宁夏银川九中高三上学期第三次月考——数学(文)数学(

宁夏银川九中
2015届高三上学期第三次月考
数学（文）试题
本试卷满分150分
（注：班级.姓名.学号.座位号一律写在装订线以外规定的地方，卷面不得出现任何标记） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1错误！未指定书签。

．已知集合1
{|21,},{|0}3
x A x x k k Z B x x +==-∈=≤-，则 ( ) A ． B ． C ． D ．
2错误！未指定书签。

．下列命题错误的是 （ ） A. 命题“若则”的逆否命题为“若则” B. 若为假命题，则均为假命题 C. 命题存在使得，则任意都有 D. “x >2”是“”的充分不必要条件 3错误！未指定书签。

．已知向量，则（ ） A ． B ． C ． D ．
4错误！未指定书签。

．等差数列中，如果27,39963741=++=++a a a a a a ，则此数列的前9项和为（ ）
A.297
B.144
C.99
D.66
5．已知某几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中半圆 的半径为1，则该几何体的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．
6．设是直线，a ，β是两个不同的平面（ ）
A. 若∥a ，∥β，则a ∥β
B. 若∥a ，⊥β，则a ⊥β
C. 若a ⊥β，⊥a ，则⊥β
D. 若a ⊥β,∥a ，则⊥β
7．设变量满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，则的取值范围是
A. B. C. D.
9错误！未指定书签。

．在中，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，且2OA OB OC ===，则的周长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 10．已知是奇函数，则（ ）
A. 12
B. 14
C.10
D.-8
11．已知函数()2cos2f x x x m =+-在上有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 12错误！未指定书签。

． 已知是等差数列的前n 项和，且，给出下列五个命题： ①；②；③；④数列中的最大项为；⑤。

其中正确命题的个数是（ ） A ． 3 B ．4 C ． 5 D ．1 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13错误！未指定书签。

．若向量满足，且与的夹角为，
则_________． 14错误！未指定书签。

．如图，已知函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象(的部分)，则函数的表达式为 __________ 15． 定义运算，若函数在上单调递减，
则实数的取值范围是
16．设是等比数列的前n 项的和，若，则的值是
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤） 17．（本题满分12分）
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 15＝225. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2an ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 18．（本题满分12分）
在中，角所对的边分别为，且满足，． （I ）求的面积； （II ）若，求的值． 19．（本题满分12分）
已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC=BC,点D 是AB 的中点 (1) 求证：BC 1∥平面CA 1D
(2) 求证：平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B
(3) 若底面ABC 为边长为2的正三角形，BB 1= 求三棱锥B 1-A 1DC 的体积
A D
B
C
C 1
A 1
B 1
20．（本题满分12分）
已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝
⎛⎭⎫cos x 4，cos 2 x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫
2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ， 求函数f (A )的取值范围． 21．（本题满分12分） 已知函数。

（Ⅰ）求函数的图像在处的切线方程； （Ⅱ）求的最大值;
（Ⅲ）设实数，求函数在上的最小值
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图AB 为圆O 直径，P 为圆O 外一点，过P 点作PC ⊥AB ， 垂是为C ，PC 交圆O 于D 点，PA 交圆O 于E 点，BE 交PC 于F 点。

（I ）求证：∠PFE=∠PAB ；
（II ）求证：CD 2=CF·CP. 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为（1， －5）， 点M 的极坐标为（4，），若直线过点P ，且倾斜角为，圆C 以M 为圆心，4为半径。

（I ）求直线的参数方程和圆C 的极坐标方程； （II ）试判定直线与圆C 的位置关系。

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
E E
已知函数()|21||23|.f x x x =++-
（1）求不等式的解集；
（2）若关于x 的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
参考答案
二、填空题：
13． 14． y=sin （2x ＋） 15． 16． 5/4
三、解答题：
17． 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 15＝225. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2an ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋2d ＝5，
15a 1
＋15×14
2d ＝225，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，
d ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)∵b n ＝2an ＋2n ＝12
·4n
＋2n ，
∴T n ＝b 1＋b 2＋...＋b n ＝12(4＋42＋ (4)
)＋2(1＋2＋…＋n )＝4n ＋
1－46＋n 2＋n ＝23·4n ＋n 2＋n －23
.
18．在中，角所对的边分别为，且满足，． （I ）求的面积； （II ）若，求的值．
19．已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC=BC,点D 是AB 的中点 (1) 求证：BC 1∥平面CA 1D (2) 求证：平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B
(3) 若底面ABC 为边长为2的正三角形，BB 1=
求三棱锥B 1-A 1DC 的体积
证明：（1）连接AC 1交A 1C 于点E ，连接DE
因为四边形AA 1C 1C 是矩形，则E 为AC 1的中点 又D 是AB 的中点，DE ∥BC 1，
A
D
B
C
C 1 A 1 B 1
又DE 面CA 1D ，BC 1面CA 1D ，BC 1∥面CA 1 ……4分
（2）AC=BC ，D 是AB 的中点，AB ⊥CD ，又AA 1⊥面ABC ，CD 面ABC ，AA 1⊥CD ， AA 1∩AB=A ， CD ⊥面AA 1B 1B ， CD 面CA 1D ， 平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B…………8分 （3）,则（2）知CD ⊥面ABB 1B ， 所以高就是CD= ，BD=1，BB 1=，
所以A 1D=B 1D=A 1B 1=2, , 111
13
C A B
D V -=
= …………12 20．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2 x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫
2π3－x 的值；
(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ， 求函数f (A )的取值范围．
解析 (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2 x 4＝32sin x
2＋1＋cos
x
22
＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， ∵m ·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12. cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12
， cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12
. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，
由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．
∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0.
∴cos B ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3，∴0＜A ＜2π
3
.
∴π6＜A 2＋π6＜π
2
，sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1. 又∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12
. 故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭
⎫1，32. 21． 已知函数。

（Ⅰ）求函数的图像在处的切线方程； （Ⅱ）求的最大值; （Ⅲ）设实数，求函数在上的最小值
解（1）定义域为 1分 2分
3分 又 4分 函数的在处的切线方程为：
，即 5分 （2）令得 当时，，在上为增函数 6分 当时，，在上为减函数 7分
8分 （3），由（2）知：在上单调递增，在上单调递减。

在上的最小值)}2(),(m in{)(min a F a F x f = 9分
2
ln 21)2()(a
a a F a F =
- 10分 当时， 11分 当时， 12分
22 ．如图AB 为圆O 直径，P 为圆O 外一点，过P 点作PC ⊥AB ， 垂是为C ，PC 交圆O 于D 点，PA 交圆O 于E 点，BE 交PC 于F 点。

（I ）求证：∠PFE=∠PAB ；
（II ）求证：CD 2=CF·CP. 证明：（1）AB 为直径，C 在圆O 上，BC ⊥AC PC ⊥AB
∠PAC=90°－∠P ，∠PFC=90°－∠P
∴∠PAB=∠PFE
（2）连结AD 、BD 则AD ⊥BD Rt △ABD 中 CD 2=AC·CB
直角三角形BCF ∽直角三角形PCA
∴CD 2=PC·CF 23．以直角坐标系的原点O 为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为（1， －5），点M 的极坐标为（4，），若直线过点P ，且倾斜角为，圆C 以M 为圆心，4为半径。

（I ）求直线的参数方程和圆C 的极坐标方程；（II ）试判定直线与圆C 的位置关系。

解：（1
）直线的参数方程111cos 23
5sin 532
x t x t y t y t ππ⎧⎧=+=+⋅⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-+⋅=-+⎪⎪⎩⎩（上为参数）
M 点的直角坐标为（0，4） 图C 半径
图C 方程 得代入
得圆C 极坐标方程 ………………………………5分 （2）直线的普通方程为 圆心M
到的距离为942
d +=
=
> ∴直线与圆C 相离。

………………………………………10分 24．已知函数()|21||23|.f x x x =++-（1）求不等式的解集；（2）若关于x 的不等式的解集非空，求实数的取值范围. 解：（Ⅰ）原不等式等价于
313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨
⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-
⎪⎨⎪
-+--≤⎩ 解得
3131
212222
x x x <≤-≤≤-≤<-或或 即不等式的解集为
（Ⅱ）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x
E。