一种二阶锥规划通带线性相位FIR滤波器的设计

一种二阶锥规划通带线性相位FIR滤波器的设计
HU Haijiang;SONG Shaojing
【摘要】在有限冲激响应(Finite Impulse Response,FIR)滤波器设计中,如果系统只要求通带或某个频域区间具有线性相位而其他频域区间相位非线性,则系数对称的FIR滤波器设计方法不再适用.为此,提出了一种基于二阶锥规划(Second-Order Cone Programming,SOCP)的通带线性相位FIR滤波器设计方法.该方法使用二阶锥规划实现滤波器设计,其中优化目标为通带最小群延迟,约束条件为全频域振幅误差.实验结果显示,所提方法设计的FIR滤波器有着很好的幅频特性和通带线性相位,通带群延迟误差很小.该方法实现简单,计算复杂度低,可以广泛应用于数字信号处理领域.
【期刊名称】《电讯技术》
【年(卷),期】2019(059)001
【总页数】5页(P112-116)
【关键词】数字信号处理;有限冲激响应滤波器;优化设计;二阶锥规划;通带线性相位【作者】HU Haijiang;SONG Shaojing
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.72;TN713
1 引言
在数字信号处理中[1-2]，有限冲激响应(Finite Impulse Response，FIR)滤波器以其固有的稳定性、简单的结构以及线性相位[3]的易实现而得到了广泛的应用。

全频域线性相位很容易实现，如果FIR滤波器系数为奇对称或偶对称，则该FIR滤波器具有线性相位。

在现代信号处理中，如果系统只要求通带或某个频域区间具有线性相位，则系数对称的FIR滤波器设计方法不再适用，因此如何实现某特定频率区间具有线性相位和预设振幅响应的非对称系数FIR滤波器成为信号处理领域的热点问题。

在滤波器设计方法中，凸规划作为有效的最优化方法近年来成为研究和应用热点，如半定规划(Semi-Definite Programming，SDP)和二阶锥规划(Second-Order Cone Programming，SOCP)。

凸规划的优点在于可以解决线性约束和二次约束的混合条件下的最优化问题，因此它可以用于更多约束条件组合下的滤波器设计[4-8]。

半定规划是凸规划的分支，已经广泛应用于预设振幅响应和相位响应的滤波器设计中。

二阶锥规划是线性规划的延伸，它具有更低的计算复杂度，同样广泛应用于各类滤波器设计中。

此外，近年来仿生优化也已经广泛应用于滤波器设计中,如粒子群算法、萤火虫算法等[9-16]。

本文提出一种使用二阶锥规划实现通带线性相位的非对称系数FIR滤波器设计的方法，并经过实验证明了该方法的有效性。

2 约束条件与设计方法
给定一个频率响应为Hd(ω)的N阶FIR滤波器，可以定义为
(1)
式中：c=[h0 h1 h2 … hN]为初始滤波器系数。

因此群延迟可以定义为
(2)
式中：
A=[1 cos ω … cos Nω]T,B=[0 -sin ω -sin 2ω … -sin Nω]T。

然后可以得到
(3)
因此群延迟的偏差可以定义为
eg(x,ejω)=τh(c,ejω)-τ。

(4)
式中：τ定义为可以被优化的群延迟变量，x=[cTτ]T。

如果xk定义为经过最优化算法k次迭代后的x值，可以得到群延迟偏差
eg(xk,ejω)如下所示：
eg(xk+δ,ejω)≈eg(xk,ejω)+▽eg(xk,ejω)Tδ。

(5)
因此‖δ‖越小，群延迟偏差显然越准确。

如果ωpl和ωp h分别是通带的下界和上界，则经过最优化算法k次迭代后的群延迟偏差如下所示：
E(gd)(k)=|eg(xk+1,ejω)|dω≈
▽eg(xk,ejωi)Tδ|。

(6)
式中：ψp∈⎣ωpl,ωph」为通带频率采样点集，ωi∈ψp,κg为常数。

因此可以得到
E(gd)(k)≈‖Ckδ+Dk‖ 。

(7)
其中：
Dk=[d1 d2 … dNp]T,di=κgeg(xk,ejωi)。

小通带振幅误差同样也是滤波器设计的重要目标，通带振幅误差函数可以定义为eh(ck,ejω)=|H(ck,ejω)|2-|Hd(ω)|2,ω∈ψp。

(8)
将振幅响应进行归一化处理，则式(8)可以改写为
eh(ck,ejω)=|H(ck,ejω)|2-1,ω∈ψp 。

(9)
使用与式(5)～(7)相同的分析方法，可以得到
E(pb)(k)≈
▽
(10)
式中：是矢量，δτ是标量，κpb为常数。

因此E(pb)(k)如下所示：
(11)
其中：
类似于通带振幅响应分析，阻带和过渡带振幅响应可以进行如下描述：
eh(ck,ejω)=|H(ck,ejω)|2-|Hd(ω)|2,ω∈ψs；
(12)
eh(ck,ejω)=|H(ck,ejω)|2-|Hd(ω)|2,ω∈ψt。

(13)
在理想滤波器中，阻带和过渡带的振幅响应都为0，因此有
eh(ck,ejω)=|H(ck,ejω)|2-|Hd(ω)|2,ω∈ψs,
(14)
eh(ck,ejω)=|H(ck,ejω)|2-|Hd(ω)|2,ω∈ψt。

(15)
与通带振幅响应分析类似，对阻带和过渡带振幅响应进行分析，可以得到
(16)
(17)
其中：
式中：κsb和κtb为常数。

基于以上分析，通带线性相位FIR滤波器设计可以归纳成一个最优化问题如下：
(18)
在这个最优化问题中,Γpb、Γsb、Γtb、Γmin为预设常数。

显然，上述最优化问题可以使用SOCP方法进行求解。

因此，可以描述具体设计过程如下：
Step 1 预设FIR滤波器通带和阻带频率范围以及通带群延迟。

Step 2 定义常数Γpb、Γsb、Γtb、Γmin。

Step 3 按照通带群延迟的预设值，构造Ck和Dk。

Step 4 按照约束条件，构造
Step 5 使用SOCP方法解决该最优化问题，得到结果δmin，并由此得到优化后的FIR滤波器系数c。

3 实验与分析
设计了2个FIR滤波器用来验证本文方法的性能。

所有的设计使用Matlab
R2009b以及SeDuMi最优化工具箱实现。

设计中我们在全频率域使用100个采样点，定义δ为0.01，κg、κpb、κtb、κsb均为1，Γpb、Γsb、Γtb均为 0.1，Γmin为0.001。

3.1 实验1
在实验1中，我们设计一个20阶低通FIR滤波器如下：
该滤波器通带为[0,0.3π]，阻带为[0.6π,π]，通带群延迟为9.2。

图1显示了使用本方法设计的滤波器的性能，可以看出，滤波器幅频响应符合设计要求，并且通带群延迟也近似线性。

(a)振幅
(b)群延迟
(c)通带群延迟图1 实验1设计的滤波器的性能
表1给出了使用本方法设计的滤波器的参数，包括通带误差δp、阻带误差δs以及通带群延迟误差δg，并且与文献[5]中的方法进行了比较。

从表1可以看出，使用本方法设计的滤波器各参数优于文献[5]中方法的设计结果。

表1 实验1性能比对方法δp/dBδs/dBδg本文方法0.006 360.635 90.006 0文献[5]中方法10.016 052.345 00.059 3文献[5]中方法20.019 052.793 00.051 8 3.2 实验2
在该试验中我们设计一个100阶FIR低通滤波器，具体描述如下：
显然该滤波器通带群延迟为40，通带为[0,0.5π]，阻带为[0.55π,π]。

图2显示了使用本方法设计的滤波器的性能。

与图1类似，滤波器幅频响应符合设计要求，并且通带群延迟也近似线性。

(a)振幅
(b)群延迟
(c)通带群延迟图2 实验2设计的滤波器的性能
表2给出了本方法设计与文献[6]提出的方法的性能比对，可以看出，本文所提方法的最大振幅误差(Maximum Magnitude Error，MME)小于文献[6]中的方法，但最大相位误差(Maximum Phase Error，MPE)大于文献[6]中的方法。

综合实验1和实验2可知，本文方法是可行并且有效的。

表2 实验2性能比对方法MMEMPE本文方法0.004 0000.006 600文献[6]中方法0.006 0050.001 000
4 结束语
本文提出了一种通带线性相位FIR滤波器的设计方法，该方法使用通带最小群延迟作为优化目标，以全频域振幅误差作为约束条件，通过SOCP实现基于最小通带群延迟的通带线性相位FIR滤波器系数优化。

实验证明了本文方法实现的通带线性相位FIR滤波器与其他设计方法相比，在振幅和群延迟指标中均有很好的性能。

本文方法对通带线性相位FIR滤波器设计具有普遍性，并且具有易实现和计算复杂度低的优点。

因此作为一种有效的设计算法，本文方法可以广泛应用于通带线性相位FIR滤波器设计中。

在未来的工作中我们将进一步研究具有更高性能的通带线性相位FIR滤波器设计方法。

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