解析几何第五章习题及解答

第五章 正交变换和仿射变换
习题5.1 1.
证明变换的乘法适合结合律，即 123123()().σσσσσσ=
证明：设:,1,2,3.i S S i σ→=，显然都是S 的变换，对任给a S ∈，有
123123123[()]()[()()][(())],a a a σσσσσσσσσ== 123123123[()]()()[()][(())],a a a σσσσσσσσσ==
因此 123123[()]()[()](),a a σσσσσσ= 从而 123123()().σσσσσσ= 2.
求出平面上对直线y x =的反射公式。

解：在直角坐标系中，设点(,)P x y 关于直线y x =的对称点是(,)P x y '''，则,P P '的中点在直线y x =上，且PP '与直线垂直，因此有：
,2
2()()0,
x x y y
x x y y ''++⎧=⎪
⎨⎪''-+-=⎩ 得到
,,x y y x '=⎧⎨'=⎩即平面上对直线y x =的反射公式：01.10x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3.
设平面上直线l 的方程0Ax By C ++=，求平面对于直线l 的反射的公式。

解：在直角坐标系中，设点(,)P x y 关于直线0Ax By C ++=的对称点是(,)P x y '''，则,P P '的中点在直线0Ax By C ++=上，且PP '与直线垂直，因此有：
0,22()()0,
x x
y y A B C x x B y y A ''++⎧++=⎪
⎨
⎪''---=⎩ 解此方程得到平面对于直线l 的反射的公式：
22222222
1[()22],1[2()2].x B A x ABy AC A B y ABx A B y BC A B
⎧'=---⎪⎪+⎨
⎪'=-+--⎪⎩+
4. 设12,l l 是平面上两条平行直线，而12,σσ分别是平面对于直线
12,l l 的反射，证明12σσ是一个平移。

证明：以1l 为x 轴，建立直角坐标系，设2l 的方程是：0y b =≠，
则平面对于直线1l 的反射1σ是,
,x x y y '=⎧⎨'=-⎩面对于直线2l 的反射2σ是
,
2.x x y b y '=⎧⎨
'=-⎩设点(,)P x y ，计算12σσ，2()P σ的坐标是(,2)P x b y '-，121[]()()
P P σσσ'=的坐标是(,2)P x y b ''-，于是12σσ的公式是
,
2,
x x y y b '=⎧⎨
'=-⎩，故12σσ是以向量(0,2)v b =-的平移。

5. 设σ是平面的点变换，σ的公式为
211,113x x y y '-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
问点(1,0),(1,1)-分别变成什么点，直线20x y +-=变成什么图形？ 解：将点(1,0),(1,1)-分别代入σ的公式中得到(1,4),(2,1)-。

从变换公式中求出,x y 的表达式：
1
(2),31
(27)3
x x y y x y ⎧''=+-⎪⎪⎨⎪''=-+⎪⎩
将它代入直线20x y +-=中得到 210.x y ''--=因此直线20x y +-=变成直线210.x y --=
6. 求平面的点变换
237359x x y y '-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的逆变换。

解：矩阵2335A ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
的逆矩阵是1
5332A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，用1A -左乘点变换的两边得到：
53537,32329x x y y '---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪'---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
53537538,32329323x x x y y y ''----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪''-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
将记号,x y 与,x y ''互换得到逆变换
538.323x x y y '-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪'--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
或将矩阵表示形式写成方程组的形式，解出,x y 用,x y ''表示也可同样得到结论。

7. 在直角坐标系中，求出平面绕点000(,)M x y 旋转θ角的变换公式。

解：设(,)P x y 绕点000(,)M x y 旋转θ角后的点是(,)P x y '''，则
000000(,),(,),M P x x y y M P x x y y '''=--=--因此
0000cos sin ,sin cos x x x x y y y y θθθθ'---⎛⎫⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'--⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
于是平面绕点000(,)M x y 旋转θ角的变换公式是：
00cos sin 1cos sin .sin cos sin 1cos x x x y y y θ
θθ
θ
θ
θθ
θ'--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪
⎪⎪
⎪'--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 8. 证明：平面绕原点旋转的集合是平面的一个变换群。

证明：记平面绕原点旋转的集合为G 。

恒等变换I 是绕原点旋转
角度上0的旋转，所以恒等变换I G ∈。

设12,σσ分别是绕原点转角是12,θθ的旋转，则
1
111
1cos sin :,sin cos x x y y θθσθθ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2
222
2cos sin :,sin cos x x y y θθσθθ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪
⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 设(,)P x y ，12()()P σσ是(,)P x y '''，则
1
12
21
12
2cos sin cos sin sin cos sin cos x x y y θθθθθθθθ'--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪
⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭ 12121212cos()sin()sin()cos()x y θθθθθθθθ+-+⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪++⎝⎭
⎝⎭ 所以12σσ绕原点转角是12θθ+的旋转，即12.G σσ∈
设σ分别是绕原点转角是θ的旋转，则转角为θ-（或2πθ-）的旋转就是σ的逆变换，因此1G σ-∈。

故平面绕原点旋转的集合是平面的一个变换群。

9. 证明：平面上运动的集合是平面的一个变换群。

证明：由于运动是旋转与平移的乘积，所以恒等变换I 也是运动。

运动在直角坐标系下的表示公式是
cos sin .sin cos x x a y y b θθθ
θ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪
⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
设12σσ是两个运动，则
1
1111
11cos sin :,sin cos a x x b y y θθσθθ'-⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=+
⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2
2222
22cos sin :,sin cos a x x b y y θθσθθ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪
⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
于是12σσ的表示公式是
1
12
22112112221cos sin cos sin :(),sin cos sin cos a a x x b b y y θθθθσσθθθθ'--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=++ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12122
22112122
221cos()sin()cos sin ,sin()cos()sin cos a a x b b y θθθθθθθθθθθθ+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因此乘积12σσ也是运动。

设运动σ的表示公式是
cos sin ,sin cos x x a y y b θθθ
θ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪
⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
则解出,x y 的表达式有：
cos sin cos sin ,sin cos sin cos x x a y y b θ
θθ
θθ
θθ
θ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=- ⎪
⎪⎪
⎪⎪'--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ cos()sin()cos sin ,sin()cos()sin cos x a y b θθθ
θθθθ
θ'---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪⎪'---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因此σ有逆变换
cos()sin()cos sin .sin()cos()sin cos x x a y y b θθθθθθθ
θ'---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎪
⎪⎪'---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故平面上运动的集合是平面的一个变换群。

习题5.2
1.平面绕原点旋转32
πθ=，再平移(2,1)v =-，写出变换公式，并
求出点(0,1)。

解：平面绕原点旋转32
πθ=的变换1σ：
33cos
sin
0122,3310sin cos
2
2
x x x y y y ππ
π
π⎛⎫
- ⎪'⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭
平移(2,1)v =-的变换2σ：
102,011x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
先绕原点旋转32
πθ=，再平移(2,1)v =-，即为21σσ：
10012012,01101101x x x y y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪'----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
于是点(0,1)经此变换后的对应点的坐标是(3,1)-。

2.求把点(3,1)变成点(1,3)-的绕原点的旋转，并求出曲线
28180y x y -++=经此旋转的对应曲线。

解：设平面绕原点旋转的变换σ：
cos sin ,sin cos x x y y θθθθ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪
⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由于将点(3,1)变成点(1,3)-，所以 1cos sin 3,3sin cos 1θθθ
θ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪
⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
解此方程得到sin 1,cos 0θθ==，故变换是：
01,10x x y y '-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭
即,x y y x ''=-=。

曲线2
8180y x y -++=经此旋转的对应曲线方程是28180x y x '''--+=，即28180x y x --+=。

3.设正交变换σ在直角坐标系Ⅰ中的公式为
322.22
2x x y y ⎛-
'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+ ⎪
⎪ ⎪' ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭
若作直角坐标变换
122,1122x x y y ⎛ ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭
求在新坐标系中的公式。

解：点(,)P x y ，(,)P x y '''在新坐标系中的坐标分别记为(,)P x y ，
(,)P x y '''，于是有以下关系：
1222,112x x y y ⎛-
⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝
⎭122
2,112x x y y ⎛-
⎛⎫''-⎛⎫⎛⎫⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎪-'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎭
将它们代入变换公式中得到：
11
223222
22
2(),1121122
22x x y y ⎛⎛⎫⎛⎫-
-
-
⎪ ⎪
⎛⎫⎛⎫'---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭
两边左乘矩阵12
212⎛⎫
-
⎪⎪⎪⎪⎭
的逆12
212⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，整理得到
2122,462
2x x y y ⎛
⎫-
⎪
⎛⎛⎫⎛⎫'- ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭
⎝⎭⎝ ⎪⎝
⎭
这就是变换在新坐标系中的公式。

4.平面上的点变换σ把直角坐标系Ⅰ变到直角坐标系Ⅱ，并且使每一点P 在Ⅰ下的坐标与它的像P '在Ⅱ下的坐标相同，则σ是正交变换。

证明：设直角坐标系Ⅰ为12{;,}O e e ，直角坐标系Ⅱ为1
2{;,}O e e '''，并且
11112122121222
,,e a e a e e a e a e '=+⎧⎨'=+⎩则过渡矩阵11
122122a a A a a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是正交矩阵。

再设12,OP xe ye =+1
21112121222()().O P xe ye a x a y e a x a y e ''''=+=+++在直角坐标系Ⅰ下，
121212()()(),O P OP OO x e y e ae be x a e y b e ''''''''=-=+-+=-+-于是得
到点变换在直角坐标系Ⅰ下的变换公式：
11
1221
22:,a a x x a a a y y b σ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+
⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭故该点变换是正交变换。

5. 设平面上的点变换σ在直角坐标系下的公式为
111221
22,a a x x a a a y y b '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 其中()ij A a =是正交矩阵，证明σ是正交变换。

证明：设两点111222(,),(,)P x y P x y ，11()P P σ'=的坐标1
1(,)x y ''，22()P P σ'=的坐标22(,)x y ''。

则2
111122*********,x x a a x x y y a a y y ''--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎪''--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因为()ij A a =是正交矩阵，所以T A A I =。

两点的距离是
()2
12
2
2
122
121212121(,)()()x x d P P x x y y x x y y y y ''-⎛⎫''''''''''=-+-=-- ⎪''-⎝⎭
()11
2111
122121
211222212221a
a a a x x x x y y a a a a y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()2121
21211001x x x x y y y y -⎛⎫
⎛⎫=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
222212112()()(,).x x y y d P P =-+-=
故σ是正交变换。

6. 设1τ和2τ分别是平面上对于直线1l 和2l 的反射，设1l 与2l 交于O
点，且夹角为θ，证明：21ττ是绕O 点的旋转，转角为2θ。

证明：以直线1l 为x 轴，O 点为坐标原点建立直角坐标系，设
12(),(),P P P P ττ''''==由于1τ和2τ分别是平面上对于直线1l 和2l 的反
射，则,OP OP OP '''==且()2,POP θ''∠=所以21ττ是绕O 点转角为2θ
的旋转。

此题也可以用写出变换公式来证明，请读者试一试。

习题5.3
1.求把三点(0,0),(1,1)(1,1)-分别变到点(2,3),(2,5),(3,7)的仿射变换。

解：设仿射变换是
111221
22,a a x x a a a y y b '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 依题意得到2,3a b ==，且
11
122122212,513a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即11
12212201,21a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111221
22312,713a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即11
1221
2211,41a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 解以上方程组得
111221
2211,223
1a a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭
于是仿射变换是
1
12.2233
1x x y y ⎛⎫
'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪' ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝
⎭
2.证明：在仿射变换下，两个不动点的连线上每一点都是不动点。

证明：设12,P P 是仿射变换σ的两个不动点，则1122(),().P P P P σσ==设().O O σ'=12,P P 的连线上的任一点P ，满足12(1),OP tOP t OP =+-则
1212()((1))()(1)()O P OP tOP t OP t OP t OP σσσσ''==+-=+-
12(1),tO P t O P
O P '''=+-= 故P 与P '重合，即P 是不动点。

3.求把三条直线
0,0,10
x x y y =-=-=依次变到
3230,x y --=10,x -=
490x y --=的仿射变换的公式。

解：两直线0,0x x y =-=的交点是(0,0)A ，3230,x y --=10x -=的交点是
(1,0)
A '；
0,10
x y y -=-=的交点是
(1,1)
B ，
10,x -=490x y --=的交点是(1,5)B '-；0,10x y =-=的交点是(0,1)C ，3230,x y --=490x y --=的交点是(3,3)C '。

设仿射变换的公式是11
122122,a a x x a a a y y b '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪
⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭则1,0a b ==，且 11
122122111,510a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即11
12212201,51a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111221
22301,310a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即11
1221
2220,31a a a
a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
解以上方程组得
111221
2222,8
3a a a a -⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪-⎝⎭
⎝⎭ 于是仿射变换是
221.830x x y y '-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4.如果一条直线与它在仿射变换τ下的像重合，则称这条直线为τ的不动直线。

求仿射变换
711,424x x y y '--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的不动直线。

解：设不动直线是:0.l Ax By C ++=经仿射变换τ后直线的方程仍可化简为0.Ax By C ''++=将仿射变换τ代入后一个方程，则有
(71)(424)0,A x y B x y C --++++=
即(74)(2)40,A B x B A y B A C ++-+-+= 于是存在关系：
,7424A B C
A B B A B A C
==+--+因而22540,A AB B ++=得到,
A B =-或4.A B =-
若,A B =-则1,3
4C B A C =
-+故5,2C B =于是1
::[(2):2:5],
2
A B C =-不动直线是:2250.l x y --=
若
4,
A B =-则1,
6
4C
B A C
=
-+得到8,5
C B =于是不动直线是
:20580.l x y --=
综上所述，仿射变换τ的不动直线有两条：
1:2250,l x y --=2:20580.l x y --=
5.椭圆22
221x y a b
+=经过仿射变换τ
：
,x
x a y y b
⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩
化为221x y ''+=，由此证明：椭圆的面积ab π=。

证明：仿射变换τ的变积系数是
1det(),A ab =设椭圆22
221x y a b +=的
面积是S ，圆221x y ''+=的面积是π，则1,S
ab
π=故椭圆的面积.S ab π=
6.设O 是平面上一个定点，如果平面上一个点变换τ把O 保持不变，且使平面上任一点M 变到M '，它们满足OM kOM '=，其中，常数0k >，则称τ是同位相似（或相似），称O 为位似中心，k 称为位似系数。

（1）适当选取标架，求出位似τ的公式； （2）证明位似是仿射变换； （3）证明位似保持角度不变；
（4）证明位似可以分解成某两个伸缩的乘积。

解：（1）以O 为原点建立直角坐标系，设(,),M x y (,)M x y '''，由
于OM kOM '=，所以(,)x y ''=
(,)k x y ，即位似τ
的公式,
.
x kx y ky '=⎧⎨
'=⎩
（2）位似τ的变换矩阵是00k A k ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，由于常数0k >，所以00
k A k ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
可逆，故位似是仿射变换。

（3）设12,OM OM 的夹角是θ，由于常数0k >，所以经位似变换
后的向量的夹角仍然是θ。

（4）由于位似τ的变换矩阵00100
10
k
k A k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以位似τ分解为两个伸缩12100:,:00
1x x x k
x y k y y y ττ''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪''⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的乘积21τττ=。

7.如果平面的一个点变换τ，使得对应线段的长度之比为一个正常数k ，则称τ为相似，称k 为相似系数。

（1）证明相似是仿射变换；
（2）证明相似把一个三角形变到一个与之相似的三角形； （3）证明相似可以分解成一个正交变换与一个位似的乘积。

证明：建立直角坐标系12{;,}O e e ，设点变换τ将不共线三点123
,,P P P 变成三点123,,P P P '''，由于点变换τ将对应线段的长度之比是一个正常数k ，所以:0().i j i j P P P P k i j ''=>≠三点123,,P P P '''不可能共线，否则，设123,,P P P '''依次共线，则有122313P P P P P P ''''''+=，于是122313
()k P P P P k P P +=，三点123,,P P P 依次共线，与假设矛盾，故三点123,,P P P '''不可能共线。

该点变换将共线三点123,,P P P 变成共线三点123,,P P P '''，不妨设122313P P P P P P +=，则122313P P P P P P ''''''+=。

于是点变换将直线变成直线。

由以上结论得出点变换将三角形变成一个与之相似的三角形。

（2）证明完毕。

（1）设11
22(),(),()O O e e e e τττ'''===，则112212,,.e k e e k e e e ''''==⊥
再设(,)O a b '，11112122121222,e a e a e e a e a e ''=+=+，点(,)P x y 变成(,)P x y '''。

因而11
122122cos sin sin cos a a k a a θ
θθθ-⎛⎫⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或cos sin sin cos k θ
θθθ⎛⎫
⎪-⎝⎭。

由于点变换将三角形变成一个与之相似的三角形，所以不妨假设
(,)(,),1,2i i OP e O P e i '''∠=∠=，则有关系,1,2i i OP e O P e i '''⋅=⋅=，因而 11211
1(,)(,)(,)(1,0),x a y b a a x y OP e O P e ''--⋅⋅=
'''122222
(,)(,)
(,)(0,1),x a y b a a x y OP e O P e ''--⋅⋅='''
得211211121k x a x a y a a a b ''=+--，212221222k y a x a y a a a b ''=+--，写成矩阵形式
11
2111
21212
2212
22a
a a a x x a k a a a a y y
b '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭， 于是得到点变换在直角坐标系下的表达形式
cos sin sin cos x x a k y y b θ
θθ
θ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭或cos sin sin cos x x a k y y b θ
θθ
θ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪
⎪⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 故该点变换是仿射变换。

（3）由于变换公式是
cos sin sin cos x x a k y y b θ
θθ
θ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos sin 0sin cos 0
k
x a k y b θ
θθ
θ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+
⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以它可以分解为正交变换1cos sin :sin cos x x a y y b θ
θτθθ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪
⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，与位似变换20:0x k
x y k y τ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的乘积21ττ。

8.设平面的一个仿射变换τ使直线l 上的每一点都不动，
(),().A A B B ττ''==证明：
（1）直线AB 与A B ''或者同时平行于l ，或者相交于l 上一点。

（2）直线AA '与BB '彼此平行。

证明：（1）如果AB 与直线l 平行（不重合），而A B ''与l 不平行，设相交于点P ，由于仿射变换τ使直线l 上的每一点都不动，则点P 是不动点，也在AB 上，这是不可能的，所以A B ''与l 平行。

如果AB 与直线l 相交，设交于点P ，则点P 是不动点，因而A B ''与l 相交于点P 。

（2）如果AB 与直线l 平行，在l 上取两点C D ≠，则AB kCD =。

由于仿射变换保持向量的线性关系不变，所以A B kCD ''=，得到
,A B AB ''=故直线AA '与BB '彼此平行。

如果AB 与直线l 不平行，设相交于点C ，则A B ''与l 也相交于点
C。

因此(),AC A C τ'=(),CB CB τ'=设,AC kCB =由于仿射变换保持向
量的线性关系不变，则,A C kCB ''=三角形ACA '与三角形BCB '相似，从而直线AA '与BB '彼此平行。

9.在题8中的τ，假如有一个点M 和它的像点M '的连线MM l '
，
这时称τ为错切，l 称为错切轴。

证明：在适当选取的仿射坐标系中，错切的公式为
,
,
x x ay y y '=+⎧⎨
'=⎩ 并且证明错切不改变图形的面积。

证明：以变换τ的不动直线为x 轴，直线OM 为y 轴建立仿射坐标系，设(0,1)M ，(,1)M a '。

显然，变换τ将原点变成原点，所以可设变换公式是
11
1221
22,a a x x a a y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
变换τ将(0,1)M 变成(,1)M a '，将点(1,0)变成(1,0)，所以有
111221
220,11a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭11
1221
2211,00a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 我们得到1222,1,a a a ==11211,0,a a ==故错切的公式为
101x a x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

由于变换矩阵的行列式等于1，所以错切不改变图形的面积。

习题5.4
1.证明：椭圆的共轭直径与椭圆的交点处的切线构成的平行四边形的面积是常数。

证明：以椭圆的中心为原点，长轴，短轴为x 轴和y 轴建立直角坐标系，设椭圆的方程为
22
22
1,x y a b += 作仿射变换,,x y x y a
b
''==其变积系数是1ab
，则椭圆变成单位圆，
同时将椭圆的共轭直径变成单位圆的共轭直径，单位圆的共轭直径是互相垂直的，交点处的切线构成的平行四边形变成正方形，其面积为4，所以交点处的切线构成的平行四边形的面积是4ab 为常数。

2.证明：椭圆的任一外切平行四边形的两条对角线所在的直线是椭圆的一对共轭直径。

证明：作一个仿射变换将椭圆变成单位圆，由于切线，平行线，共轭直径都是仿射不变的，并且圆的外切平行四边形就是正方形，而正方形的对角线是圆的互相垂直的共轭直径，因此椭圆的任一外切平行四边形的两条对角线是椭圆的一对共轭直径。

3.证明：双曲线的切线与它的渐近线确定的三角形的面积是一个常数。

证明：设在直角坐标系下，双曲线的方程为
22221,x y a b -=作仿射变换,,
x y x y x y a b a b ''=+=-其变积系数是2
ab
，则
双曲线的方程变成1,xy =x 轴和y 轴是双曲线的两条渐近线。

双曲线上任何一点00(,)x y 的切线方程是002y x x y +=，截距分别是
00
22,y x 。

所以切线与它的渐近线确定的三角形的面积说00
12222y x ⋅⋅=，
故双曲线
22
22
1x y a b -=的切线与它的渐近线确定的三角形的面积是22
ab
ab ⋅
=为常数。

4.证明：双曲线的两条渐近线之间的切线段被切点等分。

证明：设在直角坐标系下，双曲线的方程为
2222
1,x y a b -=作仿射变换,,x y x y
x y a b a b ''=+=-则双曲线的方程变成1,xy =x 轴和y 轴是双曲线的两条渐近线。

双曲线上任何一点00(,)x y 的切线方程是002y x x y +=，它与坐标轴
的交点分别是0
22(,0),(0,)y x ，它们的中点坐标是0000
11(,)(,)x y y x =，所
以双曲线的两条渐近线之间的切线段被切点等分。

5.证明：所有内接于椭圆的四边形中面积最大的是以一对共轭直径和椭圆的交点为顶点的平行四边形。

证明：作仿射变换将椭圆变成单位圆，由于圆的内接四边形中面积最大的是正方形，而对角线是一对互相垂直的共轭直径，所以经过仿射变换的逆变换得到内接于椭圆的四边形中面积最大的是以一对共轭直径和椭圆的交点为顶点的平行四边形。

6.下列概念中哪些是图形的度量性质，哪些是仿射性质： （1）等边三角形，（2）平行四边形，（3）多边形， （4）三角形的中线，（5）三角形的高线，（6）圆的半径。

解：图形的度量性质有：等边三角形，三角形的高线，圆的半径。

图形的仿射性质有：平行四边形，多边形，三角形的中线。

7.证明：如果平面的仿射变换τ将一个圆变成它自身，则τ是正交变换。

证明：以圆的圆心为原点建立直角坐标系Ⅰ12{;,}O e e =，由于平面的仿射变换τ将一个圆变成它自身，所以以12,e e 为方向的共轭直径变
成圆的共轭直径，向量12,e e 变成互相垂直的单位向量12,e e ''，于是直角坐标系Ⅰ12{;,}O e e =变成直角坐标系Ⅱ12{;,}O e e ''=。

由于仿射变换保持
向量的线性关系不变，所以任何一点P 在Ⅰ12{;,}O e e =中的坐标与像
点P '在Ⅱ12{;,}O e e ''=中的坐标相同。

故这样的仿射变换就是正交变换。

习题5.5
1. 证明下述空间的点变换是第一类正交变换，并且求转轴。

2213
330.x x
y y z z ⎛⎫-
⎪ ⎪'⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭
⎝
证明：因为变换矩阵的每一行的向量都是单位向量且两两之间是正交的，所以变换矩阵式正交矩阵。

变换矩阵的行列式等于1，故该变换是第一类的正交变换。

变换的两个不动点的连线就是转轴。

显然原点是不动点，再求一个不动点，即解方程组
2
213
330.x x
y y z z ⎛⎫-
⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝
解得31,1x y z =-=-=，所
.1
z =
= 2. 在直角坐标系中，求出把点(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)分别变成点
(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0)的正交变换公式。

解：由于将原点变成原点，所以可设变换公式是
11121321222331
32
33.x a a a x y a a a y z a a a z '⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
'= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭
⎝⎭其中变换矩阵是正交矩阵，将点代入得
到
11
121321222331
32
330001,10a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11
121321
222331
32
331000,01a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
解此方程组得到1222233332330,1,a a a a a a ======由于矩阵是正交矩阵，可得到1131210,1,a a a ===±所以所求正交变换是
001100.010x x y y z z '⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪'=± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3. 设σ是空间的第一类的正交变换，证明：对于空间的任意两个向量12,v v 有
（1）1212()();v v v v σσ⋅=⋅ （2）1212()()().v v v v σσσ⨯=⨯
证明：取一个右手直角坐标系123[;,,]O e e e I =，第一类正交变换σ将
123[;,,]O e e e I =变成右手直角坐标系123[;(),(),()]O e e e σσσ'II =。

设12,v v 在
右手直角坐标系123[;,,]O e e e I =的坐标为111222(,,),(,,)x y z x y z ，则 （1）12111213212223()()(()()())(()()())v v x e y e z e x e y e z e σσσσσσσσ⋅=++⋅++
12121212x x y y z z v v =++=⋅。

（2）由于12312()()()()e e e e e σσσσ⨯==⨯，
23123()()()(),e e e e e σσσσ⨯==⨯ 31231()()()(),e e e e e σσσσ⨯==⨯所以
12111213212223()()(()()())(()()())v v x e y e z e x e y e z e σσσσσσσσ⨯=++⨯++
12().v v σ=⨯
4. 证明：空间中任给两组不共面的四点1234,,,A A A A 和
1234,,,B B B B ，则存在唯一的仿射变换，把i A 变成,1,2,3,4i B i =。

证明：设在一个仿射标架下，(,,),(,,),(1,2,3,4).i i i i i i i i A x y z B x y z i '''=设仿射变换σ将i A 变成,1,2,3,4i B i =，则
,(1,2,3,4).i i i i i i x x a y A y b i z z c '⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而有 123
4
11121312341234
21222312341234
31323312341
1
1
10
11
1
1
1x x x x a a a a x x x x y y y y a a a b y y y y z z z z a a a c z z z z ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'''' ⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪'''' ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 因为四点1234,,,A A A A 不共面和1234,,,B B B B 不共面，所以两个矩阵
123
4
12341234
12341234
1234,1
1
1
11
1
1
1x x x x x x x x y y y y y y y y z z z z z z z z ''''⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪'''' ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
'''' ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均可逆，并且11
12
1321
22233132330
1a a a a a
a a
b a a a
c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
唯一确定，其行列式不为0，故变换矩阵可逆。

于是存在唯一的仿射变换，把i A 变成,1,2,3,4i B i =。

5.在仿射变换下，在不共线的3个不动点所在的平面上的每一点都是不动点。

证明：设123,,P P P 是仿射变换σ的三个不共线的不动点，在它们确定的平面内任取一点P ，则对任意的点O 成立：123(1).
OP kOP lOP k l OP =++-- 设(),(),O O P P σσ''==则
123()(1),OP O P kO P lO P k l O P O P σ''''''==++--=
故().P P σ=
6.求椭球面222
2221x y z a b c
++=围成的区域的体积。

解：作一个仿射变换：
:,,,x y z x y z a b c σ'''=
==其变积系数是1,abc
则椭球面变成单位球面，单位球面围成的区域的体积是4
,3
π故椭球面2222221x y z a b c ++=围成的
区域的体积是4.3
abc π
7.证明：分别对于两个平行平面的反射变换的乘积是一个平移。

证明：以其中一个平面为xOy 坐标面建立直角坐标系，则另一个平面方程设为0z c =≠。

对于平面0z =的反射为,,.x x y y z z '''===- 对于平面z c =的反射为,,2.x x y y z z c '''===-+
两个反射的乘积是,,2,x x y y z z c '''===+这是一个平移。

8.证明：分别对于两个相交平面的仿射变换的乘积是一个绕定直线的旋转。

证明：以两平面12,∏∏的交线为x 轴，平面1∏为xOy 坐标面建立直角坐标系，设两平面的夹角为θ。

关于平面12,∏∏的反射记为12,σσ，则反射1σ的变换公式是,,.x x y y z z '''===-
反射2σ的变换公式如下计算：2∏的方程是sin cos 0y z θθ-=，对任何一点(,,)P x y z ，2()(,,),P P x y z σ''''=则2PP '⊥∏，,P P '的中点在2∏上，于是
()sin ()cos 0,y y z z θθ''+-+=()cos ()sin 0,y y z z x x θθ'''-+-==，
即,cos sin cos sin ,sin cos sin cos ,x x y z y z y z y z θθθθθθθθ'=⎧⎪''+=+⎨⎪''-=-+⎩解得,
cos 2sin 2,sin 2cos 2,x x y y z z y z θθθθ'=⎧⎪
'=+⎨⎪'=-⎩
于是变换乘积21σσ的变换公式是
,cos 2sin 2,sin 2cos 2.x x y y z z y z θθθθ'=⎧⎪
'=-⎨⎪'=+⎩
由此看到12,∏∏的交线x 轴是变换乘积21σσ的不动点构成的直线，即旋转轴，绕旋转轴旋转的角度为两平面的夹角的2倍。