，得到直线l，直线l与y轴交于点C（0，-3），
∴直线l的解析式为y=kx-3，
∵点B（2，0）在直线l上，
∴2k-3=0，解得k=32，
由题意知AB=OC=3，
则点A（2，3），
∴m=2×3=6；
（2）由题意知直线OA解析式为y=32x，反比例函数解析式为y=6x，
设点M（a，32a），则N（a，6a），
∴|32a-6a|=3，
解得：a=1+5或a=5-1（负值舍去），
则点P坐标为（1+5，3+352）或（5-1，35−32）．
【解析】
（1）由直线l与y轴交于点C（0，-3）知直线l的解析式为y=kx-3，根据点B坐标可得k的值，再根据平移知AB=OC=3，从而得出点A坐标，从而得出m的值；
（2）先得出正比例函数和反比例函数解析式，再设点M（a，a），则N（a，），由MN=3得出关于a的方程，解之可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，体现了数形结合的思想．
25.【答案】（1）证明：连接OB，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵CB平分∠ACE，
∴∠OCB=∠BCF，
∴∠OBC=∠BCF，
∴∠ABO=∠AEC=90°，
∴OB⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接DF交OB于G，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴∠CFD=∠CEA，
∴DF∥AE，
∴∠CDF=∠CAB，
∵∠CDF=∠CBF，
∴∠A=∠CBF，
∴cos∠CBF=cos∠CEF=45，
∵AE=8，
∴AC=10，
∴CE=6，
∵DF∥AE，
∴DF⊥OB，
∴DG=GF=BE，
设BE=2x，则DF=4x，CD=5x，
∴OC=OB=2.5x，
∴AO=10-2.5x，AB=8-2x，
∵AO2=AB2+OB2，
∴（10-2.5x）2=（8-2x）2+（2.5x）2，
解得：x=32（负值舍去），
∴⊙O的半径=154；
（3）解：由（2）知BE=2x=3，
∵AE是⊙O的切线；
∴∠BCE=∠EBF，
∵∠E=∠E，
∴△BEF∽△CEB，
∴BEEF=CEBE，
∴3EF=63，
∴EF=32，
∴BF=BE2+EF2=352．
【解析】
（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC，根据角平分线的定义得到∠OCB=∠BCF，得到∠OBC=∠BCF，求得∠ABO=∠AEC=90°，于是得到结论；
（2）连接DF交OB于G，根据圆周角定理得到∠CFD=90°，得到∠CFD=∠CEA，推出cos∠CBF=cos∠CEF=，设BE=2x，则DF=4x，CD=5x，得到
OC=OB=2.5x，根据勾股定理得到x=（负值舍去），于是得到⊙O的半径=；（3）由（2）知BE=2x=3，根据切线的性质得到∠BCE=∠EBF，根据相似三角形
的性质得到EF=，根据勾股定理得到BF==．
本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，平行线的判定和性质，相似三角
形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：（1）当0＜t≤50时，设y与t的函数关系式为y=kt+b，
∴50k+b=25b=15，
解得：k=15，b=15，
∴y=15t+15；
当50＜t≤100时，
把（100，20）代入y=−110t+m得，20=-110×100+m，
∴m=30，
∴线段BC的函数关系式为y=−110t+30；
（2）当0＜t≤50时，w=200（15x+15）=40x+3000，
∴当t=50时，w最大=5000（万元），
当50＜t≤100时，w=（t+150）（−110t+30）=-110t2+15t+4500，
∵w=-110t2+15t+4500=-110（t-75）2+5062.5，
∴当t=75时，w最大=5062.5（万元），
∴当t=75时，w的值最大，w最大=5062.5万元．
【解析】
（1）设y=kt+b，利用待定系数法即可解决问题；
（2）日利润=日销售量×每公斤利润，据此分别表示当0＜t≤50和50＜t≤100时，根据函数性质求最大值后比较得结论．
此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对
所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．
27.【答案】解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵AE=DE，
∴△AEB≌△DEC（SAS），
∴EB=EC，
∵∠BEC=90°，
∴∠EBC=45°．
（2）①结论：四边形BMEN的面积不变．
理由：由（1）可知：∠EBM=∠ECN=45°，
∵∠MEN=∠BEC=90°，
∴∠BEM=∠CEN，
∵EB=EC，
∴△MEB≌△NEC（ASA），
∴S△MEB=S△ENC，
∴S四边形EMBN=S△EBC=12×4×2=4．
②如图当E，B，O共线时，OB的值最小，作GH⊥OE于H．
∵OF=OG，∠FEG=90°，
∴OE=OF=OG=4，
∵∠F=30°，
∴∠EGF=60°，
∴△EOG是等边三角形，∵GH⊥OE，
∴GH=23，OH=EH=2，
∵BE=22，
∴OB=4-22，
∴BH=2-（4-22）=22-2，
∴tan∠EBG=HGBH=2322−2=6+3．
【解析】
（1）证明△AEB≌△DEC（SAS），可得EB=EC，根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（2）①四边形BMEN的面积不变．证明△MEB≌△NEC（ASA），推出
=S△EBC．
S△MEB=S△ENC，可得S
四边形EMBN
②如图当E，B，O共线时，OB的值最小，作GH⊥OE于H．想办法求出BH，GH即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28.【答案】解：（1）把点A、B、D的坐标代入二次函数表达式得：
a+b+c=09a−3b+c=0c=3，解得：a=−1b=−2c=3，
则抛物线的表达式为：y=-x2-2x+3…①，
函数的对称轴为：x=-b2a=-1，
则点C的坐标为（-1，4）；
（2）过点C作CE∥AD交抛物线于点E，交y轴于点H，
则△ADE与△ACD面积相等，
直线AD过点D，则其表达式为：y=mx+3，
将点A的坐标代入上式得：0=-3m+3，解得：m=1，
则直线AD的表达式为：y=x+3，
CE∥AD，则直线CE表达式的k值为1，
设直线CE的表达式为：y=x+n，
将点C的坐标代入上式得：4=-1+n，解得：n=5，
则直线CE的表达式为：y=x+5…②，
则点H的坐标为（0，5），
联立①②并解得：x=-1或-2（x=1为点C的横坐标），
即点E的坐标为（-2，3）；
在y轴取一点H′，使DH=DH′=2，
过点H′作直线E′E″∥AD，
则△ADE′、△ADE′′与△ACD面积相等，
同理可得直线E′E″的表达式为：y=x+1…③，
联立①③并解得：x=−3±172，
则点E″、E′的坐标分别为（−3+172，−1+172）、（−3−172，−1−172），
点E的坐标为：（-2，3）或（−3+172，−1+172）或（−3−172，−1−172）；（3）设：点P的坐标为（m，n），n=-m2-2m+3，
把点C、D的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b得：4=−k+bb=3，解得：k=−1b=3，即直线CD的表达式为：y=-x+3…④，
直线AD的表达式为：y=x+3，
直线CD和直线AD表达式中的k值的乘积为-1，故AD⊥CD，
而直线PQ⊥CD，故直线PQ表达式中的k值与直线AD表达式中的k值相同，
同理可得直线PQ表达式为：y=x+（n-m）…⑤，
联立④⑤并解得：x=3+m−n2，即点Q的坐标为（3+m−n2，3−m+n2），
则：PQ2=（m-3+m−n2）2+（n-3−m+n2）=(m+n−3)22=12（m+1）2•m2，
同理可得：PC2=（m+1）2[1+（m+1）2]，
AH=2，CH=4，则AC=25，
当△ACH∽△CPQ时，
PCPQ=ACAH=52，即：4PC2=5PQ2，
整理得：3m2+16m+16=0，解得：m=-4或-43，
点P的坐标为（-4，-5）或（-43，359）；
当△ACH∽△PCQ时，
同理可得：点P的坐标为（-23，359）或（2，-5），
故：点P的坐标为：（-4，-5）或（-43，359）或（-23，359）或（2，-5）．
【解析】
（1）把点A、B、D的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①过点C作CE∥AD交抛物线于点E，则△ADE与△ACD面积相等；②过点H′作直线E′E″∥AD，则△ADE′、△ADE′′与△ACD面积相等，分别求解即可．（3）分△ACH∽△CPQ、△ACH∽△PCQ两种情况，求解即可．
本题考查的是二次函数知识综合运用，涉及到三角形相似、一次函数等知识点，核心是通过作图确定所求点的位置，避免遗漏，本题难度较大．。