高等数学教案-定积分及其应用

的面积.
b
b
2. 当 函 数 f (x) 在 [a, b]上 非 正 时 ， f (x)dx 的 值 是 一 个 负 值 ， f (x)dx 表 示 由 y f (x) ， 直 线
a
a
x a, x b 和 x 轴所围成的曲边梯形（在 x 轴的下方）的面积的相反数．
3.当函数
f
b
(x) 在区间[a,b] 上有正有负时，定积分 a
3 dx
例 4.求定积分（1） 1 1 x2 ；
9
（2）
4
x 1
x dx ．
1
例 5．求定积分 |1 x | dx ． 2
2x 1， x≤2，
例 6.设
f
(x)
1
x2，
2
求 k (2 k x≤4，
2)
的值，使
3 f (x)dx 40 ．
k
3
例 7.一辆汽车正以 10 m/s 的速度匀速直线行驶，突然发现一障碍物，于是以-1 m/s2 的加速度减速，求汽
a
a
x
[a,b] 上的函数, 称为积分上限函数, 记作 ( x) f (t)dt , x [a,b] . a
x
2.定理：设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，则积分上限函数 ( x) f (t)dt 在区间[a,b] 上可导，且 a
(x) ( x f (t)dt) f (x), x [a,b] . a
例 15.求定积分 x arctan x dx ． 0
例 16.某工厂排出大量废气，造成了严重污染，于是工厂通过减产来控制废气的排放量，若第 t 年废气的
排放量为
C(t)
20 ln(t 1) (t 1)2
，求该厂在
t
0
到
t
5
年间排出的废气总量．
例 17.求定积分 In
(ii)函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上除有有限个第一类间断点外处处连续，则 f (x) 在区间[a,b] 上可积．
三．定积分的几何意义
b
1.当函数 f (x) 在 [a, b]上非负时， f (x)dx 表示由 y f (x) ，直线 x a, x b 和 x 轴所围成的曲边梯形 a
a
a
(1) f (x)dx [ f (x) f (x)]dx ;
a
0
(2)
a
f
(x)dx
0,
a
f (x)是奇函数 ,
a
2 0 f (x) dx, f (x)是偶函数 .
例 13.计算下列定积分（1）
1 cos x dx ；（2）
1 x2 sin x dx ．
-11 ex
1 1 x2
将区间 [a,b] 分成 n 个小区间 [xi1, xi ] （ i 1, 2,, n ），每个小区间的长度记为 xi xi xi1 （ i 1, 2,, n ），在
n
每个小区间上任取一点 i [xi1, xi ] ，作乘积 f (i ) xi ，再求和 f (i )xi ，记 maxxi （ i 1, 2,, n ）， i 1
x
x
a
f
(x)dx
F ( x)
|a
F ()
F (a)
,
b
f
(x)dx
F (x) |b
F (b)
F ()
,
f
(x)dx
F ( x)
|
F ()
F ()
.
这时无穷限的广义积分的收敛与发散就取决于极限 F (), F () 是否存在．
d
3.注：（1）
x f tdt f x；
dx a
（2）
d dx
a x
f
t dt
d dx
x a
f
t dt
f
x ；
（3）
d dx
x
a
f
t dt
f
x x ；
d
（4）
dx
2 x f t dt
1 x
f 2 x2 x
f 1x1x；
二．微积分基本公式
定 理 ： 设 函 数 f (x) 在 区 间 [a,b] 上 连 续 ， 且 F(x) 是 f (x) 在 该 区 间 上 的 一 个 原 函 数 ， 则
（3）( ) a ，( ) b ,
则有定积分换元公式
b
f (x)dx
f ((t))(t)dt .
a
四．定积分的分部积分法
b
bb
定理：设 u(x), v(x) 在[a,b] 上具有连续的导数，则 u(x)v '(x)dx u(x)v(x) u '(x)v(x)dx .
a
aa
简记为
课的类型 教学手段 教学难点
同济七版《高等数学》上册
作业布置
新知识课
黑板多媒体结合
换元积分法、分部积分法、积分 上限函数及其导数、牛顿－莱布 尼兹公式 课后习题
大纲要求 1．掌握换元积分法与分部积分法。
2．理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼兹公式。
教 学 基本内容
一．积分上限函数
引例 2 速直线运动路程问题
设有一质点沿某直线作变速直线运动，其速度随时间变化的规律是 v v(t) ，求该质点在时间 t a 到 t b 这段时间间隔内走过的路程 S ． 二．定积分的概念
1.定义：设函数 y f (x) 在区间[a,b] 上有界，在[a,b] 内任意插入 n 1个分点
a x0 x1 xn1 xn b ，
b f (x)dx
b
g(x) dx ．
a
a
b
b
推论 2 若 f (x) 在区间[a,b] 上可积，则 f (x) 在区间[a,b] 上可积，且 f (x)dx f (x) dx ．
a
a
性质 5（估值定理）设 M 和 m 分别是函数 f (x) 在区间[a,b] 上的最大值和最小值，则
b
m(b a) f (x)dx M (b a) ． a
b
f (x)dx ，若右端极限存在, 则称广
a a
b
b
义积分 f (x)dx 收敛; 否则, 则称广义积分 f (x)dx 发散．
3.函数 f (x) 在 (,) 上的广义积分 f (x)dx ，即
c
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx lim
c
f (x)dx lim
b
udv
a
uv
b a
b
vdu ，这就是定积分的分部积分公式．
a
五．例题讲解
例 1.求函数的导数（1） F (x) x (t2 1)dt ；
（2） F (x)
2 sin t dt ．
0
x t2 1
x
t costdt
例 2.求极限 lim 0
．
x0 1 cos x
例 3.求积分上限函数 F (x) x2 sin(t2 1)dt 的导数． 0
b
f (x)dx ,
c
a a
b c
其中 c 是任意的常数， a 是小于 c 的任意数， b 是大于 c 的任意数．此广义积分 f (x)dx 只有当上述等式中
两极限同时存在时才是收敛的，如果有一个极限不存在，则称该广义积分是发散的．
4.设 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，记 F () lim F (x) ， F () lim F (x) ，则
车完全停止前所行驶的路程．
1 x
例 8.求定积分 0 1 x2 dx ．
4 dx
例 9.求定积分
．
2 x x 1
例 10.证明： 1 xm (1 x)n dx 1 xn (1 x)m dx ．
0
0
例 11.求定积分 sin x sin3 x dx . 0
5
例 12.设函数 y f (x) 在区间[a, a] （ a 0 ）上连续，试证：
b
f (x) dx F (b) F (a) ，称为牛顿━莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式. a 4
三．定积分的换元积分法
定理：如果函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，函数 x (t) 满足条件
（1）当 t [, ] (或[ , ] )时, a (t) b ,
（2）(t) 在区间[, ] （或[ , ] ）上有连续的导数, 且(t) 0 ，
n
取
0 时上述和式的极限 lim 0
i 1
f (i )xi ，如果该极限存在，则称函数
f (x) 在区间[a,b] 上可积，此极限值为
1
函数 f (x) 在区间[a,b] 上的定积分，记作
b
f (x) dx ，即
a
b
f (x)dx
lim
n
a
0 i1
f (i )xi ，其中 f (x) 称为被积函数， x
性质 6（定积分中值定理）设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，则在区间[a,b] 上至少存在一点 ，使得
五．例题讲解
例 1.计算定积分 1 1 x2 dx ． 0
b f (x)dx f ( )(b a) ． a
2
例 2.用定义求定积分 1 x2dx ． 0
例 3.不计算定积分的值，比较下列定积分的大小．
称 为 积 分 变 量 ， f (x)dx 称 为 被 积 表 达 式 ， [a,b] 称 为 积 分 区 间 ， a 称 为 积 分 下 限 ， b 称 为 积 分 上 限 ，
n
f (i )xi 称为 f (x) 在[a,b] 上的积分和．
i 1
2.定理：(i)函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续，则函数 f (x) 在区间[a,b] 上可积；
大纲要求 1、理解定积分的概念。
2、掌握定积分的性质及定积分中值定理.
教 学 基本内容
一．定积分的概念 1．两个实际问题 引例 1 曲边梯形的面积问题
设函数 y f (x) 在区间[a,b] 上非负连续，由曲线 y f (x) ，直线 x a , x b 以及 x 轴所围成图形称为曲 边梯形，求曲边梯形的面积 A .
1.设函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，对任意 x [a,b] ，有 f (x) 在 [a, x] 上连续，因此函数 f (x) 在 [a, x] 上可
x
x
积,则定积分 f (t)dt 的值由积分上限 x 在区间 [a, b]上的取值决定，因此积分 f (t)dt 定义了一个在区间
（1）
1 x2dx 与
1 x3dx ；（2）
4
ln xdx 与
4 (ln x)2 dx .
0
0
e
e
π
例 4.估计定积分 2 esin xdx 的值． 0
3
授课序号 02
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
参考教材
第 5 章 第 2 节 微积分基本公式
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
换元积分法、分部积分法、积分上限函数及其导 数、牛顿－莱布尼兹公式
f (x)dx 表示由
y
f
(x) ，直线 x a, x b 和 x 轴所围
成的图形各部分面积的代数和．
四．定积分的性质
b
b
b
性质 1 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx ．
a
a
a
b
b
b
b
a [ f1(x) f2 (x) fn (x)]dx = a f1(x)dx a f2 (x)dx a fn (x)dx .
作业布置
新知识课
黑板多媒体结合
无穷区间上的广义积分与瑕积 分的计算 课后习题
大纲要求 了解广义积分的概念并会计算广义积分。
教 学 基本内容
一．无穷区间上的广义积分
b
1.定义：设函数 f (x) 在区间[a, ) 上连续，任取 b a ，如果极限 lim f (x)dx 存在，则称该极限值为函 b a
高等数学教学教案
第 5 章 定积分及其应用
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
第 5 章 第 1 节 定积分的概念与性质 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 定积分的定义与性质
课的类型 教学手段 教学难点
新知识课 黑板多媒体结合 用定积分的定义求定积分
参考教材 同济七版《高等数学》
作业布置 课后习题
b
b
性质 2 kf (x) dx k f (x)dx （ k 是常数）．
a
a
b
c
b
性质 3（区间可加性）设 a,b,c 是三个任意的实数，则 f (x)dx f (x)dx f (x) dx .
a
a
c
性质 4
（保序性）若在区间[a,b] 上有
f
(
x)
0
，则
b
a
f (x)dx
0．
推论 1 若在区间[a,b] 上有 f (x) g(x) ，则
b
数 f (x) 在无穷区间[a, ) 上的广义积分，记作 f (x)dx ，即 f (x)dx lim f (x)dx ，此时,也称广义积分
a
a
b a
f (x)dx 收敛；若极限不存在，则称广义积分 f (x)dx 发散．
a
a
2.函数 f (x) 在 (,b] 上的广义积分
b
b
f (x)dx ，即 f (x)dx lim
2 sinn x dx （ n 为非负整数），并用所求结果计算
0
1 x3
0
1 x2 dx .
6
授课序号 03
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
第 5 章 第 3 节 广义积分
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
无穷区间上的广义积分与瑕积分的计算
参考教材 同济七版《高等数学》上册
课的类型 教学手段 教学难点