直线圆圆锥曲线知识点整理优秀版

版
第四讲圆锥曲线
一、知识结构。

1、直线、圆。

2、若斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则弦长：
21||AB x x -
21||y y =-=)0(≠k
3、等轴双曲线：222a y x ±=-（即b a =）
4、
专题 直线与圆、圆锥曲线
一、直线与方程
1、倾斜角与斜率：1
21
2tan x x y y k --=
=α
2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式：
121
121
y y y y x x x x --=
-- ⑷截距式：1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线：
222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴⎩⎨
⎧≠=⇔21
2
121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔2
12
1b b k k ；⑷12121-=⇔⊥k k l l .
4、对于直线：
0:,
0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔12211
22121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠⇔；
⑶1l 和2l 重合⎩⎨
⎧==⇔1
2211
221C B C B B A B A ；⑷0212121=+⇔⊥B B A A l l .
5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-=
6、点到直线距离公式： 2
2
00B
A C
By Ax d +++=
7、两平行线间的距离公式：
1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2
2
21B
A C C d +-=
二、圆与方程
1、圆的方程：⑴标准方程：()()22
2
r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r .
⑵一般方程：02
2=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22D
E
-
-
，半径为r =
2、直线与圆的位置关系
直线0=++C By Ax 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .
弦长公式：222d r l -=2
212121()4k x x x x =+--
3、两圆位置关系：21O O d =
⑴外离：r R d +>；⑵外切：r R d +=；⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=；⑸内含：r R d -<. 3、空间中两点间距离公式： ()()()21221221221z z y y x x P P -+-+-=
三、圆锥曲线与方程
1．椭圆
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
()22
2210x y a b a b +=>> ()22
2210y x a b a b
+=>> 定义
到两定点21
F F 、的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）
范围
a x a -≤≤且
b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤
顶点
()1,0a A -、()2,0a A
()10,b B -、()20,b B
()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B
轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b =
对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c
焦距
222122()F F c c a b ==-
离心率
222222
2
1(01)c c a b b e e a a a a
-====-<<
准线方程
2a x c
=±
2
a y c
=±
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
()22
2210,0x y a b a b -=>> ()22
2
210,0y x a b a b
-=>> 定义
到两定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数2a ，即21||||2MF MF a
-=（2102||a F F <<）
范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈
顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A
轴长 实轴的长2a = 虚轴的长2b =
对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c
焦距
222122()F F c c a b ==+
离心率
222222
2
1(1)c c a b b e e a a a a
+====+>
准线方程
2
a x c =±
2
a y c =±
渐近线方程 b y x a
=±
a y x b
=±
设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则
⑴ 2
21212,;4
p x x y y p ==- ⑵ 2
2;sin p AB θ= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切
圆锥曲线知识点回顾1．椭圆的性质
2．双曲线的性质
3．抛物线中的常用结论
①过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p
②设A(x1，y)，1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点，则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2
③设A，B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点，则OA⊥OB的充要条件是
直线AB恒过定点(2p，0)
(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义
与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，
是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．
4．直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）
(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的
a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).
b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离
c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性
(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所
在的直线方程
(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或
者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）
5．二次曲线在高考中的应用
二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。

通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。

本文关注近年部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析，这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

(2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。

(3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。

(4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

6．知识网络
圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程
性质：对称性、焦点、顶点、离率、准线、焦半径等
直线与圆锥曲线的位置关系
圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。

若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a
+=。

椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或122
22=+b
x a y （0a b >>）（焦点在y 轴
上）。

注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2
2
2
b a
c =-；
②在22221x y a b +=和22221y x a b
+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2
x 和2y 的分
母的大小。

例如椭圆
22
1x y m n
+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程22
221x y a b
+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；
②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。

若同时以x -代替x ，y -代替y
方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令
0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。

同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，
2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ∆中，2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，
且222
2222||||||OF B F OB =-，即2
2
2
c a b =-；
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c
e a
=
叫椭圆的离心率。

∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时
椭圆越接近于圆。

当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222
x y a +=。

2．双曲线
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。

注意：①式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支；
21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）；②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线；③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形；④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做
焦距。

①范围：从标准方程122
22=-b
y a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧。

即
22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。

②对称性：双曲线122
22=-b
y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点
是双曲线122
22=-b
y a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。

在双曲线122
22=-b
y a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所
以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线122
22=-b
y a x 的顶点。

令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。

虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。

从
图上看，双曲线122
22=-b
y a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

定义式：a b =； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。

亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(2
2≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，
当0<λ时焦点在y 轴上。

⑥注意
191622=-y x 与22
1916
y x -=的区别：三个量,,a b c 中,a b 不同（互换）c 相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

3．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。

定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

方程()022
>=p px
y 叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2p ,0），它的准线方程是2
p x -= ；
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22-=，py x 22=，py x 22-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：
标准方程
22(0)y px p =>
22(0)
y px p =->
22(0)x py p =>
22(0)
x py p =->
图形
焦点坐标 (,0)2
p (,0)2p -
(0,)2p
(0,)2p -
准线方程 2p x =-
2p x =
2p y =-
2p y =
范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 对称性
x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率 1e =
1e = 1e = 1e =
点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。

o F
x
y l
o
x
y
F l
x
y
o
F
l
椭圆与双曲线
一、图像与性质
椭圆：把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫作椭圆． 标准方程 22221(0)
x y a b a b
22221(0)
y x a b a b
焦点所在轴 X 轴
y 轴
图像
（谁的分母大，焦点在谁上，大分母是
2a ）
长轴长：
a
A A 221= 短轴长：
b
B B 221= 焦距：
c
F F 221=
离心率：
a c
e =
，2
22,,c b a c b a +=关系式：
双曲线：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线． 标准方程
)0,0(122
22>>=-b a b y a x
)0,0(122
22>>=-b a b x a y
焦点所在轴 X 轴
y 轴
图像
（谁的系数为正，焦点在谁上，下面分母
是2a ）
渐近线方程
x a b
y ±
=
x b a y ±
=
实轴长：
a
A A 221= 虚轴长：
b
B B 221= 焦距：
c
F F 221=
离心率：a c
e =
，2
22,,a b c c b a +=关系式：
题型一：标准方程——k e c b a 渐近线斜率
,,,,——图像对照求值 思路：根据标准方程或图像对照出k e c b a 渐近线斜率,,,,中的任意两个，就可以利用关系式c b a ,,将其他参数全部算出，然后罗列性质就可以了。

注意下列细节：椭圆中谁的分母大，焦点在谁上，大分母是2
a ，2
22c b a +=
双曲线中谁的系数为正，焦点在谁上，下面分母是2a ，2
22a b c +=
例1：分析椭圆19252
2=+y x 的性质。

解：由椭圆方程得焦点在X 轴上， 且
9
,2522==b a 计算出：
4,16925-,3,5222==-====c b a c b a
长轴长：10
21=A A 短轴长：
6
21=B B
焦距：
8
21=F F
离心率：
54
=
e
例2：顶点在X 轴，两顶点的距离是8，离心率是45
的双曲线方程。

解：由题意得,82=a 45=
e ，
所以5,4==c a
91625222=-=-=a c b ，3=b
又因为焦点在X 轴上，所以双曲线方程为
19162
2=-y x
例3、已知椭圆经过点P(0,-3),Q(-2,0),求椭圆标准方程。

解：与椭圆的两种标准图形对照不难发现这是一个焦点在Y 轴上的椭圆， 且P,Q 作为与坐标轴的交点只能有a=3,b=2,
标准方程为149=-
题型二、关于椭圆与双曲线定义的考察 思路：设P 是椭圆上任一点，则有
a
PF PF 221=+ 设P 是双曲线上任一点，则有
a
PF PF 221=-
例4： 设2
1,F F 是椭圆19252
2=+y x 的两个焦点，过1F 的弦AB 与椭圆交于A,B 两点，
(1)已知1AF =4，求2AF
（2）求三角形21F AF
的周长； （3）求三角形2ABF
的周长；
解：由上述例子说明该椭圆中：
4,3,5===c b a
（1） 由椭圆定义知：10
221==+a AF AF ,又因为1AF =4，则2AF =6 （2） 由椭圆定义知：
10221==+a AF AF ,
8221==c F F
角形21F AF
的周长=c
a F F AF AF 222121+=++=18
（3） 由椭圆定义知：
10221==+a AF AF ,
10
221==+a BF BF
求三角形2ABF
的周长=++21AF AF a
BF BF 421=+=20
例5、双曲线
19
162
2=-x y 上一点P 到一个焦点的距离为10，那么P 到另一个焦点的距离是
解：由双曲线方程
19
162
2=-x y 对照得出焦点在Y 轴上 且 9,162
2==b a ，则4=a ，
由双曲线定义知道：8221==-a PF PF ， 由题意知101=PF ，所以182=PF 或22=PF 。

题型三：对方程
1=+n m 的认识
当n m n m >>>且0,0时该方程表示焦点在X 轴上的椭圆 当m n n m >>>且0,0时该方程表示焦点在Y 轴上的椭圆 当0,0<>n m 时该方程表示焦点在X 轴上双曲线 当0,0<>m n 时该方程表示焦点在y 轴上双曲线 当0>=n m 时刚方程表示圆
例6：方程
12
422=-+-t y t x 所表示的曲线为C ，求以下情况时t 的取值范围。

（1）曲线C 为焦点在X 轴上的椭圆； （2）曲线C 为焦点在Y 轴上的椭圆； （3）曲线C 为焦点在X 轴上的双曲线； （4）曲线C 为焦点在Y 轴上的双曲线；
解：（1）由题意得：()3,224020-4∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧->->->t t t t t 。

（2）()4,342020-4∈⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧->->->t t t t t
（3）)2,(0204-∞∈⇒⎩
⎨⎧<->-t t t （4）).4(020
4∞+∈⇒⎩⎨⎧>-<-t t t
题型四：巧用方程12
2
=+By Ax 解决已知两点求圆锥曲线方程问题
分析：122=+By Ax 是椭圆与双曲线方程的变式，在带值求解的过程中用此方程解题能使运算难度降低很多！
例7：若椭圆经过点M （-2，3），N （1，32），求椭圆标准方程。

解：设方程为122=+Bx Ax （A>0，B>0），将M （-2，3），N （1，32）两点代
入上式得：⎪⎩
⎪⎨
⎧
==⇒⎩⎨⎧=+=+151
51112134B A B A B A 所以椭圆方程为11515122=+y x ，即115
52
2=+y x
例8：若过点M （3，24-），N （
4
9
，5）的双曲线的标准方程
解：设方程为122=+Bx Ax （AB<0），将M （3，24-），N （
4
9
，5）两点代入上式得：⎪⎩
⎪⎨
⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1619112516
811329B A B A B A 所以椭圆方程为11619122=+-y x ，即19
162
2=-x y
五、综合考题
例9、已知椭圆两焦点坐标分别是（0，-2），（0,2）且椭圆过点（3,2），求椭圆方程。

解：因为椭圆两焦点坐标分别是（0，-2），（0,2），所以焦点在Y 轴上且2=c ，
又因为()()()()82-20-32--20-32222221=+++=
+=）
（PF PF a
所以4=a ，124162
22=-=-=c a b
所以椭圆方程为112
1622=+x y 例10：已知双曲线两焦点坐标分别是（-6,0），（6,0,）且过点（-5,2），双曲线方程。

解：因为双曲线两焦点坐标分别是（-6,0），（6,0），所以焦点在X 轴上且6=c ，
又因为
()()()()()5
455512550265026522
22221=-=-=-+----+---=
-=PF PF a
所以52=a ，1620362
2
2
=-=-=a c b
则双曲线方程为116
2022=-y x 。

六 椭圆中的三角形
例11：当椭圆满足下列情况时求离心率： 1、212F F B ∆是直角三角形
解：1、因为，2212F B F B =所以该三角形是等腰直角三角形。

令112===O F O B c 212==F B a
则有，所以22
2
1=
==
a c e 2、212F F B ∆是等边等边三角形
因为2212F B F B =，所以该三角形是等边三角形。

令11==O F c
则有212==F B a ，所以2
1
==a c e
例12：如图，在椭圆上有一点P,在三角形21F PF ∆中0
2130=∠F PF ，且2PF
垂直于X 轴，求椭圆的离心率。

解：在21F PF Rt ∆ 中0
2130=∠F PF ，
设12=PF ，则有3,2211==F F PF ，
2
3
,3221=
==c F F c ，
2
3,321221=
=+=+=a PF PF a
题型三：定义的应用
知识点：已知抛物线)0(22
>=p px y 上有一点A ),(00y x ，则点P 到焦点的距离和到准线的距离相等。

由图知：2
/
p x AA AF A +
== 归纳：当抛物线焦点在X 轴上时：2/
p
x AA AF A +
== 当抛物线焦点在Y 轴上时：2
/
p y AA AF A +
==焦点
弦
AB
的
长
度
：
p x x p x p x BF AF AB B A B A ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=+=22
例1：已知抛物线)0(22
>=p px y 上一点M ),3(m 到焦点的距离为5，求抛物线标准方程及点M 的坐标。

解：由题意得抛物线开口向右，且42
352=⇒+=⇒+=p p
p x MF m 所以抛物线方程为x y 82
=
将3=x 带入标准方程x y 82
=得62±=y ，所以点M 的坐标为()62,3或()
62,3-
例2：过抛物线x y 42=的焦点做直线交抛物线于A ，B 两点 （1） 若A 、B 的中点横坐标为3，求AB （2） 若直线AB 的斜率为2，求AB 。

解：因为p x x BF AF AB B A ++=+=
由抛物线方程知抛物线开口向右且2=p 焦点()0,1，准线方程1-=x （1）由中点坐标公式得632=⨯=+B A x x 所以826=+=AB
（2）直线AB 为过点()0,1，斜率为2的直线，则方程为)1(20-⨯=-x y 整理为：
22-=x y 将直线方程与抛物线方程联立方程组：⎩⎨⎧=-=x
y x y 4222
得0132
=+-x x 由根与系数关系式得3=-=+a
b
x x B A ，所以523=+=AB
圆锥曲线知识点回顾1．椭圆的性质
e越大椭圆越扁；e越小椭圆越圆。

2．双曲线的性质
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。

注意：①式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲
线的一支；21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）
；②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线；③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形；④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。

(2) 等轴双曲线：
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

定义式：a b =； e 越大,双曲线开口越宽；e 越小,双曲线开口越窄。

3．抛物线中的常用结论 标准方程
22(0)y px p =>
22(0)
y px p =->
22(0)x py p =>
22(0)
x py p =->
图形
焦点坐标 (,0)2
p (,0)2p -
(0,)2p
(0,)2p -
准线方程 2p x =-
2p x =
2p y =-
2p y =
范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 对称性 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率 1e =
1e = 1e = 1e =
(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义
与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线．
o F x
y l o
x
y
F l
x
y
o
F
l
专题 直线与圆、圆锥曲线
一、直线与方程
1、倾斜角与斜率：1
21
2tan x x y y k --=
=α
2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式：
121
121
y y y y x x x x --=
-- ⑷截距式：1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线：
222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴⎩⎨
⎧≠=⇔21
2
121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔2
12
1b b k k ；⑷12121-=⇔⊥k k l l .
4、对于直线：
0:,
0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔12211
22121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠⇔；
⑶1l 和2l 重合⎩⎨
⎧==⇔1
2211
221C B C B B A B A ；⑷0212121=+⇔⊥B B A A l l .
5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-=
6、点到直线距离公式： 2
2
00B
A C
By Ax d +++=
7、两平行线间的距离公式：
1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2
2
21B
A C C d +-=
二、圆与方程
1、圆的方程：⑴标准方程：()()22
2
r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r .
⑵一般方程：02
2=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22D
E
-
-
，半径为r =
2、直线与圆的位置关系
直线0=++C By Ax 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .
弦长公式：222d r l -=2
212121()4k x x x x =+--
3、两圆位置关系：21O O d =
⑴外离：r R d +>；⑵外切：r R d +=；⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=；⑸内含：r R d -<. 3、空间中两点间距离公式： ()()()21221221221z z y y x x P P -+-+-=
三、圆锥曲线与方程
1．椭圆
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
()22
2210x y a b a b +=>> ()22
2210y x a b a b
+=>> 定义
到两定点21
F F 、的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）
范围
a x a -≤≤且
b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤
顶点
()1,0a A -、()2,0a A
()10,b B -、()20,b B
()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B
轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b =
对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c
焦距
222122()F F c c a b ==-
离心率
222222
2
1(01)c c a b b e e a a a a
-====-<<
准线方程
2a x c
=±
2
a y c
=±
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
()22
2210,0x y a b a b -=>> ()22
2
210,0y x a b a b
-=>> 定义
到两定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数2a ，即21||||2MF MF a
-=（2102||a F F <<）
范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈
顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A
轴长 实轴的长2a = 虚轴的长2b =
对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c
焦距
222122()F F c c a b ==+
离心率
222222
2
1(1)c c a b b e e a a a a
+====+>
准线方程
2
a x c =±
2
a y c =±
渐近线方程 b y x a
=±
a y x b
=±
设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则
⑴ 2
21212,;4
p x x y y p ==- ⑵ 2
2;sin p AB θ= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切
圆锥曲线知识点回顾1．椭圆的性质
2．双曲线的性质
3．抛物线中的常用结论
①过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p
②设A(x1，y)，1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点，则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2
③设A，B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点，则OA⊥OB的充要条件是
直线AB恒过定点(2p，0)
(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义
与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，
是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．
4．直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）
(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的
a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).
b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离
c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性
(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所
在的直线方程
(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或
者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）
5．二次曲线在高考中的应用
二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。

通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。

本文关注近年部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析，这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。

(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

(2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。

(3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。

(4).重视解析几何与立体几何的有机结合。

6．知识网络
圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程
性质：对称性、焦点、顶点、离率、准线、焦半径等
直线与圆锥曲线的位置关系
圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。

若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a
+=。

椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或122
22=+b
x a y （0a b >>）（焦点在y 轴
上）。

注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2
2
2
b a
c =-；
②在22221x y a b +=和22221y x a b
+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2
x 和2y 的分
母的大小。

例如椭圆
22
1x y m n
+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程22
221x y a b
+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；
②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。

若同时以x -代替x ，y -代替y
方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令
0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。

同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，
2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ∆中，2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，
且222
2222||||||OF B F OB =-，即2
2
2
c a b =-；
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c
e a
=
叫椭圆的离心率。

∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时
椭圆越接近于圆。

当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222
x y a +=。

2．双曲线
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。

注意：①式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支；
21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）；②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线；③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形；④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做
焦距。

①范围：从标准方程122
22=-b
y a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧。

即
22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。

②对称性：双曲线122
22=-b
y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点
是双曲线122
22=-b
y a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。

在双曲线122
22=-b
y a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所
以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线122
22=-b
y a x 的顶点。

令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。

虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。

从
图上看，双曲线122
22=-b
y a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

定义式：a b =； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。

亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(2
2≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，
当0<λ时焦点在y 轴上。

⑥注意
191622=-y x 与22
1916
y x -=的区别：三个量,,a b c 中,a b 不同（互换）c 相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。

3．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。

定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

方程()022
>=p px
y 叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2p ,0），它的准线方程是2
p x -= ；
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22-=，py x 22=，py x 22-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：
标准方程
22(0)y px p =>
22(0)
y px p =->
22(0)x py p =>
22(0)
x py p =->
图形
焦点坐标 (,0)2
p (,0)2p -
(0,)2p
(0,)2p -
准线方程 2p x =-
2p x =
2p y =-
2p y =
范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 对称性
x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率 1e =
1e = 1e = 1e =
点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。

o F
x
y l
o
x
y
F l
x
y
o
F
l。