＜合集试卷3套＞2021年佛山市九年级上学期期末适应性数学试题

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列式子中，为最简二次根式的是（）
A．1
2
B．2C．4D．12
【答案】B
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【详解】A、原式
2
2
=，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、原式2
=，不符合题意；
D、原式23
=，不符合题意；
故选B．
【点睛】
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解本题的关键．
2．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）
A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长:学*科*网]
【答案】D
【解析】试题分析：
解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
故选D．
考点：生活中的平移现象
3．将抛物线y＝﹣3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）
A．y＝﹣3（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣3（x﹣1）2+2
C．y＝﹣3（x+1）2﹣2 D．y＝﹣3（x+1）2+2
【答案】C
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y＝﹣3x1向左平移1个单位所得直线解析式为：y＝﹣3（x+1）1；
再向下平移1个单位为：y＝﹣3（x+1）1﹣1，即y＝﹣3（x+1）1﹣1．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
4．如图，空心圆柱的俯视图是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看是三个水平边较短的矩形，中间矩形的左右两边是虚线，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三视图，俯视图是指从上往下看得到的图形。

注意：看的见的线画实线，看不见的线画虚线．5．华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前4位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是（）
A．1
2
B．
1
10
C．
1
100
D．
1
1000
【答案】C
【分析】根据排列组合，求出最后两位数字共存在多少种情况，即可求解一次解锁该手机密码的概率．【详解】根据题意，我们只需解锁后两位密码即可，两位数字的排列有2
10=100种可能
∴一次解锁该手机密码的概率是
1 100
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了排列组合的问题，掌握排列组合的公式是解题的关键．
6．如图，以点O为位似中心，将ABC放大得到DEF．若AD OA
，则ABC与DEF的位似比为（）．
A ．1:2
B ．2:1
C ．1:4
D ．4:1
【答案】A 【解析】以点O 为个位中心，将ABC 放大得到DEF ，AD OA =，可得::1:2AB DE OA OD ==，因此ABC 与DEF 的位似比为1:2，故选A.
7．一元二次方程（x+2）（x ﹣1）＝4的解是（ ）
A ．x 1＝0，x 2＝﹣3
B ．x 1＝2，x 2＝﹣3
C ．x 1＝1，x 2＝2
D ．x 1＝﹣1，x 2＝﹣2
【答案】B
【解析】解决本题可通过代入验证的办法或者解方程．
【详解】原方程整理得：x 1+x-6=0
∴（x+3）（x-1）=0
∴x+3=0或x-1=0
∴x 1=-3，x 1=1．
故选B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法．把方程整理成一元二次方程的一般形式是解决本题的关键． 8．如图，在ABC ∆中，144
CA CB cosC ＝＝，＝，则sinB 的值为（ ）
A 10
B 15
C 6
D 10 【答案】D
【解析】过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，在Rt ACD ∆中可求出AD ，CD 的长，在Rt ABD ∆中，利用勾股定理可求出AB 的长，再利用正弦的定义可求出sinB 的值．
【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．
在Rt ACD ∆中，1CD CA cosC ⋅＝＝，
2215AD AD CD ∴=-=；
在Rt ABD ∆中，315BD CB CD AD ＝﹣＝，＝，
22BD AD 26AB ∴=+=，
AD 10sin AB B ∴==． 故选：D ．
【点睛】
考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，AB 的长是解题的关键． 9．如图，若一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，则二次函数2y ax bx =+的图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质判断出a 、b 的正负情况，再根据二次函数的性质判断出开口方向与对称轴，然后选择即可．
【详解】解：y ax b =+的图象经过二、三、四象限，
0a ∴<，0b <，
∴抛物线开口方向向下，
抛物线对称轴为直线02b x a
=-<， ∴对称轴在y 轴的左边，
纵观各选项，只有C 选项符合．
故选C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向与对称轴，确定出a、b的正负情况是解题的关键．
10．正八边形的中心角为（）
A．45°B．60°C．80°D．90°
【答案】A
【分析】根据中心角是正多边形的外接圆相邻的两个半径的夹角，即可求解.
【详解】∵360°÷8＝45°，
∴正八边形的中心角为45°，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查正八边形的中心角的定义，理解正八边形的外接圆相邻的两个半径的夹角是中心角，是解题的关键.
11．已知⊙O的直径为8cm，P为直线l上一点，OP＝4cm，那么直线l与⊙O的公共点有（）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
【答案】D
【分析】根据垂线段最短，得圆心到直线的距离小于或等于4cm，再根据数量关系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离；即可得出公共点的个数．
【详解】解：根据题意可知，圆的半径r＝4cm．
∵OP＝4cm，
当OP⊥l时，直线和圆是相切的位置关系，公共点有1个；
当OP与直线l不垂直时，则圆心到直线的距离小于4cm，所以是相交的位置关系，公共点有2个．
∴直线L与⊙O的公共点有1个或2个，
故选D．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系．特别注意OP不一定是圆心到直线的距离．
12．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比
例函数y=k
x
（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（）
A．5
2
B．
15
4
C．3 D．5
【答案】B
【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．【详解】过点D做DF⊥BC于F，
由已知，BC=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=5，
∵BE=3DE，
∴设DE=x，则BE=3x，
∴DF=3x，BF=x，FC=5-x，
在Rt△DFC中，
DF2+FC2=DC2，
∴（3x）2+（5-x）2=52，
∴解得x=1，
∴DE=1，FD=3，
设OB=a，
则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a），
∵点D、C在双曲线上，
∴1×（a+3）=5a，
∴a=3
4
，
∴点C坐标为（5，3
4
）
∴k=15 4
.
故选B．
【点睛】
本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质．解题关键是通过勾股定理构造方程．二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图是测量河宽的示意图，AE 与BC 相交于点D ，∠B=∠C=90°，测得BD=120m ，DC=60m ，EC=50m ，求得河宽AB=______m ．
【答案】1
【分析】由两角对应相等可得△BAD ∽△CED ，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB 的长．
【详解】解：∵∠ADB=∠EDC ，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD ∽△ECD ， ∴
AB BD EC CD
=， 即BD EC AB CD
⨯= ， 解得：AB=1205060⨯ =1（米）． 故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
14．把二次函数241y x x =+-变形为2()y a x h k =++的形式为_________．
【答案】2
(2)5y x =+-
【分析】利用配方法变形即可.
【详解】解： 22241445(2)5y x x x x x =+-=++-=+- 故答案为：2
(2)5y x =+-
【点睛】
本题考查了二次函数的的解析式，熟练掌握配方法是解题的关键.
15．一元二次方程5x 2﹣1＝4x 的一次项系数是______．
【答案】-4
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：∵5x 2﹣1＝4x ，
方程整理得：5x 2﹣4x ﹣1＝0，
则一次项系数是﹣4，
故答案为：﹣4
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化．16．P是等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，将△ABP逆时针旋转，使得AB与AC重合，则以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角∠PCQ：∠QPC：∠PQC=________．
【答案】3：4：2
【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60o得△AQC,显然有△AQC≌△APB,连PQ ，可得△AQP是等边三角形，△QCP的三边长分别为PA,PB,PC ，由∠APB+∠BPC+∠CPA=360o,∠APB:∠BPC:∠CPA=5:6:7，可得∠APB=100o,∠BPC=120o,∠CPA=140o，可得答案.
【详解】解:如图,
将△APB绕A点逆时针旋转60o得△AQC,显然有△AQC≌△APB,连PQ,
∴AQ=AP,∠QAP=60o,
∴△AQP是等边三角形,
∴PQ=AP,
QC=PB,∴△QCP的三边长分别为PA,PB,PC,
∠APB+∠BPC+∠CPA=360o,∠APB:∠BPC:∠CPA=5:6:7,
∴∠APB=100o,∠BPC=120o,∠CPA=140o，
∴∠PQC=∠AQC-∠AQP=∠APB-∠AQP=100o-60o=40o，
∠QPC=∠APC-∠APQ=140o-60o=80o,
∠PCQ=180o-(40o+80o)=60o,
∴∠PCQ:∠QPC:∠PQC=3:4:2,
故答案为:3:4:2.
【点睛】
本题主要考查旋转的性质及等边三角形的性质，综合性大，注意运算的准确性.
17．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是_______．（填序号）
【答案】③
【分析】根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.
【详解】①、在角∠BAC 内作作∠CAD=∠B,交BC 于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B ＋∠BAD=90°,进而得出AD ⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；
②、以点A 为圆心，略小于AB 的长为半径，画弧，交线段BC 两点，再分别以这两点为圆心，大于12两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A 点作直线，该直线是BC 的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的； ③、以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交BC 于点E ，再以E 点为圆心，AB 的长为半径画弧，在BC 的另一侧交前弧于一点，过这一点及A 点作直线，该直线不一定是BE 的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似;
④、以AB 为直径作圆，该圆交BC 于点D ，根据圆周角定理，过AD 两点作直线该直线垂直于BC ，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的； 故答案为:③.
【点睛】
此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 18．如图，等腰直角CEF ∆的顶点E 在正方形ABCD 的对角线BD 上，EF 所在的直线交CD 于点M ，交AB 于点N ，连接DF ，tan 2EFD ∠=. 下列结论中，正确的有_________ （填序号）.
①BE DF =；②E 是BD 的一个三等分点；③2BE BN BC =⋅；④2DM BN =；⑤1sin 2
BCE ∠=.
【答案】①②④
【分析】根据△CBE ≌△CDF 即可判断①；由△CBE ≌△CDF 得出∠EBC=∠FDC=45°进而得出△DEF 为直角三角形结合2tan EFD ∠=即可判断②；判断△BEN 是否相似于△BCE 即可判断③；根据△BNE ∽△DME 即
可判断④；作EH ⊥BC 于点H 得出△EHC ∽△FDE 结合tan ∠HEC=tan ∠DFE=2，设出线段比即可判断⑤.
【详解】∵△CEF 为等腰直角三角形
∴CE=CF ，∠ECF=90°
又ABCD 为正方形
∴∠BCD=90°，BC=DC
又∠BCD=∠BCE+∠ECD
∠ECF=∠ECD+∠DCF
∴∠DCF=∠BCE
∴△CBE ≌△CDF(SAS)
∴BE=DF ，故①正确；
∴∠EBC=∠FDC=45°
故∠EDF=∠EDC+∠FDC=90° 又2ED ED tan EFD DF BE
∠=== ∴E 是BD 的一个三等分点，故②正确；
∵2BE BN BC =⋅ ∴BE BC BN BE
= 即判定△BEN ∽△BCE
∵△ECF 为等腰直角三角形，BD 为正方形对角线
∴∠CFE=45°=∠EDC
∴∠CFE+∠MCF=∠EDC+∠DEM
∴∠MCF=∠DEM
然而题目并没有告诉M 是EF 的中点
∴∠ECM≠∠MCF
∴∠ECM≠∠DEM≠∠BNE
∴不能判定△BEN ∽△BCE ∴不能得出BE BC BN BE
=进而不能得出2BE BN BC =⋅，故③错误； 由题意可知△BNE ∽△DME
又BE=2DE
∴BN=2DM ，故④正确；
作EH ⊥BC 于点H
∵∠MCF=∠DEM
又∠HCE=∠DCF
∴∠HCE=∠DEM
又∠EHC=∠FDE=90°
∴△EHC∽△FDE
∴tan∠HEC=tan∠DFE=2 可设EH=x，则CH=2x EC=225
EH CH x
+=
∴sin∠BCE=
5
5
EH
EC
=，故⑤错误；
故答案为①②④.
【点睛】
本题考查的是正方形综合，难度系数较大，涉及到了相似三角形的判定与性质，勾股定理、等腰直角三角形的性质以及方程的思想等，需要熟练掌握相关基础知识.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答：
（1）点A、C的坐标分别是、；
（2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB'C'；
（3）在（2）的条件下，求点C旋转到点C'所经过的路线长(结果保留π)．
【答案】（1）(1，4)；(5，2)；（2）作图见解析；（35π．
【分析】(1)根据图可得，点A坐标为(1，4)；点C坐标为(5，2)；
(2)画出△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后的△AB ′C ′；
(3)在(2)的条件下，先求出AC 的长，再求点C 旋转到点C ′所经过的路线长即可； 【详解】解：
（1）点A 坐标为(1，4)；点C 坐标为(5，2)． 故答案为：(1，4)；(5，2)； （2）如图所示，△AB'C'即为所求；
（3）∵点A 坐标为(1，4)；点C 坐标为(5，2)， ∴()()
22
512425AC =
-+-=
∴点C 旋转到C ′所经过的路线长9025
5l ππ⨯==；
【点睛】
本题主要考查了作图-旋转变换，轨迹，掌握作图-旋转变换是解题的关键.
20．某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对分段函数223(1)
1(1)ax bx x y x x ⎧+-≥=⎨-<⎩
的图象与性质进行了探究，
请补充完整以下的探究过程． x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y
…
3
－1
1
－3
…
（1）填空：a ＝ ．b ＝ ． （2）①根据上述表格数据补全函数图象；
②该函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？
（3）若直线
1
2 y
x t
=+与该函数图象有三个交点，求t的取值范围．
【答案】（1）﹣1，1；（2）①见解析；②函数图象是中心对称图形；（3）
171
1616
t
-<<【分析】（1）把（1，0），（2，1）代入y=ax2+bx-3构建方程组即可解决问题．
（2）利用描点法画出函数图象，根据中心对称的定义即可解决问题．
（3）求出直线y=
1
2
x+t与两个二次函数只有一个交点时t的值即可判断．
【详解】解：（1）把（1，0），（2，1）代入y＝ax2+bx﹣3
得
30
4231
a b
a b
+-=
⎧
⎨
+-=
⎩
，解得
1
4
a
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
故答案为：﹣1，1．
（2）①描点连线画出函数图象，如图所示；
②该函数图象是中心对称图形．
（3）由
2
1
2
1
y x t
y x
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，消去y得到2x2﹣x﹣2﹣2t＝0，
当△＝0时，1+16+16t＝0，
17
16
t=-，
由
2
1
2
43
y x t
y x x
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=-+-
⎩
消去y得到2x2﹣7x+2t+6＝0，
当△＝0时，19﹣16t ﹣18＝0，116
t =
， 观察图象可知：当171
1616
t -<<时，直线1
2
y x t =
+与该函数图象有三个交点． 【点睛】
本题考查中心对称，二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．关于x 的方程2222x m
x x ++=--的解为正数，且关于y 的不等式组22(2)y m y m m -≥⎧⎨-≤+⎩
有解，求符合题意的整数m.
【答案】m 的值是-1或1或2或3或4或5
【分析】根据题意先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求，求出相应的m 的值即可． 【详解】解：解分式方程得：63
m
x -= ∵ x 为正数
603
623m
m -⎧>⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩
解得60m m <≠且
由不等式组有解得：342m m +≥+ 1m ∴≥-
∴整数m 的值是-1或1或2或3或4或5. 【点睛】
本题考查分式方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22．已知关于x 的方程2310kx x +﹣＝有实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为1x 和2x ，当12124x x x x ++＝时，求k 的值． 【答案】（1）9
4
k ≤
；（1）1. 【分析】(1)根据方程有实数根，可分为k=0与k ≠0两种情况分别进行讨论即可得； (2)根据一元二次方程根与系数的关系可得123x x k +=，121
x x k
=，由此可得关于k 的方程，解方程即可得.
【详解】(1)当0k =时，方程是一元一次方程，有实根符合题意，
当0k ≠时，方程是一元二次方程，由题意得
24940b ac k =-=-≥，
解得：94
k ≤
， 综上，k 的取值范围是94
k ≤； (2)
1x 和2x 是方程2310kx x -+=的两根，
123x x k ∴+=
，121x x k
=， 12124x x x x ++=，
31
4k k
∴+=， 解得1k =，
经检验：1k =是分式方程的解，且914
<， 答：k 的值为1. 【点睛】
本题考查了方程有实数根的条件，一元二次方程根与系数的关系，正确把握相关知识是解题的关键. 23．某小区在绿化工程中有一块长为20m ，宽为8m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为102m 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度.
【答案】人行通道的宽度为1米.
【分析】设人行通道的宽度为x 米，根据矩形绿地的面积和为102平方米，列出关于x 的一元二次方程，求解即可.
【详解】设人行通道的宽度为x 米，根据题意得， (20﹣3x)(8﹣2x)＝102， 解得：x 1＝1，x 2＝
29
3
(不合题意，舍去). 答：人行通道的宽度为1米. 【点睛】
本题主要考查一元二次方程的实际应用----面积问题，根据题意，列出一元二次方程，是解题的关键. 24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－3，1)，B (－1，3)，C (0，1)． （1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后的△A 1B 1C 1，并写出A 1，B 1的坐标；
（2）平移△ABC ，若点A 的对应点A 2的坐标为(－5，－3)，画出平移后的△A 2B 2C 2，并写出B 2，C 2的坐标；
（3）若△A 2B 2C 2和△A 1B 1C 1关于点P 中心对称，请直接写出对称中心P 的坐标．
【答案】（1）见解析，A 1(3，1)，B 1(1，－1)． （2）见解析，B 2(－3，－1)，C 2(－2，－3)． （3）（-1，-1）
【分析】（1）依据以点C 为旋转中心旋转180°，即可画出旋转后的△A 1B 1C 1； （2）依据点A 的对应点A 2的坐标为（−5，−3），即可画出平移后的△A 2B 2C 2； （3）依据中心对称的性质，即可得到对称中心P 的坐标．
【详解】(1)如图所示，△A 1B 1C 1为所作三角形，A 1(3，1)，B 1(1，－1)． (2)如图所示，△A 2B 2C 2为所作三角形，B 2(－3，－1)，C 2(－2，－3)． (3)对称中心P 的坐标为(－1，－1)．
【点睛】
本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
25．自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线()2
30100y a x =-+表示．
（1）a =________；
（2）求图1表示的售价p 与时间x 的函数关系式；
（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？ 【答案】（1）1
10
-；（2）260,0302180,3040x x P x x +<⎧=⎨
-+⎩；（3）当20天或40天，最小利润为10元/千克 【分析】（1）把(10,60)代入2(30)100y a x =-+可得结论；
（2）当030x <时，设P kx b =+，把(0,60)，(10,80)代入；当3040x 时，设P k x b ='+'，把(30,120)，(40,100)代入，分别求解即可；
（3）设利润为w ，分两种情形：当030x <时、当3040x 时，利用二次函数的性质分别求解即可． 【详解】解：（1）把(10,60)代入2(30)100y a x =-+，得到1
10
a =-， 故答案为：110
-
． （2）当030x <时，设P kx b =+， 把(0,60)，(10,80)代入得到60
1080
b k b =⎧⎨+=⎩，
解得260
k b =⎧⎨=⎩，
260P x ∴=+．
当3040x 时，设P k x b ='+'，
把(30,120)，(40,100)代入得到30120
40100k b k b '+'=⎧⎨'+'=⎩，
解得2
180
k b '=-⎧⎨'=⎩，
2180P x ∴=-+．
综上所述，260,030
2180,3040x x P x x +<⎧=⎨-+⎩
．
（3）设利润为w ．
当030x <时，222111
260(610)450(20)10101010
w x x x x x x =+--
++=-+=-+， ∴当20x 时，w 有最小值，最小值为10（元/千克）
． 当3040x 时， 222111
2180(610)8170(40)10101010
w x x x x x x =-+--
++=-+=-+， ∴当40x =时，最小利润10w =（元/千克），
综上所述，当20天或40天，最小利润为10元/千克． 【点睛】
本题考查二次函数的应用、一次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键从函数图象中获取信息，利用待定系数法求得解析式．
26．如图1，已知点A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足1a ++（a+b+3）2＝0，平等四边形ABCD 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 中点，双曲线y ＝
k
x
经过C 、D 两点．
（1）a ＝ ，b ＝ ； （2）求D 点的坐标； （3）点P 在双曲线y ＝
k
x
上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q 的坐标；
（4）以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN ⊥HT ，交AB 于N ，当T 在AF 上运动时，MN
HT
的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
【答案】（1）﹣1，﹣2；（2）D （1，4）；（3）Q 1（0，6），Q 2（0，﹣6），Q 3（0，2）；（4）不变，MN
HT
的定值为
1
2
，证明见解析 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值；
（2）故可得出A 、B 两点的坐标，设D （1，t ），由DC ∥AB ，可知C （2，t ﹣2），再根据反比例函数的性
质求出t的值即可；
（3）由（2）知k＝4可知反比例函数的解析式为y＝4
x
，再由点P在双曲线y＝
4
x
上，点Q在y轴上，
设Q（0，y），P（x，4
x
），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；
（4）连NH、NT、NF，易证NF＝NH＝NT，故∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，∠TNH＝∠TAH＝90°，MN＝1
2 HT
由此即可得出结论.
【详解】解：（1（a+b+3）2＝0≥0，（a+b+3）2≥0，
∴
10
30 a
a b
+=
⎧
⎨
++=
⎩
，
解得：
1
2
a
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
,
故答案是：﹣1；﹣2；
（2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），∵E为AD中点，
∴x D＝1，
设D（1，t），
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴C（2，t﹣2）．
∴t＝2t﹣4,
∴t＝4,
∴D（1，4）；
（3）∵D（1，4）在双曲线y＝k
x
上，
∴k＝xy＝1×4＝4,
∴反比例函数的解析式为y＝4
x
，
∵点P在双曲线y＝k
x
上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，4
x ），
①当AB为边时：如图1所示：
若ABPQ为平行四边形，则
1
2
x
-+
＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2所示：
若ABQP为平行四边形，则
1
22
x
-
=，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；
②如图3所示：
当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴
1
22
x
-
=，解得x＝﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
综上所述，Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）；（4）如图4，连接NH、NT、NF，
∵MN 是线段HT 的垂直平分线，
∴NT ＝NH ，
∵四边形AFBH 是正方形，
∴∠ABF ＝∠ABH ，
在△BFN 与△BHN 中，
BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
∴△BFN ≌△BHN （SAS ），
∴NF ＝NH ＝NT ，
∴∠NTF ＝∠NFT ＝∠AHN ，
四边形ATNH 中，∠ATN+∠NTF ＝180°，而∠NTF ＝∠NFT ＝∠AHN ，
所以，∠ATN+∠AHN ＝180°，所以，四边形ATNH 内角和为360°，
所以∠TNH ＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
∴MN ＝
12
HT ， ∴MN HT ＝12
, 即MN HT 的定值为12. 【点睛】
此题考查算术平方根的非负性，平方的非负性，待定系数法求函数的解析式，正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质.
27．如图，A ，B ，C 三点的坐标分别为A(1，0)，B(4，3)，C(5，0)，试在原图上画出以点A 为位似中心，把△ABC 各边长缩小为原来的一半的图形，并写出各顶点的坐标．
【答案】各顶点坐标分别为A(1，0)，B′(2.5，1.5)，C′(3，0)或A(1，0)，B″(－0.5，－1.5)，C″(－1，0)．【解析】根据题意，分别从AB，AC上截取它的一半找到对应点即可．
【详解】如答图所示，△AB′C′，△AB″C″即是所求的三角形(画出一种即可)．
各顶点坐标分别为A(1，0)，B′(2.5，1.5)，C′(3，0)或A(1，0)，B″(－0.5，－1.5)，C″(－1，0)．
【点睛】
本题考查了画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．12x < B ．2x < C ．12x ≤ D ．0x ≥
【答案】A
【解析】根据二次根式有意义的条件:被开方数≥0和分式有意义的条件:分母≠0,列出不等式,解不等式即可．
【详解】解:由题意可知: 120x -> 解得：12x <
故选A ．
【点睛】
此题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件:被开方数≥0和分式有意义的条件:分母≠0是解决此题的关键．
2．对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品的件数大约是（ ）
A ．12
B ．24
C ．1188
D ．1176 【答案】B
【分析】由表中数据可判断合格衬衣的频率稳定在0.98，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98，从而得出结论．
【详解】解：根据表中数据可得任抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98，次品的概率为0.02， 出售1200件衬衣，其中次品大约有1200×0.02=24（件），
故选：B ．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
3．如图，在边长为1的小正方形网格中，点, , , A B C D 都在这些小正方形的顶点上，,AB CD 相交于点O ，则cos BOD ∠=( )
A ．12
B ．5
C ．25
D ．2
【答案】B
【分析】通过添加辅助线构造出Rt CDE △后，将问题转化为求cos DCE ∠的值，再利用勾股定理 、锐角三角函数解Rt CDE △即可．
【详解】解：连接CE 、DE ，如图：
∵由图可知：123445ABE ∠=∠=∠=∠=∠=︒ ∴2390CED ∠=∠+∠=︒，//AB CE
∴BOD DCE ∠=∠
∵小正方形的边长为1
∴在Rt CDE △中，22112CE =+=
221310CD =+=∴25cos 10
CE DCE CD ∠===∴5cos cos BOD DCE ∠=∠=． 故选：B
【点睛】
本题考查了正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理以及锐角三角函数．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
4．如图，AB 是O 的直径，点F C 、是O 上两点，且AF FC CB ==，连接AC AF 、，过点C 作CD AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，垂足为D ，若33CD =O 的半径为( )
A ．33
B ．63
C ．3
D ．6
【答案】D
【分析】根据已知条件可知Rt ACD 、Rt ABC 都是含30角的直角三角形，先利用含30角的直角三角形的性质求得AC ，再结合勾股定理即可求得答案．
【详解】解：连接BC 、OC ，如图：
∵AF FC CB ==
∴60BOC ∠=︒
∴30DAC BAC ∠=∠=︒
∴在Rt ACD 中，263AC CD ==
∵AB 是O 的直径
∴90ACB ∠=︒
∴在Rt ABC 中，222BC AC AB +=，即()2222BC AC BC +=
∴(()2223
2BC BC += ∴6BC =
∴212AB BC ==
∴O 的半径为162
OA OB AB ===． 故选：D
【点睛】
本题考查了圆的一些基本性质、含30角的直角三角形的性质以及勾股定理，添加适当的辅助线可以更顺
利地解决问题．
5．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（）
A．y＝10
x
B．y＝
5
x
C．y＝
20
x
D．y＝
20
x
【答案】C
【解析】试题解析：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，
1
10
2
xy，
∴=
∴y与x的函数关系式为：
20
y
x
=．
故选C．
点睛：根据三角形的面积公式列出
1
10
2
xy=，即可求出答案.
6．反比例函数y＝
2
x
的图象位于（）
A．第一、三象限B．第二、三象限
C．第一、二象限D．第二、四象限
【答案】A
【分析】由反比例函数k＞0，函数经过一三象限即可求解；
【详解】∵k＝2＞0，
∴反比例函数经过第一、三象限；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握反比例函数的图像与性质.
7．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝
2
x
（x＞0）的图象上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y ＝﹣
6
x
（x＞0）的图象于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（）
A．逐渐变大B．逐渐变小C．等于定值16 D．等于定值24
【答案】C
【分析】根据反比例函数k的几何意义得出S△POC＝
1
2
×2＝1，S矩形ACOD＝6，即可得出
1
3
PC
AC
=，从而得出1
4
PC
PA
=，通过证得△POC∽△PBA，得出
2
POC
PAB
1
16
S PC
S PA
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，即可得出S△PAB＝1S△POC＝1．
【详解】如图，
由题意可知S△POC＝1
2
×2＝1，S矩形ACOD＝6，
∵S△POC＝1
2
OC•PC，S矩形ACOD＝OC•AC，
∴POC
ACOD 1
OC?PC1 2
OC?AC6
S S ==
矩形
，
∴
1
3 PC
AC
=，
∴
1
4 PC
PA
=，
∵AB∥x轴，
∴△POC∽△PBA，
∴
2
POC
PAB
1
16 S PC
S PA
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，
∴S△PAB＝1S△POC＝1，
∴△PAB的面积等于定值1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用相似三角形面积比等于相似比的平方是解决本题的关键．
8．下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．正三角形B．正五边形C．等腰直角三角形D．矩形
【答案】D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行分析判断即可得.
【详解】A．正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
B．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，
故选D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
9．函数y=ax 2+1与a y x
=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】B
【解析】试题分析：分a ＞0和a ＜0两种情况讨论：
当a ＞0时，y=ax 2+1开口向上，顶点坐标为（0，1）；a y x
=
位于第一、三象限，没有选项图象符合； 当a ＜0时，y=ax 2+1开口向下，顶点坐标为（0，1）；a y x =位于第二、四象限，B 选项图象符合． 故选B ．
考点：1.二次函数和反比例函数的图象和性质；2.分类思想的应用．
10．把抛物线22y x =-向右平移l 个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A ．22(1)3y x =-+-
B ．22(1)3y x =--+
C ．22(1)3y x =-++
D ．22(1)3y x =--- 【答案】D
【分析】根据题意原抛物线的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（1，-3），根据抛物线的顶点式求解析式．
【详解】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（1，-3），
∴平移后抛物线解析式为22(1)3y x =---．
故选：D ．
【点睛】 本题考查抛物线的平移与抛物线解析式的联系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式．
11．函数23x y x x =
--的自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x ≠
B ．2x ≠
C ．2x ≤
D ．2x ≤且3x ≠
【答案】C
【解析】根据二次根式被开方数大于等于0，分式分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】由题意得，20x -≥且30x -≠，
解得：2x ≤．。